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黎曼1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。 由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。 1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。 l851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。 因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。复变函数论的奠基人 19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。 1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。 黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。 1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。 为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。 黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。 黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。 黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。 在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。 由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。微积分理论的创造性贡献 黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。 18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。 1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。 黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。 黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。解析数论跨世纪的成果 19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。 1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。 在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。 那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。组合拓扑的开拓者 在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。 黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。 比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。代数几何的开源贡献 19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。 黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。 著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果 黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。 黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。 19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。 黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。 在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，…… 黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。 不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。 黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。
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黎曼(1826～1866)，1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。
由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。
1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。
1851年，黎曼获得数学博士学位；1854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。
因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。
黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。
黎曼是复变函数论的奠基人
19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。
1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。
柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。
在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。
经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。
黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。
黎曼几何的创始人
黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。
1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。
为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。
黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。
黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。
黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。
黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。
在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。
由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。
对微积分理论的创造性贡献
黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对19世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。
18世纪末到19世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。
1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。
柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。
黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。
黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。
解析数论的跨世纪成果
19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。
1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。
在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。
那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。
组合拓扑的开拓者
在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。
黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。
比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。
代数几何的开源贡献
19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。
黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。
著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。
黎曼在数学物理、微分方程等其他领域也取得了丰硕的成果。
黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。
黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。
19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。
黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。
在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作……
黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。
不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。
黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。
你可能打错字了.是维尔斯特拉斯卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstraß，姓氏可写作Weierstrass，1815年10月31日——1897年2月19日），德国数学家，被誉为“现代分析之父”。生于威斯特法伦(Westfalen)的奥斯滕费尔德(Ostenfelde)（今德国），逝于柏林。卡尔·魏尔施特拉斯的父亲是威廉·魏尔施特拉斯(Wilhem Weierstrass)，任政府官员；母亲是特奥多拉·冯德福斯特(Theodora Vonderforst)。他在文理中学(Gymnasium)学习时对数学开始感到兴趣，但他中学毕业后进入波恩大学准备在政府谋职。他要学习的是法律、经济和金融，违背了他读数学的心愿。他解决矛盾的方法是不留心于指定课业，私下继续自学数学，结果他没有学位就离开了大学。他父亲在明斯特一家师训学校为他找到一个位子，他之后也得以注册为该市教师。他在这段学习中上了克里斯托夫·古德曼(Christoph Gudermann)的课，对椭圆函数萌生兴趣。1850年后魏尔施特拉斯患病了很久，但仍然发表论文，这些论文使他获得声誉。1857年柏林大学给予他一个数学教席。1854年，他发表了一本关於发展阿贝尔（Abel）函数论成果的专论——《关於阿贝尔函数论》公诸於世之后，根据他的学术成就，哥尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1856年由库默尔推荐成为柏林大学（Freie Universität Berlin）助理教授，1865年晋升为教授。生前，他的研究结果大都是向学生讲授传播的。1886年，他出版了《函数论论文集》。虽然他的著作不多，但却发表了最有影响的论文。维尔斯特拉斯的主要贡献在数学分析、解析函数论、变分法、微分几何学和缐性代数等方面。他是把严格的论证引进分析学的一位大师。他的批判精神对19世纪数学产生很大影响。他在严格的逻辑基础上建立了实数理论，用单调有界序列来定义无理数，给出了数集的上、下极限，极限点和连续函数等严格定义，还在1861年构造了一个著名的处处不可微的连续函数，为分析学的算术化做出重要贡献。他完成了由柯西（Cauchy）引进的用不等式描述的极限定义（所谓ε-δ定义）。在解析函数论中，维尔斯特拉斯也有重要贡献。他建立了解析函数的幂级数展开定理和多元解析函数基本理论，得到代数函数论及阿贝尔积分中的某些结果。在变分法中，他给出了带有参数的函数的变分结构，研究了变分问题的间断解。在微分几何中，他研究了测地缐和最小曲面。在缐性代数中，建立了初等因子理论并用来化简矩阵。他还是一位杰出的教育家，一生培养了大批有成就的数学人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡娅、施瓦兹、米塔—列夫勒、朔特基、富克斯等少年数学天才1826年9月17日，在德国汉诺威的布列斯伦茨，黎曼（1826-1866）出生在一个乡下牧师之家，是6个孩子中的次子。黎曼从小酷爱数学。他6岁时开始学习算术，并显现出他的数学天才。他不仅能解决所有留给他的数学问题，而且还经常提一些问题来捉弄他的兄弟姐妹。10岁时他跟一位职业教师学习高级算数和几何，很快便超过了老师，常常对一些问题能做出更好的答案。黎曼14岁时到汉诺威市上中学。由于经济拮据，他总是靠步行奔波于汉诺威市与乡间小村庄之间。当然他更没钱去买参考书。幸运的是中学校长及时地发现了他的数学才能，考虑到他经济上的困难，校长特许黎曼可以从自己私人藏书室里借阅数学书籍。在校长的推荐下，黎曼借了一部数学家勒让德的《数论》，这是一部共859页的4大本的名著。黎曼十分珍惜这种读书机会，他如饥似渴地自学起来，6天之后，黎曼便学完并归还了这本书。校长问他：“你读了多少？”黎曼说：“这是一本了不起的书，我已经掌握了它。”几个月之后，校长就这本书的内容考他。黎曼对答如流，并且回答得很全面。利用校长的藏书，黎曼还抓紧时间很快地自学了大数学家欧拉的著作，由此掌握了微积分及其分支。黎曼不仅从欧拉的著作中学到了数学知识，还学到了欧拉研究数学的技巧。大学生涯19岁时，黎曼进入格丁根大学学习，为了在经济上帮助家庭以尽快找到一个有报酬的工作，他先攻读哲学和神学，但是，除了这两门课程以外，他也去听数学、物理学课程。他听了斯特恩关于方程论和定积分、高斯关于最小二乘法以及戈尔德斯米特关于地磁学的数学讲座，对数学专业产生了难以割舍的兴趣。黎曼向父亲讲述了这一切，请求允许自己改学数学专业。父亲由衷地同意了他的请求。黎曼极为高兴，并深深地感激父亲。1847年，为了师从更多的大师，黎曼转学到柏林大学，就学于大数学家雅可比、狄利克雷、斯泰纳和艾森斯坦门下。他从雅可比那里学到高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学到数论和分析学，从斯泰纳那里学到现代几何，从文森斯坦那里学到椭圆函数论。在此期间，他极为勤奋，甚至放假期间也不休息。1847年秋假，黎曼找到几份巴黎科学院《院刊》，上面载有数学家柯西新发表的关于单复变量解析函数的论文，他一眼便看出这是一种新数学理论，于是一连几个星期闭门不出，潜心研究柯西的论文，并酝酿出他在这个专题上的新见解，为4年后撰写博士论文“单复变量函数的一般理论的基础”奠定了基础。黎曼不仅认真研读大师的学术专著，而且虚心地向大师求教。有一次，狄利克雷来格丁根度假，黎曼趁此机会向他求教数学问题，并将自己未定稿论文交给他，请他提意见。狄利克雷被黎曼的谦虚、真诚和天才迷住了。他与黎曼长谈了两个小时，给黎曼的论文提了不少意见，给黎曼正在研究的课题作了许多指点。黎曼深感受益匪浅，他说没有狄利克雷的指点，他将不得不在图书馆里做好几天的吃力研究。生活虽然清贫，但学习极为勤勉，这使得黎曼在大学毕业时获得了丰硕的成果。1851年底，黎曼将其博士论文呈交给大数学家高斯审阅。高斯在看了论文之后兴奋不已，对黎曼的论文作出了高度评价，这对高斯来说是罕见的。高斯评语道：“黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，说明作者对该文所论述的这一问题作了全面深入的研究，说明作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，具有灿烂丰富的创造力。”贫困中奋进1852年初，黎曼凭借优异的学术表现取得了博士学位，并留在了格丁根大学。十九世纪中叶的德国，科学几乎与国家的经济全然无关。大学的设立仅在训练律师、医师、教师和传教士士，以及提供贵族子弟和富家子弟渡过引人侧目及受尊敬的岁月的场所。只有正教授才可以领政府的津贴，并且可教授正规标准课程，这些课程都是一些基础科目，上课的学生多，因此教授收到的学费也就多了，这就是为什么当时课程水准低落的原因，因为如果课程太难，就没有办法收到许多学生，从而影响到教授们的收入，毕竟贵族子弟和富家子弟上大学的目的并非真心向学。讲师们则没有政府津贴并且轮不到教基本正规课程的机会，全然靠来听课的学生的学费维生，通常，听课的学生不会多，因此收入也就相当微薄，生活非常困苦。担任讲师是成为正教授的必经途径。但是却没有明文规定什么时候能将一位讲师升等为教授，为了照顾特别值得重视的学者而却没有正教授的空缺时，政府可任命他为“客座教授”，使他具有教基本正规课程的资格，增多他的收入，但是这个任命附有条件，言明政府不付任何津贴。因此，在担任讲师期间，黎曼没有任何自主的生活费来源，生活依旧贫穷。但黎曼不顾生活上的贫困，仍然把全部精力投向数学。他认为只要能够勉强维持生活，能够让他研究数学，他就心满意足了。他从不因经济上的拈据而感到沮丧。他一方面积极准备“无薪讲师”的就职演讲论文，另一方面认真从事数学物理方面的研究工作。他的就职论文具有相当的难度。当初为了确定论文的选题，他向高斯提交了3个题目，以便让高斯在其中选定一个。其中第3个题目是涉及几何基础的，这个题目黎曼当时并没有多少案头准备工作，因此黎曼从心底里希望高斯不要选中它。可是，高斯对第3个题目却深有研究，他已思考这个问题达60年之久。出于想看看黎曼对这个深奥的问题会做些什么样的创造性工作，高斯指定第3个题目作为黎曼就职演讲论文的题目。事后，黎曼在向父亲谈起这件事时说，“所以我又处在绝境中了”、“我不得不做出这个题目”。对数学物理研究，黎曼也具有无限的热情，他当时曾对人说：“我对于把一切与物理规律结合起来的数学研究非常入迷。”“我通过对电、光、磁等之间联系的总研究，发现了对这个现象的解释。这件事对我很重要，因为这是我第一次能够把我的工作应用到未知的现象上。”这两项研究在当时都是高水平的，因而也是极困难的。黎曼不顾生活清贫、营养不良，超负荷地忘我工作，长时期过四度而紧张地思索，以致他常常体力衰竭，甚至病倒。一旦身体稍有复原，他又继续研究。功夫不负有心人。1854年6月10日，黎曼以“关于构成几何基础的假设”论文作了就职演讲，受到了与会数学家们的认可和好评。高斯听完之后大为惊异，感到这个年轻人处理这个难题非常之好，他赞不绝口。黎曼的这篇论文被人们认为是19世纪数学史上的杰作之一。1855年格丁根大学开始给黎曼发薪金，但相当的低。一年仅相当于200美元。这一年黎曼29岁，他家里遭到巨大的不幸，父亲和一个妹妹相继去世，原来依靠父亲生活的3个妹妹失去了生活来源。于是黎曼和他的哥哥两人挑起了照顾3个妹妹生活的担子。黎曼时时为一家人的生活感到焦虑。1857年黎曼一年的薪金被加到相当于300美元的水平。由于收入不多，又要照顾3个妹妹，生活担子重，黎曼连自己的婚姻大事都不敢考虑。然而就在这一年，不幸又从天而降，黎曼的哥哥又去世了。这对黎曼来说如同雪上加霜，照料3个妹妹生活的担子全部落在他一人的肩上。从1855年到1859年这5年中，经济拮据、生活清贫一直困绕着黎曼，有时一家甚至陷入对口粮都需要算计的地步。就是在这种情况下，黎曼仍不顾物质生活的贫乏，全身心地投入到数学研究工作之中，在科学的崎岖小道上艰苦奋斗，并获得了令人惊异的成就。