可逆矩阵论文参考文献

1、公式法：

其中，A^*为矩阵A的伴随矩阵。

2、初等变换法：对(A,E)作初等变换，将A化为单位阵E，单位矩阵E就化为A^-1。

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

扩展资料：

可逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

矩阵P可逆说明P是满秩，也就是说P的行列式不等于0。列向量中没有哪一个可以由其他向量线性表示，即列向量线性无关。

P可逆，列（行）向量线性无关，P行列式不等于0，P满秩，P的特征值都不为0，这几个是等价命题。

矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。

判断或证明  可逆的常用方法：

①证明  ；

②找一个同阶矩阵  ，验证  ；

③证明  的行向量（或列向量）线性无关。

扩展资料：

在线性代数中，行向量是一个 1×n的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。

行向量的转置是一个列向量，反之亦然。

所有的行向量的集合形成一个向量空间，它是所有列向量集合的对偶空间。

矩阵可逆的充分必要条件：

AB=E；

A为满秩矩阵（即r(A)=n）；

A的特征值全不为0；

A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；

A等价于n阶单位矩阵；

A可表示成初等矩阵的乘积；

齐次线性方程组AX=0 仅有零解；

非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；

A的行（列）向量组线性无关；

任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。

其实以上条件全部是等价的。

参考资料：百度百科——矩阵可逆

我们说的矩阵可逆，都是指方阵，不是方阵的不在大学的研究范围内，以下所述基于此基础之上。矩阵可逆，说明矩阵的行列式不等于0，而如果行(列)向量组线性相关，那么它的某一个行(列)向量必然可以由其它的向量线性表出，由此可得它的行列式必然可以经过初等行(列)变换，将某一行(列)全部变成0，这样的行列式值为0，也就是不可逆，所以可逆矩阵行(列)向量组线性无关。哪里看不懂再问

矩阵P可逆说明P是满秩，也就是说P的行列式不等于0。列向量中没有哪一个可以由其他向量线性表示，即列向量线性无关。

P可逆，列（行）向量线性无关，P行列式不等于0，P满秩，P的特征值都不为0，这几个是等价命题。

矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。

例：

扩展资料：

线性无关相关注意：

1、对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。

2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

4、含有相同向量的向量组必线性相关。

5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)

6、减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）

7、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

8、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

参考资料：

百度百科——矩阵可逆

百度百科——线性相关

【原因】一个方矩阵是否可逆的等价条件之一就是该方矩阵是否是一个满秩矩阵，只有满秩的方矩阵是可逆的，而如果一个方矩阵是满秩的，就说明该矩阵的行向量组与列向量组都是线性无关的。

【矩阵可逆的其他等价条件】

【可逆矩阵的求法】