康托三分集毕业论文

完备集是自密闭集，因此需要证其为闭集与自密集。闭集显然是成立的。因为在Cantor三分集的时候，留下来的都是闭区间，闭集。往下证Cantor为自密集。自密集的定义为集合E中每个点都是E的聚点或是没有孤立点的集。这里用第二种说法证明，即下证没有孤立点。我们知道闭集的孤立点一定是它两个余区间的公共端点。即，没有孤立点的意思是它们的余区间没有公共端点。从Cantor的三分集做法中可以看出，所取掉的都是互补相交的开区间（而且没有公共端点），因此，Cantor集没有孤立点。综上，Cantor集为完备集。希望能帮到你，如果有错误的地方请大家指正~

康托尔三分集（德国，1883年）1883年，德国数学家康托尔(G.Cantor)构造了一个奇异集合：取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集F（图8），称为康托尔三分集。图2.1在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度，就会得到很不规则的随机康托尔集（图9-（a）、图9-（b）），它被当时在美国IBM公司供职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位. 图9想一想：1.康托尔三分集在极限情况下，是怎样的结构？它的整体与局部之间有怎样的关系？2.康托尔三分集有那些性质？能用传统的集合表示法表示吗？它的长度是多少？ 3.试以一个平面图形（正方形）为初始元，来构造一个分形集，将正方形16等分，保留其中的4个，而舍去其余的；然后对保留的4个小正方形作同样操作，以至无穷，形成点集——康托尘埃集。参考答案：康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统，如图2·1所示，其中E。是康托尔点集的初始元[0，1]线段，E1是生成元。图4.2是康托尔点集的前三代。 康托三分集具有（1）自相似性；（2）精细结构；（3）无穷操作或迭代过程；（4）传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。（5）长度为零；（6）简单与复杂的统一。

将闭区间[0,1]，去掉中间的1/3，留下[0,1/3]和[2/3,1]，再分别去掉这两段中间的1/3，变成等长的4段……重复这个过程无穷多步，就得到了康托尔三分集。康托尔集有无穷多个点，占据[0,1]区间长度却为0，是一个分形，具有非整数维数、自相似性等分形的特点。