他在数学上的许多重要成果都是在这个时期内完成的。他对阿贝尔积分和阿贝尔函数的研究，开创了现代代数几何；他首创用复解析函数研究数论问题，开创了现代意义的解析数论；他对超几何级数的研究，推动了数学物理和微分方程理论的发展。随着研究成果的问世，黎曼在数学界的学术声望迅速提高。他受到许多世界著名数学家的赞扬，获得了一个科学家通常可能得到的最高荣誉。大师之死1859年黎曼33岁时，高斯去世。他被任命为格丁根大学正教授，成为继狄利克雷之后高斯的第二个继任者。这时黎曼的生活才开始得到改善，才开始考虑个人的婚姻问题，并在36岁时与朋友的妹妹结了婚。一年后，他的女儿出生在比萨。但是，长时期清贫的生活、过度的操劳、发奋的研究，使得黎曼身体虚弱、精力衰竭。1862年黎曼患了胸膜炎，不久又患了肺病，一年后又患了黄疽病。在病魔缠身之际，只要有一些力气，黎曼仍坚持数学研究工作。虽然这个时期黎曼积极就医和疗养，但因病入膏盲终无疗效。1866年7月20日，黎曼那颗纯洁、高尚的心停止了跳动。他过早地离开了人世，也过早地离开了数学，终年仅40岁。黎曼是数学史上最具独创性精神的数学家之一，他在众多的数学领域里作出了许多奠基性和创造性的研究工作：他从几何方向开创了复变函数论；是现代意义的解析数论的奠基者；他亲手建立了黎曼几何，是组合拓扑学的开拓者。他对微积分的严格处理作出了重要贡献；在数学物理和微分方程等领域内也成果丰硕。1859年，黎曼被选为柏林科学院通讯院士，1866年他被选为法国巴黎科学院通讯院士和英国皇家学会国外会员。黎曼的英年早逝是德国数学界乃至全世界数学界的遗憾！但是他所留给数学界的，在他少量的已出版的论文集中，已有太多的丰富的概念，至今还未被后世数学家研究殆尽。高斯包含人物[1]和物理单位[2][1]人物：卡尔.弗里德里希.高斯（Carl Friedrich Gauß,～），德国数学家、物理学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。父亲格尔恰尔德·迪德里赫先后当过护堤工、泥瓦匠和园丁，第一个妻子和他生活了10多年后因病去世，没有为他留下孩子。迪德里赫后来娶了罗捷雅，第二年他们的孩子高斯出生了，这是他们唯一的孩子。父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。1806年迪德里赫逝世，此时高斯已经做出了许多划时代的成就。在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。在数学史上，很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了。他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时，他总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，他也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友W.波尔约（,非欧几何创立者之一J.波尔约之父）问道：高斯将来会有出息吗？W.波尔约说她的儿子将是“欧洲最伟大的数学家”，为此她激动得热泪盈眶。7岁那年，高斯第一次上学了。头两年没有什么特殊的事情。1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳（Buttner），他对高斯的成长也起了一定作用。在全世界广为流传的一则故事说，高斯最出名的故事就是他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算1＋2＋3…＋100＝？” 。这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后将答案解了出来，他利用算术级数（等差级数）的对称性，然后就像求得一般算术级数和的过程一样，把数目一对对的凑在一起：1＋100，2＋ 99，3＋98，……49＋52，50＋51 而这样的组合有50组，所以答案很快的就可以求出是： 101×50＝5050。不过，这很可能是一个不真实的传说。据对高斯素有研究的著名数学史家E·T·贝尔（）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899。当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）。当布特纳刚一写完时，高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的，而其他的孩子们都错了。高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题。数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，应该是比较可信的。而且，这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。高斯的计算能力，更主要地是高斯独到的数学方法、非同一般的创造力，使布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯()建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克，正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时----虽然他的博士论文顺利通过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家，又是公爵伸手救援他。公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了《算术研究》，使该书得以在1801年问世；还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词：“献给大公”，“你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究”。1806年，公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手搞中，突然插入了一段细微的铅笔字：“对我来说，死去也比这样的生活更好受些。”慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着象高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。现在，高斯又在他的生活中面临着新的选择。为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（ Humboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥丁根大学数学和天文学教授，以及哥丁根天文台台长的职位。1807年，高斯赴哥丁根就职，全家迁居于此。从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥丁根。洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥丁根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。他有“数学王子”、“数学家之王”的美称、被认为是人类有史以来“最伟大的三位（或四位）数学家之一”（阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉）。人们还称赞高斯是“人类的骄傲”。天才、早熟、高产、创造力不衰、……，人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过份。高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18----19世纪之交的中坚人物。如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。虽然数学研究、科学工作在18世纪末仍然没有成为令人羡慕的职业，但高斯依然生逢其时，因为在他快步入而立之年之际，欧洲资本主义的发展，使各国政府都开始重视科学研究。随着拿破仑对法国科学家、科学研究的重视，俄国的沙皇以及欧洲的许多君主也开始对科学家、科学研究刮目相看，科学研究的社会化进程不断加快，科学的地位不断提高。作为当时最伟大的科学家，高斯获得了不少的荣誉，许多世界著名的科学泰斗都把高斯当作自己的老师。1802年，高斯被俄国彼得堡科学院选为通讯院士、喀山大学教授；1877年，丹麦政府任命他为科学顾问，这一年，德国汉诺威政府也聘请他担任政府科学顾问。高斯的一生，是典型的学者的一生。他始终保持着农家的俭朴，使人难以想象他是一位大教授，世界上最伟大的数学家。他先后结过两次婚，几个孩子曾使他颇为恼火。不过，这些对他的科学创造影响不太大。在获得崇高声誉、德国数学开始主宰世界之时，一代天骄走完了生命旅程。在处理相片的软件 photoshop 中,有一种菜单叫高斯模糊,这种功能对模糊一些不必要的地方很有作用。高斯(Gauss 1777~1855)生於Brunswick，位於现在德国中北部。他的祖父是农民，父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，高斯这位舅舅，对小高斯很照顾，偶而会给他一些指导，而父亲可以说是一名「大老粗」，认为只有力气能挣钱，学问这种劳什子对穷人是没有用的。高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时进了小学，在破旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。高斯十岁时，老师考了那道著名的「从一加到一百」，终於发现了高斯的才华，他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时，高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟，而Bartels的能力也比老师高得多，后来成为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。