反证法研究论文

郭敦顒回答：Shallowly expound The Reduction to absurdity- The Live extensive axiomGuo Dun-Rong(Mechanic Department of DalianRailway，Dalian 116001，China）AbstractThe reduction toabsurdity is a basic method of logic proof．It′s basic concept of the category of a thinkingdialectic mathematics view．The reduction toabsurdity hasthe function of the live extensive axiom，connectedthe original (narrow sense) axioms-System，together with constituted the general axioms-system，can break throughThe restriction of the G·Kurt incomplete theorems，so long as find a contradiction，anyproposition all can be prove．It can play a good role，to development of the mathematics and consolidation of the basis．The reduction to absurdity andthe direct proof meth0ds can mutually be supplemented，don′t mutually exclude．Regardingsome propositions，in cannot find the situation of the directproof，the reduction to absurdity become the only method．Successful proof to the parallel theorems of Euclid geometry，verity the correctness of the above inference．Key wordsReduction to absurdity；Live extensive axiom；Only method；Contradiction；General axioms systemtheoryMR(2000)Subject Classification00A07，00A30，00A35，03A05，93A05Chinese Library ClassificationO143浅论反证法——活的泛性公理郭敦荣（大连铁路机务段，116001）摘要反证法是逻辑证明的基本方法．其基本观点属于思辩数学观的范畴．反证法具有活的泛性公理的作用，连同原（狭义）公理系统，构成了广义公理系统，能突破哥德尔不完备性定理的约束，只要找到一个矛盾，任何命题都可被证明．这对数学的发展和基础的巩固，会起到重要作用．反证法与直接证明法可互为补充，并非相互排斥．对于一些命题，在找不到直接证明的情况下，反证法成为唯一的方法．欧氏几何平行线定理的成功证明，证实了上述论断．关键词反证法；活的泛性公理；唯一方法；矛盾；广义公理系统论MR（2000）主体分类号00A07，00A30，03A05，93A05中图分类号O143在数学基础和数学证明中，数学家们的意见尚未统一，存在着不同的学派,特别是在19世纪和20世纪前期．这严重制约着数学的发展和对一些重要数学论断是非的判定．为了促进数学的发展，作者（郭敦荣）认为有必要在这方面阐明自己的一些观点．那是属于思辩数学观范畴的．关于思辩数学观作者将在数学基础研究系列（三）《数学观》中论述之．这里，仅就本文论题简述于下．法国数学家让·迪厄多内指出，在数学中，直觉往往能最早发现“一条新定理或一种新方法”，“但光靠直觉不够，你所窥见的证明必须遵守铁面无私的逻辑规则，它们必须主宰证明的各个部分”[1]．数学追求完美，并且要发展，非常需要逻辑证明的支撑．缺乏或削弱了逻辑的数学是残缺的，甚或是不能成立的，更谈不到完美和发展．反证法是逻辑证明中的重要方法．离开反证法的逻辑证明是残缺的．因此，数学若离开反证法，将是残缺的，谈不到完美，也影响着发展．所以，19世纪一些直觉主义者否认排中律，反对反证法的应用是错误的．中国数学家美籍华人菲尔兹奖获得者丘成桐教授近期载文指出“欧几里得证明存在无穷多个素数，开创了反证法的先河”，高度赞扬了其“文采优雅美丽，论断华茂”［2］，丘成桐充分肯定了反证法，这一见地是很正确的．1931年，奥地利数学家哥德尔（后移居美国）证明了两个不完备性定理，李文林教授指出这“揭示了形式主义化方法不可避免的局限性．”［3］美国数学家克莱因认为“在某种程度上，哥德尔不完备性定理是对排中律的否定”，但是他又接着指出“如果存在一个矛盾，任何命题都是可以证明的”［4］,显然，克莱因的后句话更具有特别重要的意义，揭示了哥德尔不完备性定理本身的局限性．哥德尔不完备性定理指出在系统内有不可能被证明的命题存在，而哥德尔不完备性定理的理论基础是形式主义的，因此这一定理有其局限性．我们说反证法具有公理的作用．它是活的（有生命力的，灵活的）泛性公理．这无疑开扩了公理系统的功能，使狭义公理系统内不可证明的命题变得成为可能．从这种意义上讲，反证法在数学命题的证明中占有不可替代的地位，起着非常重要的作用，更具普遍意义．所以，数学要取得长足的发展，离开反证法是不可能的．按此观点，现在我们审视一下关于欧几里得几何平行线问题的一些情况和应有的结论：众所周知，黎曼和罗里切夫斯基等数学家建立了非欧几何，他们证明了“双曲几何的相容性”．于是克莱因指出“双曲几何的相容性也意味着欧氏几何中平行公理是独立于其他公理的．否则，欧氏几何的这一‘定理’（平行定理）将与双曲几何的平行公理矛盾，是不相容的．因此，数年来，由欧氏几何其他公理推导出平行公理的努力，注定是劳而无功．”［5］显然，罗里切夫斯基等人的证明与克莱因的断言都是基于“狭义公理系统论”得出的，其正确性和约束力都有局限性．他们根本没有意识到反证法作为“活的泛性公理”的重要巨大作用，在一些命题的证明中会突破约束得出崭新的结论．作者在论文《欧几里得几何平行线问题解》平行线定理中的证明，就因用了反证法突破了“狭义公理系统论”的约束和限制，使原系统内得不到的证明，现在则得以实现．