初等数论论文研究方向

趣味数学故事：

战国时期，齐威王与大将田忌赛马，齐威王和田忌各有三匹好马：上马，中马与下马。比赛分三次进行，每赛马以千金作赌。由于两者的马力相差无几，而齐威王的马分别比田忌的相应等级的马要好，所以一般人都以为田忌必输无疑。

但是田忌采纳了门客孙膑（着名军事家）的意见，用下马对齐威王的上马，用上马对齐威王的中马，用中马对齐威王的下马，结果田忌以2比1胜齐威王而得千金。这是我国古代运用对策论思想解决问题的一个范例。

数学分支

1、数学史

2、数理逻辑与数学基础

a：演绎逻辑学（也称符号逻辑学），b：证明论（也称元数学），c：递归论，d：模型论，e：公理集合论，f：数学基础，g：数理逻辑与数学基础其他学科。

3、数论

a：初等数论，b：解析数论，c：代数数论，d：超越数论，e：丢番图逼近，f：数的几何，g：概率数论，h：计算数论，i：数论其他学科。

楼主是学数学的吧，能不能认识一下，以后有机会向你请教。以下是复制的。中国数论研究的历史最早是从什么开始的？在中国早在20世纪30年代，华罗庚就开始研究数论问题了。他的老师杨武之就是研究数论问题的。华罗庚是中国学派——这个数论研究团队的领军人物，除了他自己的三角和估计与《堆垒素数论》等重要贡献外，华罗庚还对中国数论研究的方向与具体问题以及长期研究的后备人才的培养等均做出了重要的部署。同时他组织一批年轻的数学家冲击“哥德巴赫猜想”这个世界难题，并取得了重要的进展。中国近代数论的研究是由杨武之开始的。他在1928年获得美国芝加哥大学博士学位，曾师从狄克逊（. Dickson）。他曾经证明了，“每个正整数都是由九个形如（x-1)x(x+1)/6的非负整数之和”，这是最早的中国近代数论的结果。 1929年杨武之受聘到清华大学数学系执教。1931年华罗庚来清华大学数学系先任图书管理员、后任助理员，边工作，边学习。系里的华罗庚与柯召对数论比较感兴趣，杨武之就指导他们进行数论研究。1936年，华罗庚与柯召去英国，分别进入了剑桥大学和曼彻斯特大学，师从哈代()与莫德尔（)研究数论。华罗庚在去英国前，就已经开始研究当时的主流数论，即哈代-李特伍德-拉马努金圆法与维诺格拉朵夫指数与估计方法方面的工作，这使他掌握了数论的制高点，所以他的数论工作，无论是在广度与深度上，在中国都是最为突出的，他的数论工作在解析数论中有着持久的影响力，同时也受到国际同行的尊敬。另外华罗庚广招学生，撰写“数论导引”等入门书，所以在中国的数论发展中，他起到了领军的作用。解放后，华罗庚、闵嗣鹤在这一研究上奠定了基础。华罗庚到剑桥大学世界数论研究中心学习进修1936年，在著名数学家维纳推荐下华罗庚以访问学者身份去英国剑桥大学进修。那里有著名解析数论专家哈代，还有其他的数论专家。他在剑桥大学听了许多课，参加讨论班，得到著名学家哈代等人的指导。而华罗庚的刻苦努力以及取得的发表的文章也得到大家的赞许与认可。40年代他本人在美国作过不少杰出的数论工作。他终于登上了数学研究的世界舞台。在云南联大开设初等数论的课程华先生很重视做学问需要有“看家工夫”。所谓看家工夫指的是作科研时必不可少的最基本而有用的本事。据他的学生回忆，说华罗庚在青年时期阅读兰道（）的《数论教程》三大卷时候，共作了6大本笔记，可见他下的功夫之深。而这本《数论教程》使他获得了从事数学研究的分析功底。据华罗庚的学生徐利志回忆，1940年华罗庚在云南联大开设过“初等数论”的课，他选修了这门课。华先生讲课姿态很灵活，喜欢在黑板前面走来走去，边走边讲。他在黑板上写字不多，只写出那些最必要的算式，而很注重讲问题的来龙去脉和论证思想，有时也穿插讲点小故事。所以听他讲课我感到是一种愉快的享受。1941年华罗庚完成了数论巨著《堆垒素数论》1941年，华罗庚曾把手稿寄给苏联的维诺格拉多夫，维诺格拉多夫立即以电报回复：“我们收到了你的优秀专著，待战争结束后，立即付印。”因此，这本书最早是1947年以苏联科学院“斯捷克洛夫数学研究所”第22号专著出版的。中国数学界对华罗庚的专著给予崇高的评价。而当时的教育部几乎无人能够评审此书。老一辈数学家何鲁冒着灼人的炎热，曾在重庆的一幢小楼上挥汗审勘，阅稿时不时地击案叫绝，一再对人说：“此天才也！”他爱不释手，居然亲笔将《堆垒素数论》抄了一遍，何氏的手抄本曾存于中国科学院数学研究所图书馆中，不幸在“文革”劫难中散失。华罗庚的《推垒素数论》荣获教育部的一等奖。据报载，华罗庚在西南联大曾讲授过他的《堆垒素数论》，开始慕名而来的学生将教室挤得水泄不通，后来一天天减少，减到4个，一星期后，只剩下2个，即后来成为著名数学家的闵嗣鹤和钟开莱。教室里只剩下师徒三人，因昆明天天空袭不绝，华罗庚干脆把教室搬到华家附近，租屋而居，进行讲授。华氏的这本书实在是太深了。1946年华罗庚接受了访问苏联的邀请，在这几个月里，他与维诺格拉朵一起进行研究，并取得了很大的成果。他们对三角和方法的发展改变了解析数论的中心主题。