数学教学杂志社

有很多小学数学方面的杂志，在此介绍几本： 刊物名称 刊物编号《小学数学教师》 4-312《教学月刊》（小学版数学）4-152 《小学教学设计》 22-56《小学教学参考》 48-39《小学数学教师 》 4-312

《数学教学研究》(月刊)创刊于1987年,是由甘肃省教育厅主管、西北师范大学主办的以教学和研究为方向的学术性与普及性相结合的刊物。

无理函数最值问题求解举例武延霞摘要：无理函数的最值问题在中学数学中求解比较困难，本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法，如换元法，微分法，几何法，复数法，向量法等等。关键词：无理函数最值 复数法 向量法 数学中的函数最值问题求解是常见的，在日常生产生活、科研中都会遇到。解决方法也是很多，如图象法，均值不等式法，换元法，向量法等等，到大学的课程中我们常用的是求导法，这些方法在实际运用中灵活多变。而无理函数的最值问题在中学数学中求解比较困难，本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法。1 换元法： 根据函数表达式的特点，将某一部分看作一个整体用一个新的变元来代替，以达到简化表达式、变为熟悉且易于求解的形式。例1：求 的最小值。解：函数的定义域为 ，令 ，则 , 当 即 时， 取最小值 。2 微分法：若 在区间 上可导， 是 的唯一稳定点，并且 是 的极值点，则当 是极大（小）值点时， 就是 在 上的最大（小）值。例2：求 的最小值 。解： 在 上可导，所以 令 得稳定点 （舍负）。又 时， ， 时， 的最小值为 3 几何法：运用数形结合的思想将最值问题转化成几何图形的性质问题，通过几何的有关知识求解。例3： 、 两地合用一个变压器，若两地用同型号线架设输电线，问变压器设在输电干线上何处时，所需输电线最短。解：设 长为 ， ，由题意可知求出 的最小值即可。又 建立直角坐标系，如图所示：则 ， ， ，原问题就转化为求 轴上一点 到 两点距离和的最小值问题。由几何知识，点 在线段 上时 取最小值（ 为 关于 轴的对称点）。此时 ， 将变压器建在 之间离 处所需输电线最短。4 复数法：求形如 的最小值，令复数 满足 ， 且 或 为常数，利用不等式 来求解。例4：求函数 的最小值。解：令 ， 则 ,由不等式 可得 在这里能否取到呢?我们来验证一下：若 ，则 与 在同一条直线上且方向相反， 而由上式可推得 ，矛盾。 不是 的最小值。由此我们知道 不能任意取，究竟怎么样取值才能使不等式 中等号成立？ 若想利用不等式中号，即 ，取 ，由 为一常数， 的实部需取 ，设 的虚部为 ， 反向，则 ， 此时 ，其中不等号可以取到， 同理，若想利用不等式中 号，即 ,取 ， ， ，同样解出 总结上述过程，我们可以用“用加取等号取反，用减取等号相同”来概括 和 的取法，即如果利用 ，我们取 与 中 的符号相反；如果利用 ，我们取 与 中 的符号相同。5 向量法：构造函数 使 为常数。令 ， ，则 （ 为 的夹角）根据 的取值范围可以求得函数的最值。例6：求函数 的值域。解： 的定义域为 ，令 ， ，则 ， , （ 为 的夹角） 时 ， , 与 的终点如图1所示 由图1可知 与 同向时， 与 的夹角最小，此时 当 时， 与 的夹角最大，此时 所以值域为 。 注：求 的最值，利用 ，需要 为一常数，若不是常数，可以进行适当的系数配凑使其为一常数。例2：求函数 的值域。解：由题意可知定义域为 ，令 ， 则 ， ,由 得： ， 与 的终点如图2所示当 与 同向时， 与 的夹角最小，此时 当 时， 与 的夹角最大，此时 所以值域为 结束语：本文讨论了常见的几种无理函数的一些解法，还有许多无理函数以及它们的解法没有讨论到，有待进一步研究。参考文献：[1]李宇祎．函数最值问题的处理方法[J]．雁北师范学院学报，2004，01：52－53页．[2]潘玉晓．关于函数最值问题的探讨[J]．南阳师范学院学报，2004年第4卷第9期．[3]武增明．用 解两类无理函数最值问题[J]．数学教学杂志社，2006，11：31页．[4]孙家永．函数最值之正规求法及舍弃原理[J]．高等数学研究 2006年第5期： 47页．[5]张怀德．极值点与最值点、稳定点及拐点的关系[J]．甘肃高师学报 2005年第十卷第五期．[6]刘安．关于连续函数最大最小值的唯一性准则[J]．衡阳师范学院　2005年3月．[7]华东师范大学数学系．数学分析第二版[M]．北京：高等教育出版社， 1991年3月第2版： 192页．[8]华东师范大学数学系．数学分析第三版[M]．北京：高等教育出版社，145页．[9]杨宝珊．闭区间上连续函数最值点的讨论[J]．内蒙古教育学院学报．1997年12月第4期．[10]陈祥平．闭区间上连续函数最值[J] ．昌潍师专学报　2000年第19卷第2期．