还需指出的是，在平行线定理的反证法证明中，不仅运用了逻辑的排中律，还运用了同一律，并且同一律的运用是关键是基础，具体表现为同因同果，即在相同条件下应产生相同性质的结果．于是，在平行线定理的反证法证明中，由假设出发导致产生了′与两条直线相交于两点的推论．而若由假设出发推论出只有一个交点E而没有F或有F没有E，这是违背同一律的同因同果原则的．总之，在这里由假设出发导致了矛盾的产生，成为不可能，于是平行线定理得以证明．欧几里得几何平行线定理证明的成功，显示了反证法的强大生命力．不仅如此，可以断言，对其它重要数学命题（如哥德巴赫猜想，孪生素数猜想等）的证明，运用反证法也会得出可喜的成果，会愈加显示出反证法的重要性和普遍意义．既然反证法那么的重要，历史上数学基础的三大学派中直觉主义者为什么要否认排中律反对反证法的运用呢？其原因在于他们的恩维方式是斗争哲学性的，其数学观唯我独尊否认异己以偏盖全．历史事实表明，这种数学观是错误的．虽然他们在一定程度上发展了数学，但也阻碍了数学的进一步发展．作者认为原数学基础中的三大学派的数学观各有其长也都有其短，取长补短，并在世界先进哲学思想的指导下，就产生了思辩数学观．在思辩数学观看来，反证法是重要的，但也有其不足．因此，就很多数学命题的证明而言，运用反证法后还应力争运用直接方法（同一法具有直接法的无矛盾性的根本属性，归入之；间接法，即反证法了），它们不是相互排斥，而是互为补充．当然，对于某些命题根本找不到直接证明法，那么就只有唯一的反证法可行了．也所以，就此而言反证法它是不可替代的，更具有普遍意义．反证法证明的前提是存在矛盾．所以，若对一个数学命题要想取得反证法证明的成功，问题的关键，则就只是找出如克莱因所讲的“存在一个矛盾”了．数学家们应为之而努力．在欧氏几何平行线定理的证明中郭敦荣做到了这一点．至此，我们可以肯定地称反证法是活的泛性公理，简称为反证法公理．将反证法公理纳入公理系统，连同原公理系统在内，构成了广义公理系统，而原公理系统则称之为狭义公理系统．在狭义公理系统内产生了哥德尔不完备性定理．该系统内存在有不能被证明的命题，并且该系统公理本身的相容性也不能被证明；在广义公理系统内能突破哥德尔不完备性定理的约束，只要找出一个矛盾，任何命题都可被证明．上述论述就称为广义公理系统论，这是一种新概念，新的理论、学说．它的产生，对数学的发展和数学基础的巩固会起到重要作用．这样，我们就将反证法的地位，由方法论提到为了数学哲学观（数学观）论的地位；由数学的上层建筑转化成了基础建筑即由手段转化成基本构件（必要条件）的地位．做到了基本方法与观点的高度辩证统一．反证法地位的变化提升，也标志着从理论和实践上都毫无疑问地充分地肯定了反证法的作用，从而就根本上结束了在数学基础各学派间的反证法之争．参考文献[1]让·迪厄多内著沈永欢译，当代数学为了人类心智的荣耀[M]，上海教育出版社，1999.．194[2]丘成桐，数学与中国文学的比较[J]．新华文摘，2006⑹．91[3]李文林，数学史教程[M]．高等教育出版社、施普林格出版社，2000．340[4]、[5] [美]·克莱因著李宏魁译，数学：确定性的丧失[M]，湖南科学技术出版社，2002．270、179Shallowly expound The Reduction to absurdity- The Live extensive axiomGuo Dun-Rong(Mechanic Department of DalianRailway，Dalian 116001，China）AbstractThe reduction toabsurdity is a basic method of logic proof．It′s basic concept of the category of a thinkingdialectic mathematics view．The reduction toabsurdity hasthe function of the live extensive axiom，connectedthe original (narrow sense) axioms-System，together with constituted the general axioms-system，can break throughThe restriction of the G·Kurt incomplete theorems，so long as find a contradiction，any propositionall can be prove．It can play a good role，to development of the mathematics and consolidation of the basis．The reduction to absurdity andthe direct proof meth0ds can mutually be supplemented，don′t mutually exclude．Regardingsome propositions，in cannot find the situation of the directproof，the reduction to absurdity become the only method．Successful proof to the parallel theorems of Euclid geometry，verity the correctness of the above inference．Key wordsReduction to absurdity；Live extensive axiom；Only method；Contradiction；General axioms systemtheoryMR(2000)Subject Classification00A07，00A30，00A35，03A05，93A05Chinese Library ClassificationO143后记本文《浅论反证法—活的泛性公理》的写作起于2006年5月20日，我在草拟给某数学杂志社的信(未发)中，关于反证法，谈到了一些看法，成了本文的基本论点．于是作了此文，于2007年元月15日初稿.现在又作了少量文字上的修改,成了今天的定稿．作者郭敦荣于彭州市2007-10-26《浅论反证法—活的泛性公理》2008年发表于博客中国郭敦颙是郭敦荣1954年10月在部队及以前的名字,现作为笔名了。