大懒虫杰
参加比特币源码研读班后首次写作，看到前辈black写的有关密钥，地址写的很好了，就选了他没有写的椭圆曲线，斗胆写这一篇。 在密码学上有两种加密方式，分别是对称密钥加密和非对称密钥加密。 对称加密：加密和解密使用的同样的密钥。 非对称加密：加密和解密是使用的不同的密钥。 二战中图灵破解德军的恩尼格码应该就是用的对称加密，因为他的加密和解密是同一个密钥。比特币的加密是非对称加密，而且用的是破解难度较大的椭圆曲线加密，简称ECC。非对称加密的通用原理就是用一个难以解决的数学难题做到加密效果，比如RSA加密算法。RSA加密算法是用求解一个极大整数的因数的难题做到加密效果的。就是说两个极大数相乘，得到乘积很容易，但是反过来算数一个极大整数是由哪两个数乘积算出来的就非常困难。下面简要介绍一下椭圆曲线加密算法ECC。 首先椭圆曲线的通式是这个样子的：一般简化为这个样子：()发公式必须吐槽一下，太麻烦了。) 其中 这样做就排除了带有奇点的椭圆曲线，可以理解为所有的点都有一条切线。 图像有几种，下面列举几个：[1] 椭圆曲线其实跟椭圆关系不大，也不像圆锥曲线那样，是有圆锥的物理模型为基础的。在计算椭圆曲线的周长时，需要用到椭圆积分，而椭圆曲线的简化通式： ，周长公式在变换后有一项是这样的：，平方之后两者基本一样。我们大体了解了椭圆曲线，就会有一个疑问，这个东西怎么加密的呢？也就是说椭圆曲线是基于怎样的数学难题呢？在此之前还得了解一些最少必要知识：椭圆曲线加法，离散型椭圆曲线。椭圆曲线加法数学家门从普通的代数运算中，抽象出了加群（也叫阿贝尔群或交换群），使得在加群中，实数的算法和椭圆曲线的算法得到统一。数学中的“群”是一个由我们定义了一种二元运算的集合，二元运算我们称之为“加法”，并用符号“+”来表示。为了让一个集合G成为群，必须定义加法运算并使之具有以下四个特性： 1. 封闭性：如果a和b是集合G中的元素，那么（a + b)也是集合G中的元素。 2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c); 3. 存在单位元0，使得a + 0 = 0 + a =a; 4. 每个元素都有逆元，即：对于任意a，存在b，使得a + b = 0. 如果我们增加第5个条件： 5. 交换律： a + b = b + a 那么，称这个群为阿贝尔群。[1] 运算法则：任意取椭圆曲线上两点P、Q （若P、Q两点重合，则做P点的切线）做直线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴的平行线交于R。我们规定P+Q=R。（如图）[2]特别的，当P和Q重合时，P+Q=P+P=2P，对于共线的三点，P，Q，R’有P+Q+R’=0∞. 这里的0∞不是实数意义的0，而是指的无穷远点(这里的无穷远点就不细说了，你可以理解为这个点非常遥远，遥远到两条平行线都在这一点相交了。具体介绍可以看参考文献[2])。注意这里的R与R’之间的区别，P+Q=R，R并没有与P，Q共线，是R’与P，Q共线，不要搞错了。 法则详解： 这里的+不是实数中普通的加法，而是从普通加法中抽象出来的加法，他具备普通加法的一些性质，但具体的运算法则显然与普通加法不同。 根据这个法则，可以知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上一点P的连线交于P’，过P’作y轴的平行线交于P，所以有无穷远点 O∞+ P = P 。这样，无穷远点 O∞的作用与普通加法中零的作用相当（0+2=2），我们把无穷远点 O∞ 称为零元。同时我们把P’称为P的负元（简称，负P；记作，-P）。（参见下图） 离散型椭圆曲线 上面给出的很好看的椭圆曲线是在实数域上的连续曲线，这个是不能用来加密的，原因我没有细究，但一定是连续曲线上的运算太简单。真正用于加密的椭圆曲线是离散型的。要想有一个离散型的椭圆曲线，先得有一个有限域。 域：在抽象代数中，域（Field）之一种可进行加、减、乘、除运算的代数结构。它是从普通实数的运算中抽像出来的。这一点与阿贝尔群很类似。只不过多了乘法，和与乘法相关的分配率。 域有如下性质[3]： 1.在加法和乘法上封闭，即域里的两个数相加或相乘的结果也在这个域中。 2.加法和乘法符合结合律，交换率，分配率。 