大学数学杂志三重积分

二重积分的概述：二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。3、三重积分的概述：设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n）。体积记为Δδᵢ，||e799bee5baa6e997aee7ad94e4b893e5b19e31333431363062T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)，作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)；则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

1、几何意义不同

二重积分表示曲顶柱体体积。三重积分表示立体的质量。

2、注意事项不同

二重积分的注意事项：平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。三重积分的注意事项：当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

3、性质不同

二重积分是二维的，相当于平面。三重积分是三维的，立体的。

三重积分

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ。

若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

三重积分也是体积积分先对长x和宽y的面积积分,再对z的高度积分即可

可以发现被积函数与x、y无关，只和z有关系。那么就可以将三重积分变换为先做二重积分，也就是dxdy，然后在计算定积分dz。被积函数z^2在二重积分xoy平面内相当于是一个常数，也就是被积区域的面积，自然也就是椭球面在xoy的投影面积，也就是那个表达式