老师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的父亲认为儿子应该像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是－－去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不知道要到哪里找。经过这次的访问，高斯免除了每天晚上织布的工作，每天和Bartels讨论数学，但不久之后，Bartels也没有什麽东西可以教高斯了。1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业后就要他不必再上数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。1791年高斯终於找到了资助人－－布伦斯维克公爵费迪南(Braunschweig)，答应尽一切可能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔年，高斯进入Braunschweig学院。这年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的「二次互逆定理」(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。1795年高斯进入哥廷根(G?ttingen)大学，因为他在语言和数学上都极有天分，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对於正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了：一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一：1、n = 2k，k = 2, 3,…2、n = 2k × (几个不同「费马质数」的乘积)，k = 0,1,2,…费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257， F4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：任一多项式都有（复数）根。这结果称为「代数学基本定理」(Fundamental Theorem of Algebra)。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。在1801年，高斯二十四岁时出版了《算学研究》(Disquesitiones Arithmeticae)，这本书以拉丁文写成，原来有八章，由於钱不够，只好印七章。 这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论，可以说是数论第一本有系统的着作，高斯第一次介绍「同余」(Congruent)的概念。「二次互逆定理」也在其中。二十四岁开始，高斯放弃在纯数学的研究，作了几年天文学的研究。当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。在1801年，意大利的
9月17日出生的人物： 黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的 穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷 根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。 由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根 大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。 黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。 1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的 学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。 l851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年 晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。 因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核， 其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁 。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深 刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多 奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 复变函数论的奠基人 19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函 数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对 单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的 结论。 1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士 论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进 一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同 时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在 处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔 斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。 通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎 曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结 论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初 期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼— 罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。 黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯 在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给 出著名的黎曼映射定理。 黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理 几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名 字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。 1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲， 该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲 中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的 概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。 为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章 后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐 明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。 黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里 得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行 考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲 面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可 以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变 参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流 形。 黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间 的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义 类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等 于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统 微分几何的推广。 黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴 性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。 在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线 所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条 都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切 夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关 于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具 有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。 