3.存在加法单位，也可以叫做零元。即存在元素0，对于有限域内所有的元素a，有a+0=a。 4.存在乘法单位，也可以叫做单位元。即存在元素1，对于有限域内所有的元素a，有1*a=a。 5.存在加法逆元，即对于有限域中所有的元素a，都存在a+(-a)=0. 6.存在乘法逆元，即对于有限域中所有的元素a，都存在a*=0. 在掌握了这些知识后，我们将椭圆曲线离散化。我们给出一个有限域Fp，这个域只有有限个元素。Fp中只有p(p为素数)个元素0,1,2 …… p-2,p-1； Fp 的加法（a+b）法则是 a+b≡c (mod p)；它的意思是同余，即（a+b）÷p的余数与c÷p的余数相同。 Fp 的乘法(a×b)法则是 a×b≡c (mod p)； Fp 的除法(a÷b)法则是 a/b≡c (mod p)；即 a×b∧-1≡c (mod p)；（也是一个0到p-1之间的整数，但满足b×b∧-1≡1 (mod p)； Fp 的单位元是1，零元是 0（这里的0就不是无穷远点了，而是真正的实数0）。 下面我们就试着把 这条曲线定义在Fp上： 选择两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b，且a，b满足 则满足下列方程的所有点(x,y)，再加上无穷远点O∞ ，构成一条椭圆曲线。 其中 x,y属于0到p-1间的整数，并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。图是我手画的，大家凑合看哈。不得不说，p取7时，别看只有10个点，但计算量还是很大的。Fp上的椭圆曲线同样有加法，法则如下： 1. 无穷远点 O∞是零元，有O∞+ O∞= O∞，O∞+P=P 2. P(x,y)的负元是 (x,-y)，有P+(-P)= O∞ 3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系： x3≡-x1-x2(mod p) y3≡k(x1-x3)-y1(mod p) 其中若P=Q 则 k=(3+a)/2y1 若P≠Q，则k=(y2-y1)/(x2-x1) 通过这些法则，就可以进行离散型椭圆曲线的计算。 例：根据我画的图，（1，1）中的点P（2，4），求2P。 解：把点带入公式k=(3*x∧2+a)/2y1 有（3*2∧2+1）/2*4=6（mod 7）. (注意，有些小伙伴可能算出13/8,这是不对的，这里是模数算数，就像钟表一样，过了12点又回到1点，所以在模为7的世界里，13=6，8=1). x=6*6-2-2=4（mod 7） y=6*（2-4）-4=2 （mod 7） 所以2P的坐标为（2，4） 那椭圆曲线上有什么难题呢？在模数足够大的情况下，上面这个计算过程的逆运算就足够难。 给出如下等式： K=kG （其中 K,G为Ep(a,b)上的点，k为小于n（n是点G的阶）的整数）不难发现，给定k和G，根据加法法则，计算K很容易；但给定K和G，求k就相对困难了。 这就是椭圆曲线加密算法采用的难题。我们把点G称为基点（base point），k称为私钥，K称为公钥。 现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程[2]： 1、用户A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点G。 2、用户A选择一个私钥k，并生成公钥K=kG。 3、用户A将Ep(a,b)和点K，G传给用户B。 4、用户B接到信息后 ，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r（r
shangna52088
行情就是一个大舞台，不是所有的故事都可以陈述，人是需要的某种信念来激励和约束的，人静而后安，安而能后定。过去， 在 无憾中微笑，才美丽；博弈，在眼泪中微笑，才多姿；成败，在坚强中微笑，才精彩！
我相信有很多刚入币圈的的朋友仅仅知道比特币是一种货币，对于他的发展过程一无所知，其实这样并不是一个好的现象，了解一个币种其产生的过程局长觉得是有必要的，这对于你在币圈来说，会有更深刻的见解和认知！那么现在给朋友们科普一下比特币的由来。
一、萌芽期：（2008~2010）
