论文行列式计算方法研究与应用

引言: 问题的提出在实践中存在许多解n元一次方程组的问题，如① ② 运用行列式可以解决如②的n元一次方程组的问题。2 排列定义1 由……n组成的一个有序数组称为一个 级排列。n级排列的总数为（n的阶乘个）。定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 行列式定义（设为n阶）：n阶行列式是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由 项组成，其中带正号与带负号的项各占一半， 表示排列 的逆序数。 阶行列式具有的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等.（ ） 事实上，若记 则 说明：行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行( )或两列( )，行列式变号. 例如 推论 若行列式 有两行（列）完全相同，则 . 证明: 互换相同的两行, 则有 , 所以 . 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 ，等于数 乘以此行列式，即推论：(1) 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) 中某一行(列)所有元素为零，则 ；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即.证: 由行列式定义性质6 行列式 的某一行（列）的各元素都乘以同一数 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变 ，即计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 行列式的计算数字型行列式的计算 1. 三角化法例1 .解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…， 列都加到第1列上，行列式不变，得. 例2 .解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．2. 2．递推法 例3 计算行列式 之值。解 把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式继续使用这个递推公式，有 而初始值 ，所以 例4 计算 .解：., ,,3．数学归纳法当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。 例5 计算行列式 .解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解当 时， 假设 时，有 则当 时，把 按第一列展开，得由此，对任意的正整数 ，有4．公式法例6 计算行列式 之值。解 由于 ,故用行列式乘法公式，得因 中， 系数是+1，所以 。行列式的概念与性质的例题 例7 已知 是6阶行列式中的一项，试确定 的值及此项所带的符号。解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标 应取自1至6的排列，故 ，同理可知 。直接计算行的逆序数与列的逆序数，有 。亦知此项应带负号。抽象行列式的计算 例8 若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为 则行列式 （ ）。解 由A～B，知B的特征值是 。那么 的特征值是2，3，4，5.于是 的特征值是1，2，3，4。有公式得， 。含参数行列式的计算 例9 已知 ，求 。解 将第3行的-1倍加至第1行，有所以 。关于 的证明 解题思路：①设证法 ；②反证法：如 从A可逆找矛盾；③构造齐次方程组 ，设法证明它有非零解；④设法证矩阵的秩 ；⑤证明0是矩阵A的一个特征值。特殊行列式的解法 1 范德蒙行列式定义：行列式 称为n级的范德蒙行列式。例10 计算行列式 之值。解 把1改写成 ，第一行成为两数之和， 可拆成两个行列式之和，即分别记这两个行列式为 和 ，则由范德蒙行列式得，故 拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了 个行，由这 行元素所组成的一切 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 。(其中：① 级子式：在一个 级行列式 中任意选定 行 列 。位于这些行和列的交点上的 个元素按照原来的次序组成一个 级行列式 ，称为行列式 的一个 级子式。②余子式：在 中划去这 行 列后余下的元素按照原来的次序组成的 级行列式 称为 级子式 的余子式。③代数余子式：设 的 级子式 在 中所在的行、列指标分别是 则 的余子式 前面加上符号 后称为 的代数余子式)。例11 求行列式 。解：在行列式 中取定第一、二行，得到六个子式：它们对应的代数余子式为根据拉普拉斯定理3 结束语老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘，严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。感谢我的老师对我的关心、指导和教诲！ 感谢我的学友和朋友对我的关心和帮助