由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用 价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手 段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦 就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代 理论物理必备的数学基础。 微积分理论的创造性贡献 黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善 微积分理论的杰出贡献载入史册。 18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证 明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯， 都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学 ，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。 1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平 的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇 内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连 续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50 年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的 著名反例，最终讲清连续与可微的关系。 黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的 必要充分条件。 黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克 莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定 理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定 的和或者发散。 解析数论跨世纪的成果 19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入， 而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。 1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页 的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函 数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。 在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他 的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今 ，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。 那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去 这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些 其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖 于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复 变函数论的内容。 组合拓扑的开拓者 在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关 于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到 解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时 被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的 复变函数论的工作。 黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研 究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事 实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的 全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。 比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身 已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高 维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓 扑的先期开拓者。 代数几何的开源贡献 19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的 方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。 黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类 ，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不 变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热 门的领域之一。 著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了 黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究 曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。 在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果 黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的 关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他 是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学 结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕 成果。 黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的 一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带 代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。 19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905 年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。 黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于 超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二 阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。 在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解 波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对 关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，…… 黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程 》编辑出版，这是一本历史名著。 不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想 过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接 受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如 在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的 争议。 黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎 曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。 1970年，FC里加斯孔托的安德雷斯·皮德尔斯（Andrejs Piedels）出生。 1971年，汉堡SV的谢尔盖·巴巴雷斯（Sergej Barbarez）出生。 1973年，希腊的瑟米斯托克里斯·尼科莱迪斯（Themistoklis Nikolaidis）出生。 1973年，莫尔德FK的佩特·鲁迪（Petter Rudi）出生。 1974年，沙尔克04的达里奥·罗德里格斯（Darío RODRíGUEZ）出生。 1977年，莫斯科中央陆军的罗兰·古肖夫（Rolan GUSEV）出生。 1977年，AS罗马的西蒙尼·佩罗塔（Simone PERROTTA）出生。 世界杯球员 1965年，伊朗的阿里·阿克巴尔·奥斯塔达萨德里（Ali Akbar Ostadasadli）出生。 1969年，巴西的巴雷托·法里亚·比斯马克（Barreto Faria Bismarck）出生。 1970年，巴西的埃迪尔森（Edilson da Silva Ferreira）出生。 1971年，奥地利的罗曼·马赫里希（Roman Mahlich）出生。 1974年，乌拉圭的达里奥·罗德里格斯（Dario Rodriguez）出生。