2008年，美国雷曼兄弟公司破产，继而引发金融危机，蔓延到全球。
2008年10月31日，一个化名为中本聪（SatoshiNakamoto）的极客发布了一篇论文《比特币：一种点对点的电子现金系统》（Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System），“比特币”这个概念第一次出现在世人面前。在这篇论文中，中本聪描述了一种分布式账本，以及比特币的点对点流通模式。
2009年1月3日，中本聪在位于芬兰赫尔辛基的一个小型服务器上挖出了第一批比特币，创始区块诞生，比特币横空出世。
然而，在最初的那段时间，这个奇思妙想成真后却并没有吸引很多人前来尝试，因为比特币的价值何在、比特币背后的技术是否值得信赖，这些问题人们仍然感到十分疑惑。所以，当时在比特币网络上挖矿的人非常少。
一个关键的时间点在2010年5月到来，一个名叫Laszlo Hanyecz的程序员用1万个比特币买了价值25美元的两份披萨。披萨事件在今天看来不可思议，人们会震惊于那1万个比特币竟然就只换来两份吃食。但是其意义却无比深远，因为这次交易，意味着比特币第一次拥有了价格和汇率，而且，这也是首个用虚拟货币支付现实商品的案例。7月，比特币首次被 科技 媒体Slashdot报道，吸引了大批用户。
自此，比特币才真正为人们所正视，进入了大众的视野。
中本聪等社区元老，并非如同之后那些将比特币视为利益工具的人，他们凭借的是对比特币的信任和自由主义的理想主义情怀，没有他们比特币或将明珠蒙尘。所以，说比特币是自由主义信仰的产物也不为过。
二、生长期：（2011~2014）
2011年，数字货币市场上开始出现其他币种，比如后来与比特币分庭抗礼的莱特币。由于比特币的技术代码都是开源的，所以很多币种的建立都是在比特币的代码基础上加以改制，这样诞生的币种后来就被称作为山寨币。大部分的山寨币也像比特币一样，只能用于挖矿和转账，没有其他的具体用例，所以在后来都纷纷没落了。
其中一些存活至今的山寨币，因为有具体的应用场景或者亮眼的技术，才没有被抛弃，如狗狗币、莱特币等，但随着区块链技术的不断发展和各类新兴项目的出现，也逐渐式微，变得边缘化了。
在这一年，还有另外两件大事发生，首先是Mark Karpeles接手比特币交易所门头沟（），开始了它罪恶的一生；同年，暗网“丝绸之路”（Silk Road）建立，开始了比特币的黑暗轨迹。
由于市场上的比特币越来越多，交易量也随之增大，建立于2010的比特币交易所门头沟，一下子占据全球70%交易量份额，成为当时最大的交易所。但由于经营不善，门头沟的交易系统显得格外脆弱，几次三番维护优化依然无济于事，经常发生暂停提现与服务的事件。
2011年6月，门头沟受到第一次黑客攻击，但此后门头沟的经营者始终没能解决其交易系统的漏洞，多次被盗却隐瞒事实，不断用暂停服务和冻结交易以文过饰非。其平台上的比特币价格涨跌幅夸张，浮动区间非常大，而往往在这种时候门头沟就很容易出现问题，导致用户很难对自己的账户进行管理和操作。
2014年2月，门头沟上的比特币价格暴跌80%，用户却再一次很难将其提现；不久，门头沟一如既往地暂停了交易业务和提现功能。用户们蓄积已久的怒火终于爆发，但已无济于事，因为门头沟早已油尽灯枯，25日披露出其被盗85万个比特币的事实。
门头沟被盗85万个比特币，成为当时震惊全球的最大币圈新闻，也成为了比特币发展 历史 上难以抹去的一笔。门头沟破产之后，比特币价格骤降，而受到巨大损失的用户们也开始了艰难的维权之路。此事件一出，比特币市场受到了严重震荡，人们对于比特币和交易所的信任直降冰点，对比特币和区块链所宣扬的去中心化概念产生了严重质疑，整个行业开始笼罩在一片阴云当中。
比特币经历门头沟事件后元气大损，币价因之低迷了很久一段时间。两年后随着整个加密货币市场的回暖，比特币又焕发了勃勃生机；暗网也迎来了长达两年时间的稳定，其中流通的比特币，依然占据着整个比特币交易市场的最大份额。
三、扩容、分叉期：（2014~2017）
山寨币潮流之后，很多项目开始着眼于数字货币在点对点交易之外的应用，区块链对于应用领域的拓展开始了。比如受之前门头沟这种中心化交易所影响而诞生的第一所去中心化交易所比特股，采用全新的加密代码和共识机制，分发机制采用的也是当时新兴的ICO（Initial Coin Offering，首次币发行），类似股市中的公开招股，将代币当做股票进行融资。
