对勾函数的研究小论文

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b> 0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=sqrt(b /a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|00的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。 对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它是不是双曲线还众说不一。 面对这个函数 f(x)=ax+b/x, 我们应该想得更多，需要我们深入探究：（1）它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；（2）函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；（3）众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。 当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）高考例题2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞ )上是增函数． （1）如果函数 y=x+(2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞)，求b 的值； （2）研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[½ ,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值 f(x)=x+1/x 首先你要知道他的定义域是x不等于0 当x>0, 由均值不等式有： f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2 当x=1/x取等 x=1,有最小值是：2，没有最大值。 当x<0,-x>0 f(x)=-(-x-1/x) <=-2 当－x=-1/x取等。 x=-1,有最大值，没有最小值。 值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷） －－－－－－－－－－－－－－ 证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性 设x1>x2且x1，x2∈(0，+∝) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2） =a（x1-x2)-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1>x2，则x1-x2>0 当x∈(0，√(b/a）)时，x1x2b/a 则ax1x2-b>b-b=0 所以f(x1)-f(x2)>0，即x∈(√(b/a），+∞)时，f(x)=ax+b/x单调递增。