黎曼猜想是关于黎曼ζ函式ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。
与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要的数学难题。目前有讯息指奈及利亚教授奥派耶米伊诺克(OpeyemiEnoch)成功解决黎曼猜想，然而克雷数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题。
在arxiv网站上有一篇文章指出 ，1932年德国数学家整理的黎曼遗稿中给出了黎曼猜想的证明。文章的作者根据手稿中的一个结论性公式，直接推导出来ζ(s)函式在矩形区域的零点全部落在临界线上。
黎曼猜想是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺瓦王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为"论小于给定数值的素数个数"的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的"诞生地"。
黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至国小课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。
黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函式之中，尤其是使那个函式取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函式如今被称为黎曼ζ函式，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函式的非平凡零点。
有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多"证明从略"的地方。而要命的是，"证明从略"原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些"证明从略"的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的论文在为数不少的"证明从略"之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。 黎曼猜想自1859年"诞生"以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。
当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理;反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是极为罕有的。
1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。
黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函式ζ()的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
黎曼ζ 函式 ζ(s) 是级数表达式
在复平面上的解析延拓。
之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓(当然黎曼没有使用 "解析延拓" 这样的现代复变函数论术语)。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函式可以表示为:
这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分(即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ ，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)，按照现代数学记号应记成:
其中积分路径C跟上面所述相同，环绕正实轴，可以形象地这样表示:
式中的 Γ 函式 Γ(s) 是阶乘函式在复平面上的推广， 对于正整数 s>1:Γ(s)=(s-1)!。可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ 函式的完整定义。
运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函式满足以下代数关系式:
从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函式在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函式取值为零的点被称为黎曼ζ 函式的零点。因此 s=-2n (n 为正整数)是黎曼ζ 函式的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函式的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函式还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。
黎曼猜想提出:
黎曼ζ 函式的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。
在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line(临界线)。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为:黎曼ζ 函式的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
黎曼猜想由德国数学家黎曼(Bernard)于1859年提出，其中涉及了素数的分布，被认为是世界上最困难的数学题之一。荷兰三位数学家 de Lune， te及利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函式的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。
1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kiberika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。
1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No(T)>(T)。
1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No(T)>(T)。
1932年发表的文章中 ，有下面这样一个公式:
文章 的作者根据这个公式的几何意义以及cos函式的零点性质，直接推导出来No(T)=N(T)，即证明了区域内的零点全部落在临界线上。
从黎曼的遗稿 *** 整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常出现 ，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连 本人对于这个公式的作用也大惑不解。实际上，只要跳出解析数论来看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用复分析的几何思想严格的证明了现代所说的"黎曼猜想"。这也许是数学史上最大的冤案。
2016年11月17日，奈及利亚教授奥派耶米 伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决已存在156年的数学难题——黎曼猜想，获得100万美元(约合人民币630万元)的奖金。
2000年，美国克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一。
2018年9月，麦可·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，将于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲，麦可·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。
2018年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）在演讲时表示，自己已证明了黎曼猜想。
利用todd函式反证法，证明了所有零点都在临界线上。他公开了这篇研究论文，总共5页。在论文中，借助量子力学中的无量纲常数α（fine structure constant），阿蒂亚声称解决了复数域上的黎曼猜想。
阿蒂亚说他希望理解量子力学中的无量纲常数——精细结构常数。因为精细结构常数大约等于1/137，刻画的是电磁相互作用的强度。比如在氢原子中，我们大致可以说电子绕原子核的速度是1/137再乘上光速。
阿蒂亚指出，理解精细结构常数只是最初的动机。在这个过程中发展出来的数学方法却可以理解黎曼猜想。
最后，在论文的最后，阿蒂亚说，精细结构常数与黎曼猜想，用他的方法，已经被解决了。当然他只解决了复数域上的黎曼猜想，有理数域上的黎曼猜想，他还需要研究。另外，随着黎曼猜想被解决，阿蒂亚认为，bsd猜想也有希望被解决。当然，现在阿蒂亚认为，引力常数G是一个更难理解的常数。
在黎曼猜想中，我们看到非平凡零点的实部都等于1/2，这是一个让人很意外的常数。虽然我们可以从一个简单的对称关系中看出为什么会出现1/2。
1-s=s，所以 s=1/2
黎曼(Riemann，Gee Friedrich Bernhard，1826-1866，德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函式。他把通常的函式概念推广到多值函式，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了高斯的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括:复变函数在Abel积分和 theta函式中的套用，函式的三角级数表示，微分几何基础等。
黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断:Zeta函式的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函式论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。
黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题， 那就是素数的分布。素数是像。
是数学家波恩哈德·黎曼提出的一种假设，素数是不会被其他正整数整除的。质数没有大家想的那么简单，背后有非常深的奥秘。
黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。
民族声乐艺术的情感表现更新时间：2009-12-16 14:32:56 作者：樊凤龙 来源：校园论文网 点击数：9 打印本页 加入收藏【论文摘要】民族声乐是中华民族的瑰宝,是非物质重要遗产之一。在本文中,笔者讨论了深入研究表演作品、借助戏曲表演抒发情感这两条提高民族声乐艺术情感表现的有效途径。【论文关键词】民族声乐;情感表现民族声乐是中华民族的瑰宝,是非物质重要遗产之一。民族声乐的发展历史可以追溯到远古时代,时至今日,已经历了三个发展阶段[1]:1)启蒙时期——远古到隋唐;2)发展时期——宋元明清;3)成熟时期——民国至现代,将中西两种演唱方式融合,形式了较为系统的演唱方法。经过漫长的发展,民族声乐形成了自己独特的风格和魅力,这其中包括民族声乐的审美特征与审美标准、演唱的理论技法、演唱的情感表现等等,中国音乐学院著名的金铁霖教授,曾把声乐艺术归结为七个字:“声、情、字、味、表、养、象”[2],对这些问题进行有序梳理对我国民族声乐的进一步发展有着十分重要的意义。声乐艺术是通过优美动听的旋律,歌者婉转悦耳的音色来表达思想感情的一门艺术,民族声乐更是如此。千百年来,有很多人都研究了声与情之间的关系,例如汉代刘安的《淮南子》中就曾记载:“韩娥、秦青、薛谭之讴,愤子志,积于内,盈而发音。”[3]《乐记》中也记载:“凡音之起,由人心生也。人心之动,物使之然也。”“凡音者,生人心者也。情动于中,故形于声。”[4]由此进一步说明了,音乐是情感表达的一门艺术,声乐艺术需声情并茂,以声传情,寄情于声,声请融合。那么,如何正确地、恰如其分地通过声乐表现情感呢? 笔者认为,有以下两个方面进行尝试:1.深入研究表演作品著名声乐理论家凯萨利曾说:“如果歌者献出足够的时间和思想来分析他的歌曲,并充分发挥他的想象力……他将及时发展出一种敏锐的机能,从而他将能够进入与作家创作某特定作品时的、多少有些相似的心理状态。”[5] 熟悉、了解并真正理解作品是诠释好民族歌曲的重要前提。首先,歌者应该熟悉并认真研读作品。由于业界受到“声乐技术第一”观念的长期误导,很多歌者都把重心放在了一味追求声乐技巧,只注意声音的练习,而忽略了“声乐作品”这一演唱所要依托的根本,结果演唱时吐字不规范、音乐不准确等现象频频发生,严重歪曲了作品的真实面貌,作品应有的艺术价值也一落千丈。[6]这也就致使许多歌者演唱时,表情做作,眼神里、形体上都不能得到应有的表现,演唱没有真情实感,更不用说细腻地表达作品内涵,也就打动不了观众。歌词是歌曲的情感内涵表达的重要依据和途径,“语言是思想的直接体现,人物、事物、景物的种种表现,抒情、叙事、咏叹的种种变化,喜怒哀乐的种种表情等等,无不都是通过语言表达的结果。”[7]因此熟悉掌握歌词的具体内容,加深对歌词的理解和感受,是歌者所必须进行的功课,也唯有对歌词有了深入的理解,才能恰如其分的诠释民族声乐艺术的情感内涵,真正做到声乐艺术的传情达意。例如云南民歌《小河淌水》最初的元素是青年女子思恋远方恋人的山歌小调。表现女青年对爱情的执着追求。这首歌曲的歌词很口语化,这是民歌的普遍特征。各地口语的区别同时显示出该口语所在地的环境及内涵。“月亮出来‘亮汪汪’”,是很南方口语化的语言,同样的语句在南方,特别是云南地区口语中是很常见的,不但忠实记录了山歌抒情歌唱的自然环境,而且成为了加强情感表达的特殊调式。同时成就了《小河淌水》艺术表达的特殊魅力。第二,必须谙熟作品的旋律变化。音乐是听觉的艺术,是美的展现,而旋律是音乐作品的灵魂,音乐作品通过旋律来使人听者感受其中的意境与情感,通过对旋律、节奏和力度的体会来展开想象。旋律是歌曲中词的抒情基础,是词的深化和发展。故此,歌者需要重视歌曲旋律的重要性,要深刻理解旋律的起伏与变化,关注曲谱的每一个结构和每一个细节,从宏观上全面把握作品的风格和特征,从微观上细腻地了解每一处变化,反复琢磨研究,从而真正领悟作品的情感变化,激发内心的真实情感。只有先感动自己,才能去感动别人。“民族声乐作品的抒情性和旋律性都很强,极富表现力和感染力,具有鲜明的个性特色和民族风格,对旋律的把握是反映作品体现情感的重要手段。”[8]例如陕西民歌《走西口》曲调高亢、悲怆,情感真挚、缠绵,表现了就社会陕西、山西一带贫苦劳动人民迫于生计,背井离乡,外出谋生,春去秋回,甚至有去无回的悲惨景象,鲜明的曲调个性,蕴含了丰富的情感表现力和艺术张力。第三,深刻地理解作品,进行角色设计。一首演唱作品的思想内涵,角色把握都需歌者进行深入的研究,需要根据作品的时代背景、环境背景、人物背景进行一定的场景设计和角色设计。浙江民歌《采茶舞曲》保持了民间采茶歌舞的基本风格,采用民族的五声徵调式,又有调式交替的素材,旋律优美流畅,曲调欢快、跳跃,表现了种茶、采茶的欢乐情绪。歌者在演唱的时候可以想象自己置身于茶园之中,与众多采茶姑娘一起欢乐采茶,快乐聊天,歌曲中逗趣性的乐句,如一问一答,似年轻人在相互嬉戏,像老年人对丰收的赞美,再现采茶姑娘青春焕发的风貌。2. 借助戏曲表演抒发情感“情动于中而形于外,适当的形体动作有助于情感的表达,这对歌唱者是必要的。”[9] 著名音乐家舒曼也说:“只能够发出空洞的音响,而没有适当的手段来表达内心情绪的艺术乃是渺小的艺术。”中国音乐学院教师吴碧霞曾说:“我的表情与身体会不自觉地随着心中感情而动作。俄罗斯艺术歌曲《夜莺》我已演唱过多次,随着演唱技巧的提高,在许多公开演出中,我试图在花腔部分配合眼神的动作来表现夜莺的灵巧轻盈……一般说来,好像外国作品不主张有过多的外在动作参与,但是台上的我却收到了极佳的效果……”[10] 著名指挥家的托卡尼尼也说过:“一个学音乐的人,不管演唱技巧是如何高明,如果缺乏情感的表达,他不是艺术家,而是艺术匠人,匠人满街都是,而艺术家却在百人中难找一个人。”[11]由此可见,表演对歌曲的诠释非常重要。而戏曲表演则是歌曲演唱表演的基础之一,除了声音以外,演员还要精确、鲜明地刻画人物的外形和神韵,以形传神、以形传情。戏曲表演中十分注重眼神的运用,《梨园原》中清代著名艺人黄幡绰写道:“凡作各种状态,必须作眼先引”,并进一步指出只有运用灵动闪亮而又有力度的“眼神”,才能把深藏在内心的各种不同情感,使其外化展现,从而生发出干变万幻的面部神态来。[12]动作在歌唱表演中同样重要,要灵活运用各种肢体语汇,以突出人物的性格、思想情感,举手投足时间将内涵与表象交融于一体,创造出鲜活的艺术形象和独特的意境,提高表演的艺术感染力,达到完美的艺术效果。民族声乐受到民族文化与生活的深刻影响,因此,更加追求艺术表演的真实性与贴近性,也就更加重视表演的作用。眼神的恰到表现,可以使歌者的情感,作品的思想从中反映出来,加之适当的形体动作,整个民族声乐表演才能声情并茂、扣人心弦、深入人心。例如,四川民歌《太阳出来喜洋洋》曲调优美,歌词朗朗上口,是我国各民族优秀民歌代表作之一,在跳跃俏皮的旋律中感恩太阳为人类带来了能量、歌唱太阳为世界送来了光明。在演唱这首歌曲时,歌者不仅需要有高亢、激昂的歌声,眼神要充满喜悦希望,充分表现出勇往直前的乐观风貌和欢乐喜庆的氛围。此外,歌者也要充分运用咬字吐字等演唱技巧来表现音乐作品的内涵,体现音乐作品的情感特色。歌唱是以歌声为媒体,以各种样式的题材为内容,以传达歌曲作者以及歌唱者思想与感情为目的的艺术活动。演唱者必须尽力调动自己能够掌握的一切艺术技巧,力求达到艺术作品内容与形式的高度统一。声乐演唱如果不能凭借艺术家娴熟的技术达到形式上的完美,任何好的作品都会黯然失色。尤其是民族歌曲,民族唱法十分强调语言的音乐的关系,讲究根据演唱语言的发音规律来处理发声、共鸣、行腔,讲究字音的五音、四呼、出声、归韵、收声,民族唱法具有浓郁的中华民族气质、个性、风格。[13]当然,歌者还要不断加强自身的文化理论修养,丰富自身的社会体验,提高自身的舞台经验,只是如此,才能将演唱作品内容用技术性、艺术性相结合,才能真正做到声情结合,以声动人,以情感人,从而获得良好的艺术效果。 【参考文献】[1]胡红.论中国民族声乐艺术中的情感表达[J].美与时代,2008,(9).[2]“金氏唱法”的秘诀[N]. 中国文化报,2008-12-30.[3]刘安.淮南子[M].北京:北京燕山出版社,2009.[4]蔡仲德.《乐记》论辩[M].北京:人民音乐出版社,1983.[5] [7]宋天宇.浅谈民族声乐演唱中的艺术表现[J].世界华商经济年鉴,2008,(4).[6]唐明务.声乐演唱不能忘“本”[ J].人民音乐,2007,(11).[8]朱婕平.声乐表演艺术的再创作———民族声乐作品的感情处理与表现[J].科教文汇,2006,(3).[9]刘朗主编.声乐教育手册[M].北京:北京师范大学出版社,1994.[10]吴碧霞.“鱼”与“熊掌”能否“得兼”[J].《怎样提高声乐演唱水平》(二)中央音乐学院学报编缉部编,北京:华乐出版社[M],2005.[11]吕云路.意大利发声方法几项重点问题[J].刘朗编《声乐教育手册》,北京:北京师范大学出版,1995,第94页。[12]张鸿雁.论戏曲表演的“眼神”[J].黄梅戏艺术,2008,(2).[13]韦惠.浅析教学中民族声乐的演唱技巧[J].科教创新,2008,(7).作者简介:樊凤龙(1975--),女,江西财经大学艺术与传播学院音乐系讲师
音乐教学论文参考文献
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这种东西都是花钱买的 明码标价哦 一篇多少钱
2000字！鬼才写上面那篇我估计你也没看完
什么场景的乐趣和演奏是是什么感绿人就好就行了？
代表人物有贝多芬、罗伯特·舒曼、弗里德里克·肖邦、约翰·施特劳斯、柴可夫斯基等。
一、贝多芬
1、人物简介
路德维希·凡·贝多芬 （Ludwig van Beethoven， 1770年12月16日—1827年3月26日），出生于德国波恩，维也纳古典乐派代表人物之一，欧洲古典主义时期作曲家。