1946年，华罗庚赴美国访问，先在普林斯顿高等研究所搞研究并讲授数论，1948年转入依利诺大学，也对维诺格拉朵的中值公式做了重要的简化、改进与应用。1952年组织“数论”与“哥德巴赫猜想”两个讨论班1953年冬中国科学院数学研究所数论组成立后，华罗庚亲自组织并领导了两个讨论班，一个是“数论导引”，一个是“哥德巴赫猜想”讨论班，每周一次，这两个讨论班一直坚持到了1956年。虽然数学研究所成立时还没有图书馆，但是华罗庚从美国带回不会少书，杂志与单印本，数学所的人可以去自由借阅，只要在他办公室的小本上签个名就行了。这对数论组的人来说就更占便宜了。因为华罗庚的大部分书是跟数论有直接或间接的关系的。特别他有一个《解析数论》未发表的部分手稿，其中赛尔贝格的方法和素数定理初等证明的最新成果等。当时能够读到这些东西，在全世界来说都是相当早的。 按照华罗庚计划与安排，哥德巴赫猜想讨论班分为四个单元来进行：1、史尼尔曼密率，曼恩定理与赛尔贝格方法。2、布伦筛法、布赫夕踏布方法。3、林尼克大筛法，瑞尼定理。4、素变数的三角和的估计方法、西革尔定理、维诺格拉朵三素数定理。华罗庚计划在讨论班进行完了之后，将这四个方面的材料写成综合性论文，在数学所的数学进展上发表。那时在世界上的数论著作中，还只有包含了这四个方面成就的某些著作，所以这确实是一个颇吸引人的计划。 讨论班是由一个人主讲，华罗庚等则不停地提问题，务必使得每一个点都完全弄清楚为止。华罗庚这种打破沙锅问到底的搞法，常常使主讲人讲不下去，长时间在讲台上思考，这叫做“挂黑板”。有些报告材料往往在讨论班上就得到了简化，所以讨论班进行得很慢，但参加者得益很大。这是培养人才的好形式。既可以集思广益，又可以活跃学术空气。当时，他经常参加讨论班，经常不断地提出问题和疑点，把大家的思想推向一个更为积极、活跃的境界。 哥德巴赫猜想讨论班的计划并没有完成，只进行了一、二、四单元，就因“反右斗争”的到来而中断了。华罗庚选择“哥德巴赫猜想”作为数论组讨论班的主题是很有眼光的。十几年后，华罗庚回忆他的这个决定时仍然流露出满意的神情。他说：“我不是要你们在这个问题上作出成果来，我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系。以哥德巴赫猜想为主题来学习，将可以学到解析数论中所有的重要的方法。”，他说“ 哥德巴赫猜想真是美极了，现在还没有一个方法可以解决它。”他还指出：“你们弄懂了解析数论，再学一点代数数论，就可以将解析数论的结果推广到代数数域上去。关于代数数论，除了《数论导引》的第十六章外，再学两条定理，狄里赫雷定理与戴德金定理就可以边学习边工作了。”华罗庚教授组织研究“哥德巴赫猜想”这个难题，是非常具有长远的战略眼光的，它也带动解析数论的研究，不仅推动了数学的发展，同时在国内也培养中国的数论研究人才。之后这个讨论班的三个成员都在数论研究中作出了重要的贡献与《哥德巴赫猜想》的研究也取得了重要的进展。从1954年开始，闵嗣鹤在北大开设了“数论专门化”，共有四个学生。他开这门数论课，指导他们做毕业论文，引导他们从事解析数论的研究。闵嗣鹤鼓励他的学生多与数学所的数论组的人交流，多向华罗庚学习。数学所数论组的年青人也常向闵嗣鹤老师请教，彼此间的关系很密切。北大数论专门化的学生潘成洞、尹文霖与邵品琮也来数学所参加过哥德巴赫猜想讨论班。 1957年，华罗庚的《数论导引》出版，书中包括了不少未发表的结果及关于三角和、丢番图方程、模变换及华林与他利问题的基本材料。后来华罗庚发现了陈景润，并将其调入数学所。陈景润经过多年的努力，最后终于证明了1+2，取得了世界上关于证明哥德巴赫猜想的最好成果。 吴文俊曾说过：“陈景润同志本来是一个无名小卒，华罗庚同志知道了他的某些工作，就把他引到数学所来。在数学所这样一个环境里，在华罗庚先生亲自指导之下，陈景润同志做出了许多重要的工作。其中最突出的就是大家都知道的，所谓哥德巴赫猜想（1+2）的证明。这出现于1965年。我相信如果当年陈景润同志没有被华罗庚同志引到数学所来，他的成长奇迹是不可能的。1962年华罗庚科大开设数论与代数专业培养后备人才华罗庚的学生冯克勤教授回忆说，1962年华罗庚想在我们年级开设数论与代数专业，由于我从中学就喜欢数论，就报了名，于是包括我在内的15位学生从四年级起进入该专业，由华罗庚亲自讲授“典型群”，王元讲“数论导引”，万哲先和曾肯成讲“抽象代数”，吴方讲解析数论，这集中了当时国内最强大的数论和代数教师阵营。大学五年级，吴方指导我作了一篇论文，内容是把当时陈景润关于圆内整点问题余项估计的最新成果作到椭圆上去，这是我所写的第一篇论文。华罗庚1963年来科大任副校长，并把他在科学院数学所的研究生带到科大，连王元的关系也临时转到科大，准备以科大为基地集中力量培养学生从事科学研究。他给我的任务是学习代数数论，这是20世纪40年代他在美国做教授的一个数论研究领域，回国后，组织了解析数论的队伍，但由于种种原因，代数数论的研究未能充分开展。