ICO最早出现在2013年，Mastercoin（万事达币OMNI）是最早进行ICO的区块链的项目之一，起初的ICO募集的正是市值最高的比特币。这种分发方式引起了后来无数项目效仿，但进行ICO的项目中，也普遍存在着良莠不齐的状况，很多项目都是。
2014年，以太坊建立，开启了区块链的里程，公链技术的发展和运用使得区块链和数字货币可以应用到更广阔的的场景当中。以太坊虽然使用PoW共识机制，但代币“以太坊”的分发也是以ICO的形式，并取得了巨大的成功，成为市值 仅此于 比特币的第二大数字货币。
比特币的拓展问题迟迟没有得到解决，损害了很多矿工的利益。比特币社区的中坚技术力量core开发组提出隔离见证（SegWit）的建议，经过当时开发人员和矿工的一致协商，最终达成了“香港共识”：先对一部分区块进行隔离见证，将非隔离部分扩容至2M在进行隔离。
ICO、分叉币的繁荣是整个区块链市场繁荣的一种表象，其中的乱象亦是 层出不迭 ，空气项目、空气币的产生令投机者眼花缭乱辨别不清。同时缺乏监管也加剧了这些乱象的产生和猖獗。
2017年年末，比特币的价格出现了暴涨，在12月18日达到了19299美元的峰值。作为数字货币之首的比特币，反映了整个加密货币市场的风向，故各种代币也随着大行情暴涨了一波。整个冬天，加密币市场都是一派春意盎然。
四、迷茫期：区块链时代（2018）
2018年新年之后，高涨的行情开始回落，但回落了将近大半年也一直未见底，市场开始进入寒冬。在这一年里，比特币的市值也大幅度缩水，但比特币的网络依然在正常运行。
币圈很多人又开始了迷茫，很多项目也开始惶恐不安，但区块链技术始终未停下脚步，区块链时代到来。除去金融和商业公链领域，区块链的触手开始向非商业领域延伸，进入向版权、数据、医疗、食品、租房等深入 社会 生活的各个领域。
虽然总体而言区块链行业仍属于初级阶段，但对于比特币来说，似乎已经垂垂老矣。比特币依然会平稳运行下去，但其应用场景的限制将会令比特币逐渐成为一种保值手段。
然而比特币自身的发展是否会停滞不前或者到此为止？总体而言，有人完全不担心，认为这就是比特币的最好归宿，它不仅仅是市值第一的流通币种，更是一种象征和信仰；而有人认为，随着区块链技术的不断发展和应用范围的不断拓宽，比特币会逐渐失去现在的地位，被后来的币种取代。
比特币的未来如何，难以断言。
五、十年：追捧与质疑并存
比特币经过将近十年的发展，也获得了全球范围的众多认可，有些国家已经接纳了比特币，将其视为与法币同等地位的一种支付方式。
即使受到了很多认可，但在不同的国家，对于比特币这样的数字货币依然采取着观望甚至抵制的态度。很多人认为比特币虽然有区块链技术作为支撑，但和目前乃至以后的技术相比，它在技术这一方面的价值正在逐渐降低；比特币并没有具体的应用场景作为支撑，终究是一场泡沫，有很多商业大佬，如巴菲特、马云等，都表现出了不看好的态度。
比特币这十年，追捧与质疑并存，有很多人后来改变了看法，认为它并不是一场，也有很多人坚信，比特币依然是一场泡沫。但直到现在，比特币依然是数字货币市场的风向标，也依然是最广为人知的数字货币。
数控车床智能控制系统的研究 摘要:针对目前现有数控车削加工过程中加工、测量、编程相互分离,导致生产效率低,智能化和自动化程度不高以 及对机床操作人员要求较高的现
大宝想小宝 4人参与回答 2023-12-11 ich.cass.cn
小花匠M 6人参与回答 2023-12-06 优秀参考文献范例参考 1. 若是图书： 作者名. 书名[M]. 出版地: 出版社, 出版年: 页码. [1] Baker, Mona. In Other Wor
大宝想小宝 2人参与回答 2023-12-09 德佑二年二月十九日，我受任右丞相兼枢密使，统率全国各路兵马。当时元兵已经逼近都城北门外，交战、防守、转移都来不及做了。满朝大小官员会集在左丞相吴坚家里，都不知道
ABCDG，43668 5人参与回答 2023-12-06 参加比特币源码研读班后首次写作，看到前辈black写的有关密钥，地址写的很好了，就选了他没有写的椭圆曲线，斗胆写这一篇。 在密码学上有两种加密方式，分别是对
1987分撒风 2人参与回答 2023-12-11