关于集合论的学术论文参考文献

本文旨在整理一些集合论中的基础概念与定理，主要出处见参考文献。

本文只列出特别简单的证明，略去复杂的证明。

首先，我们介绍 Cartesian product（笛卡尔积、直积） ，就是从 中、 中各取一个元素组成的有序数对。如果是 个集合，它们的Cartesian product就是一个 -tuples：

所谓 Relation（关系） ，是 的任一子集，就叫a relation on set 。如果 ，则可写为 。 可能的性质有：

Equivalence relation（等价关系） ，就是自反、对称、传递的关系。

给定 上的一个equivalence relation ，那么 中的元素 的 equivalence class（等价类） ，就是集合 。若 和 是 和 的等价类，那么必有 或 。

自反、反对称、传递的relation，就叫 partial ordering（偏序） ，可以用符号 或 表示。对于任意partial ordering，如果将其中的 元素剔除，就变成了 strict ordering ，用符号 或 表示，这种relation不再是自反的和反对称的，但依旧有传递性。如果对于集合 ，每一对 都满足 、 或 这三种中的一种，那么称 是 linearly ordered 。再进一步，定义集合 的最小元素为 ，它满足 （最大元素可类似定义），那么，如果linearly ordered 的每一个子集都有一个最小元素，则称 是 well-ordered 。

一个 mapping/transformation/function 定义为 ，这是一种将 中的每个元素与 中唯一一个元素联系起来的规则。 称为 domain（定义域） ， 为 codomain（到达域） ，集合 称为 graph of 。集合 称为 在 下的 image ，对于 ，集合 称为 在 下的 inverse image 。集合 称为 的 range（值域） ，若 则称该mapping为from onto ，中文叫满射，否则是 into 。若每个 都是唯一的 的image，则该mapping是 one-to-one ，或记为 - ，中文叫单射。

当 中的每个元素与 中不一定唯一的元素对应起来的规则，称为correspendence， 就是一个correspendence，但未必是mapping。若mapping是 - 且是onto的，则称该mapping为 one-to-one correspendence 。如果在 和 上都定义了partial ordering，那么如果对于一个mapping， 当且仅当 ，就称该mapping为order-preserving。若 是partial ordered，用 表示，那么一个 - mapping可以 induce（诱导） 在codomain上的一个partial ordering。若这个mapping还是onto，那么 上的linear ordering可以induce一个 上的linear ordering。

集合中的元素个数称为集合的 cardinality 或 cardinal number（基数） 。若 与 之间存在 - correspondence，那么两个集合 equipotent（等势） 。

将正自然数集合 的cardinal number记为 。如果一个无限集合中的元素，与 中的元素存在 correspondence，那么称该集合为 countable 或 denumerable （可数的）。

整数集 是可数的，因为对于任意 ，让它对应于 即可。

定理 ：有理数集 可数。

定理 ：The union of a countable collection of countable sets is a countable set.

注：Collection有的地方翻译为“搜集”，可理解为允许有重复元素的集合。

定理 ：实数集 是不可数的。

记 的cardinal number为 ，则有 。

定理 ：任意开区间不可数。

定理 ：任意开区间与 是equipotent的。

对于开区间 ，将任意 映射为 可证。

定理 ：实数平面 与 是equipotent的。

定理 ：任意开区间都包含至少一个有理数。

对于开区间 ，不妨假设 ，取 为比 大的最小整数，取 为比 大的最小整数，则必有 ，而 。

推论 ：Every collection of disjoint open intervals is countable.

因为每个开区间都至少包含一个有理数，这些不相连的开区间的collection可用其中每个开区间中的任一有理数建立对应关系，而有理数集是可数的。

下面再介绍一些有关集合的定义。集合 的supremum，如果存在，就是对于任意 都满足 的最小的 ，可写为 ；反之可定义集合 的infimum，写为 。对于 的某个子集，如果有上界，必有supremum，如果有下界，必有infimum。若定义 extended real line （即将无穷大也看作一个元素），那么所有集合都有supremum和infimum。另外记 。

Monotone sequence（单调序列） 就是 non-decreasing （指 ）或 non-increasing 指 ）的序列，也有严格的单调序列，即将包含关系换成严格包含关系 和 。