此外，华罗庚和王元这时也正把数论用于积分近似计算，其中也用到代数数论工具，所以他这时希望在科大的三届共十一位研究生中有人能研究代数数论。这是一个用代数方法研究数论的一门学问，很合我的胃口。中国的数论研究取得了丰硕的成果1973年，陈景润关于哥德巴赫猜想的著名论文发表后，潘承洞又开始了解析数学论研究。这一时期工作的代表性论文是“一个新的均值定理及其应用”。他的主要贡献是提出并证明了一类新的素数分布的均值定理，给出了这一定理对包括哥德巴赫猜想在内的许多著名数论问题的重要应用。1979年7月，在英国达勒姆举行的国际解析数论会议上，潘承洞应邀以此作了一小时的报告，受到华罗庚和与会者的高度评价。1982年，潘承洞发表了论文“研究哥德巴赫猜想的一个新尝试”，提出了与已有研究截然不同的方法，对哥德巴赫猜想作了有益的探索。在1988到1990年间，华罗庚与潘承彪以“小区间上的素变数三角和估计”为题发表了三篇论文，提出了用纯分析方法估计小区间上的素变数三角和，第一次严格地证明了小区间上的三素数定理，这是他对论文“堆垒素数论的一些新结果”的进一步完善和改进。华罗庚与他的学生在数论方面的工作展示中国数学家在数论方面具有的很高的水平与才华，被世界数学界称为“以华为首的中国学派”，这是中国数学家研究团体在世界数学发展的过程中第一次得到的肯定与赞扬。而这个结果是数学家们通过几十年的努力才获得的。华罗庚系统地研究了华林问题——哥德巴赫问题。在19世纪40年代，懂得堆垒素数论的圆法与维诺格拉朵夫的两个指数和估计方法的人还很少。华罗庚撰写的专著《堆垒素数论》，包含了数论领域所有重要的研究成果，其中有华罗庚用一个很优美的方法证明了一般三角和定理。这本书不仅结果是当时最新的，而且写得十分通俗易懂，除了西革尔关于 L- 函数的实零点估计外，所有定理都给出了证明，所以该书是自给自足的，是一本很好的数论专著。就像哈贝斯坦在悼念华罗庚时说的：“几代数论学家都从华罗庚的至今仍有影响的1947年的专著《堆垒素数论》中学到了圆法的知识。”华罗庚在1958年改进与简化了维诺格拉朵夫关于魏尔（）和的估计，华罗庚关于华林问题研究成果与“华氏不等式”等都是数论十分重要的成果，被很多人引用。华罗庚的学生王元在1956年先证明了（3+4），在1957年又证明了（3+3），（2+3）。1962年潘承洞证明了（1+5），之后潘承洞与王元又合作证明了（1+4）。1966年，陈景润运用庞比尼中值公式，非常出色地证明了（1+2）。中国数学家在探索哥德巴赫猜想过程中，取得了重要的进展，但是最后谁能摘下这个明珠，攻克这个世界难题，会不会是中国人？这些仍旧还是未知的谜，等待有人来回答。

数学中的皇冠——数论 数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它与几何学一样，是最古老的而又始终活跃着的数学研究领域。 素数分布是数论最早的研究课题，欧几里得就曾证明过素数有无穷多个。历史上的绝大多数数学家都进行过数论方面的研究。 长期以来，数论只具有在纯粹数学中的基础性质，而被认为没有直接的应用价值。随着计算机的产生与发展给科学技术带来了巨大而深刻的变革。这使数论有了非常广泛的应用途径。 无论什么问题都必须离散化后才能在计算机上进行数值计算，所以离散数学显得日益重要，而离散数学的基础之一就是数论。 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。 数论的发展简况 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。数学王子—高斯 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。 在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。 数论的基本内容 数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法。 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。 数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题…… 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在 “筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。 特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。 其它数学分支学科 算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学 还有下面这个网站可以让你查到你想要的很多东西： 数论研究网