贝多芬在父亲严厉苛刻的教育下度过了童年，造就了他倔强、敏感激动的性格。22岁开始终生定居于维也纳，创作于1803年至1804年间的《第三交响曲》标志着其创作进入成熟阶段。
此后20余年间，他数量众多的音乐作品通过强烈的艺术感染力和宏伟气魄，将古典主义音乐推向高峰，并预示了19世纪浪漫主义音乐的到来。1827年3月26日，贝多芬于维也纳去世，享年57岁。
2、代表作介绍
①、《降E大调第三交响曲》
《降E大调第三交响曲》（The Symphony in E flat major，，又名《英雄交响曲》），是德国作曲家路德维希·凡·贝多芬作于1804年的交响曲，作品55号。
交响曲第一乐章描绘了英雄在战斗中成长；第二乐章是葬礼进行曲，亦是贝多芬独创；第三乐章是谐谑曲；第四乐章是凯旋进行曲式的终曲。、
这首交响曲从内容到形式都富于革新精神，感情奔放，篇幅巨大，和声与节奏新颖自由。他在曲式结构上作了革新，如用一首庄严的葬礼进行曲作为第二乐章，用一首谐谑曲作为第三乐章，都是前所未有的。全曲宏伟壮阔。
②、《c小调第五交响曲》
《c小调第五交响曲》（Symphony No. 5 in C minor, Op. 67），又名命运交响曲（Fate Symphony），是德国作曲家路德维希·凡·贝多芬创作的交响曲，作品67号，完成于1807年末至1808年初。
《c小调第五交响曲》以音乐中的短—短—短—长节奏动机开场。据说，贝多芬曾将四个音的动机解释为“命运之神在敲门”。
它主导了第一乐章，并在整个交响曲中扮演了相当重要的角色。整首交响曲可以被看到是情感的发展，从c小调第一乐章的冲突与斗争，发展到c大调末乐章的胜利与喜悦。
最末乐章是全曲的最高潮，它比第一乐章在篇幅上更长、在声音上更有力。
二、罗伯特·舒曼
1、人物简介
罗伯特.舒曼（robert schumann，1810年6月8日—1856年7月29日），19世纪德国作曲家、音乐评论家。
舒曼自小学习钢琴，7岁开始作曲。16岁遵母意进莱比锡大学学习法律。19岁又进修钢琴，当听到帕格尼尼的演奏，他受到了极大的影响，放弃了法律的学习，专攻音乐。
后因手指受伤，遂转向作曲和音乐评论。1835-1844年，独自编辑《新音乐杂志》，并开始创作大量钢琴作品。1840年获耶拿大学哲学博士，1843年赴莱比锡音乐学院任教。
1844~1850年，移居德雷斯顿继续从事作曲和指挥。因精神疾病日趋严重1854年投河被救，两年后逝世于精神病院。
2、代表作介绍
①、《蝴蝶》
《蝴蝶》是舒曼最早的杰作，其特点是优美的散文形式。
全曲由一个六小节的序和十二段小曲组成，每段的标题是：《化装舞会》、《巴尔特》、《布尔特》、《假面》、《维娜》、《布尔特之舞》。
《交换假面》、《招供》、《愤怒》、《卸装》、《急忙》、《终场与踏上归途的兄弟们》。
②、《维也纳狂欢节》
《维也纳狂欢节》是舒曼所做的钢琴套曲作品号为，题目本身就是一种抢救行动，一开始这部作品定名为《狂欢节：四个音符的玩笑》，舒曼最后将题献给莫南德·席勒，他描绘它为“一首伟大的浪漫奏鸣曲”。
三、弗里德里克·肖邦
1、人物简介
弗里德里克·弗朗索瓦·肖邦（，1810年—1849年），19世纪波兰作曲家、钢琴家。
1810年，肖邦出生于波兰；1817年开始创作；1818年登台演出；1822年至1829年在华沙国家音乐高等学校学习作曲和音乐理论。
1829年起以作曲家和钢琴家的身份在欧洲巡演。后因华沙起义失败而定居巴黎，从事教学和创作。1849年，肖邦因肺结核逝世于巴黎。
肖邦是历史上最具影响力和最受欢迎的钢琴作曲家之一，是波兰音乐史上最重要的人物之一，欧洲19世纪浪漫主义音乐的代表人物。
他的作品以波兰民间歌舞为基础，同时又深受巴赫影响，多以钢琴曲为主，被誉为“浪漫主义钢琴诗人”。
2、代表作介绍
①、《c小调革命练习曲》
肖邦的这首练习曲，表现了肖邦在华沙革命失败后内心的悲愤欲绝。
因此，被后人命名为“革命”练习曲。全曲激昂悲愤，深刻地反映了肖邦在华沙陷落、起义失败后的心情，那催人奋起的旋律，表现了波兰人民的呐喊与抗争。
②、《降E大调辉煌大圆舞曲》
降E大调大圆舞曲（Valse Brilliante, )是肖邦献给罗拉·波斯沃德小姐（Laura Horsford)的一首圆舞曲，是肖邦最著名的圆舞曲之一。此曲旋律轻快欢乐，颇受大众喜爱。
四、约翰·施特劳斯
1、人物简介
约翰·巴普蒂斯特·施特劳斯(Johann Baptist Strauss)，1804年3月14日出生在维也纳，与其长子小约翰·施特劳斯同名，故被称为老约翰·施特劳斯(Johann Strauss Vater)或约翰施特劳斯一世(Johann Strauss I)以区别。
他的祖父名叫约翰·迈克尔·施特劳斯（1727 - 1800），是一名皈依了天主教的犹太人，原来住在利俄波德斯塔特（Leopoldstadt），也在多瑙河沿岸，离维也纳不算太远。
他的父亲叫弗郎茨·博尔加斯·施特劳斯（Franz Borgias Strauss, 1764年10月10日——1816年4月5日），会拉小提琴。
母亲叫芭芭拉·多曼（Barbara Dollmann, 1770年12月3日——1811年8月28日），后来他们全家迁居到维也纳，老约翰·施特劳斯受父亲的影响，从小学小提琴，后来从师维也纳歌剧院提琴手伊格拉茨·冯·惠利。
1817年以后，他在米夏爱尔·潘配领导的流行舞蹈乐队里拉中提琴。1819年，他又到约瑟夫·兰纳的维也纳圆舞曲乐队里拉琴，有时担任指挥。
1825年，他和玛丽亚·安娜·施特赖姆结了婚，生了三个儿子，这时，他离开了兰纳，自己组了一个乐队，并为这些乐队写了不少乐曲。
1849年9月25日，老约翰·施特劳斯在维也纳逝世，享年四十五岁。
2、代表作介绍
①、《拉德斯基进行曲》
拉德斯基进行曲，管弦乐曲，奥地利作曲家老约翰·施特劳斯作于1848年。是老约翰最著名的代表作，经常作为通俗的管弦乐音乐会的最后一首曲目。
每年著名的维也纳新年音乐会也总是以这首曲子作为结束曲，并已成为一种传统。
五、柴可夫斯基
1、人物简介
彼得·伊里奇·柴可夫斯基（俄文：Пётр Ильич Чайковский/英文：Pyotr Ilyich Tchaikovsky，又译为柴科夫斯基，1840年5月7日—1893年11月6日）。
十九世纪伟大的俄罗斯作曲家、音乐教育家，被誉为伟大的“俄罗斯音乐大师”和“旋律大师”。
柴可夫斯基1840年5月7日生于矿山工程师兼官办冶金工厂厂长家庭。1859年毕业于圣彼得堡法律学校，在司法部任职。
1861年入俄罗斯音乐协会音乐学习班（次年改建为圣彼得堡音乐学院）。1863年辞去司法部职务，献身音乐事业。
1865年毕业后，在莫斯科音乐学院任教，同时积极创作，第一批作品问世。受富孀梅克夫人资助，1877年辞去教学工作专事创作。
1878-1885年间曾多次去西欧各国及美国旅行、演出。1893年6月荣获英国剑桥大学名誉博士学位。同年10月底在彼得堡指挥《6号悲怆交响曲》首次演出后不久即去世。
2、代表作介绍
①、《悲怆交响曲》
《悲怆交响曲》（《第六交响曲》）是柴科夫斯基作品中最著名、最杰出的乐曲之一，也是古今交响曲中第一流的精品。
大约在1893年八月末至九月间完成，为作者的代表作。柴科夫斯基自认为这部交响曲是他一生中最成功的作品，也是他最得意的杰作。
本曲首演于同年的十月二十八日，六天之后，作者不幸染上霍乱（另有一说为柴科夫斯基因同性恋被判死刑，服毒自杀），与世长辞。本曲终成为柴科夫斯基的“天鹅之歌”。
参考资料来源：百度百科——浪漫主义音乐
我承认我是复制的，但这一部分确实是小说的内容，文学的角度。 序奏 D大调以分散主和弦音型为主，像韦伯的《邀舞》，也让人联想到肖邦的《第一叙事曲》，这几小节简短的音型，让人感觉舞会马上就要开场了！第一首 D大调引让保罗的文学情节：瓦特踏出小屋向上帝祈求，让他能够再觉得快乐；他觉得好像一个好名的英雄，正踏入他的第一场战役（爱情战役）第二首 降E大调－降A大调文学情节：穿过他一生所追逐的迷途，他走进那间普恩其厅，那间他用来开舞会的大厅.................他没有看见维娜，也没有看见伍特。最后，因为要检查旁边那间屋子，不意来到人群汹涌、声浪交响的大厅.....................充满了像锯齿样的东西，锯来锯去的！第三首 升f小调小说情节：最吸引他的是一双到处滑动的巨型靴子，它会自己穿上卸下！第四首 升f小调小说情节：“希望”很快的转身，一个揭去面具的牧羊女来了，还有一个清纯的女尼带着半个面具，有九轮樱的花香！ 1－16小节以轻巧亮丽的八度旋律带出三位迷人的女士！大家可以感受下第五首 降B大调小说情节：现在它独自站在这个沉默的少女旁边，约有一秒钟，她的脸从半个面具下，露出迷人的笑容，仿佛含苞待放的玫瑰和百合，从花蕊里绽放似的。他们彼此望着躲在面具后的脸，仿佛来自遥远国度的两个陌生精灵；又有如日蚀中的星辰，灵魂望着灵魂，是如此的遥远................第六首 d小调小说情节：你的华尔兹，回旋于大厅中，几乎是模仿的动作...........有些像马车夫的水平运动，有些像是登山者的垂直运动。 1－6小节节奏重音移到第三拍，带出奇特的d小调圆舞曲，并正规的结束在F大调上，仿佛一方面描绘湘保罗小说中的舞步，一方面生动的呈现舞会中饮酒作乐、高谈阔论的喧哗景象！第七首 f小调 非常单纯的小说情节：他摘掉他的面具，在他的眉宇和言谈间显露着一种奇怪的干涩和帜热..............但愿你内心的愿望得以实现，不管是大是小，都希望让你快乐，只要你能恳切的祈求！第八首 升c小调－降D大调小说情节：好像一个少男摸著名作家的手：他也像蝴蝶的翅膀轻轻的摸着维娜的背。然后，起身离开一段距离，仔细端详那张生动的脸！第九首 降b小调小说情节：这个我只能这么回答你：“很高兴............所以快点吧”瓦特好不考虑的回答！第十首 C大调小说情节：当瓦特进来的时候，他觉得每个人都注意到他换了个面具。有些女性发现，在花后面的“希望”换上了棕色的头发，瓦特的步伐也变小了，女性化了，正好适合“希望”。但接着他忘记了自己，大厅以及所有的事情，因为伍特出现，并和维娜共舞着如画的舞曲。....................舞曲结束后，伍特急促的伸出双手画十字，飞耀的上下滑动。越来越多的波兰诗琴不见了，只有微弱的语言－－犹如来自远方荒岛上的蝴蝶迷失在大海上，也仿佛奇特的云雀歌声在晚夏喃喃下沉！第十一首 D大调无小说情节，此为一首壮丽愉快、多彩多姿的波兰舞曲，取材自早期的钢琴二重奏。展现处迷人的愉悦气氛。并仿佛将音乐带回甜蜜的梦幻中！第十二首 D大调当舞会达到热烈的顶点时，舒曼以德国民谣《老祖父之舞》，运用法国号五度进行做为最后的主题，象征瓦特在爱情战争中的胜利！
月去的蝴蝶一种场景叫蝴蝶音乐的年度幸运就是在这儿蝴蝶泉各方面它就比较好的话是？