序列的 limit（极限） ，就是对于non-decreasing序列的 ，或对于non-increasing序列的 ，分别可写为 和 ，或一般地， ，或 。

对于任意集合序列 ，集合 必为non-increasing序列，因此 存在，称它为 的superior limit，写为 。反之，non-decreasing序列 的极限 ，就是 的inferior limit，写为 。正式定义为 由De Morgan' s laws， 。

其实就是 infinitely many （无穷多）个 中都含有的元素的集合， 就是 all but a finite number （除有限）个 外，其他 中都含有的元素的集合。

以上概念提供了一种集合序列的收敛准则： ，若两个集合不相等，则说明 不收敛。

所有 的子集的集合成为 的power set（幂集），记为 。对于一个countable set，认为它的power set有 个元素。

定理 ： 。

接下来，要研究的是给定集合的子集的一些性质。Power set一般对研究的问题来说会显得太大了，以下的一系列定义，目的是要定义出 的某个子集，使得该子集对于研究的问题来说足够大，而其性质又让我们可以容易地处理。一般方法是，先选出一些已知性质的集合，组成一个基本的collection，再用一些特定操作，创造出新的集合加入其中。

定义 Ring（环） ：由集合 的子集组成的非空类（nonempty class） ，若满足如下性质则为ring：

Ring对于union、intersection、difference的操作是closed（闭的）。但ring中不一定含有全集 自身，若加入 ，就成了field（或algebra）定义：

定义 Field（域） ：由 的子集组成的class ，若满足如下性质则为field：

如果给定了一个collection ，将它理解为“种子”，去生成field，那么称最小的含有 的field为 field generated by 。

Ring和field的概念在概率论中应用起来还是会有些限制，因此引入以下定义：

定义 Semi-ring ：由集合 的子集组成的非空类（nonempty class） ，若满足如下性质则为semi-ring：

其中的第三个性质，简单来说就是 中任意两个集合的的差，可以分解为有限个 中集合的union。

再在semi-ring中加入 自身，就变成了 semi-algebra 。

上一节说到field对complement和finite union的操作是closed，我们接着将它的finite union操作扩展到极限处，这就有了如下概念。

定义 -field（sigma-algebra） ：由 的子集组成的class ，若满足如下性质则为sigma-field：

-field对于complement和countable union是closed。若给定一个collection ，所有含有 的 -field的交集，就叫 -field generated by ，可记为 。

定理 ：若 是一个finite collection，则 也是finite，否则 总是uncountable。

若取 ， ，则 就叫 Borel field of ，一般可记为 。许多不同的collection都可以生成出 。若给定一个实区间 ，则 称为the restnctlon of to ，或Borel field on 。事实上， 可由 生成。

对于两个 -field的union不一定是 -field，将最小的包含了两个 -field 和 中所有元素的 -field记为 。但对于两个 -field的intersection ，它必定是 -field，为了统一符号，可以写为 ，它就是保证元素同时属于 和 的最大的 -field。这两个概念都可以推广到可数多个的情形。

概率论和测度论中，大量的工作都是在证明某个class of sets是 -field。对于证明来说， -field定义中的三条性质，前两条都很容易验证，但最后一条要验证却很困难。为此我们定义一种monotone class（单调类） ，它也是由一些集合组成：若 是monotone sequence，有极限 ，且 ，则 ，称这样的 为monotone class。利用它和下面的定理，可以方便地证明一些class是 -field。

定理 ： 是 -field，当且仅当 是field且它是一个monotone class。

利用这个定理，在考虑一个class是不是 -field时，我们只需要考虑monotone sequences的极限是否属于它即可。

另一个常用的技巧是Dynkin's - Theorem。对此需要先介绍两个概念做铺垫。

定义 -system ：有一个class ，若 且 ，则 ，那么 就是 -system。

定义 -system ：有一个class ，若它满足以下性质，那么 就是 -system：

前两个条件说的是 -system对于complement是closed。并且由于第二条意味着 ，所以第三条也说明了， 中的disjoint sets的countable union依然在 中。利用这点，有以下定理。

定理 ：一个class 是 -system，当且仅当：

-field必定是 -system，同时是 -system和 -system的class必定是 -field。

下面的定理用到了这些定义。

定理 Dynkin's - Theorem ：若 是一个 -system， 是一个 -system，且 ，则 。

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