冷却规律的研究实验论文

物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中， 在时刻 时， 测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为。 解 为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。这是已为实验证明了的牛顿（ Newton）冷却定律。 设物体在时刻的温度为，则温度的变化速度以来表示。由牛顿冷却定律得到 这里是比例常数。方程（1.1.1）就是物体冷却过程的数学模型,它含有未知函数及它的一阶导数，这样的方程,我们称为一阶微分方程。 为了决定物体的温度u和时间t的关系，我们要从方程（1.1.1）中“解出”。注意到是常数，且，可将（1.1.1）改写成 这样，变量和被“分离”开来了。两边积分，得到 （1.1.3） 这里是“任意常数”。根据对数的定义，得到 令，即得 （1.1.4） 根据“初始条件”：当时， （1.1.5） 容易确定“任意常数”的数值。故把和代入（1.1.4），得到 于是 （1.1.6） 这时如果的数值确定了，（1.1.6）就完全决定了温度和时间的关系。 根据条件时，，得到 由此， 用给定的，和代入，得到 从而（1.1.7） 这样根据方程（1.1.7）,就可以计算出任何时刻t物体的温度u的数值了。例如20分钟后物体的温度就是。由方程(1.1.7)可知，当时，这可以解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了。事实上,经过2小时后，物体的温度已变为，与空气的温度已相当的接近。而经过3小时后，物体的温度为,我们的一些测量仪器已测不出它与空气的温度的差别了。在实用上，人们认为这时物体的冷却过程已基本结束。