数学归纳法及其应用论文研究意义

【不完全归纳法】【定义】是在某一类问题中，仅检验了若干有限种情况，作出一般性结论，这种归纳推理的方法，叫做“不完全归纳法”。【特点】（一）局部的合理性；（二）整体的不严密性。【意义】人类认识世界总是从局部的个别的方面接触到他的，他的整体和全部不可能一一验证。（一）这种归纳推理，可以在暂时对局部现实世界，有一定的参考价值、甚至有指导意义。（二）这种归纳推理，促进了科学的发展。众所周知：具有合理性的结论，不一定是正确结论；而推理的不严密性并不能就此认定结论一定也是错的。这就促使大家或去严格论证，或去找反例推翻。可以毫不夸张地说科学的发展，都要经过不完全归纳法这一步的。“若干基本事实——合理归纳、大胆假设——小心论证”，“局部、具体——（演绎、论证）——整体、抽象——（指导、应用）——局部、具体”。【举例】①我们从1=1^2，1+3=2^2，1+3+5=3^2，1+3+5+7=4^2，1+3+5+7+9=5^2，进行分析研究后，初步“合理”地归纳出1+3+5+……+(2n-1)=n^2。②对于二次函数f(x)=x^2+x+41，有f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，f(6)=71，都是质数【实际上直到f(39)=1601都是质数】。我们就初步“合理”地归纳出f(n)就是质数。【小议论】由“哥德巴赫猜想”可见“不完全归纳法”的魅力，即使“哥德巴赫猜想”最后被否定，也无法否定“不完全归纳法”的作用。*******************************************************【数学归纳法】【适应问题类型】适应于算术型命题（在某个正整数开始N的任意正整数n≥N都成立的有关命题）一种数学证明方法。【证明方法的特点】用数学归纳法来证明一个算术型命题时，必须要有三个步骤，缺一不可。▲①·初始验证要用数学归纳法证明“命题在某个正整数N开始的任意正整数都成立”，第一步就从这里n=N时命题“必须成立”开始启动；▲②·通式假定假定在n=k(≥N）时命题也成立；▲③·渐进递推利用①的“初始验证”和②的“通式假定”严格地推导出命题在n=k+1是也成立。【逻辑意义】验证最初的n=N命题“必定成立”后，不用穷举n=N+1,n=N+2,……各种情况，因为有了②和③足以无可怀疑地说明了：有n=N时的正确性，必有n=N+1时的正确性；有n=N+1时的正确性，必有n=N+2时的正确性；有n=N+2时的正确性，必有n=N+3时的正确性；……以至n为任意大于N的正整数时命题的正确性。