初等数论相关论文题目

1. 因为(k,n)=d，则存在整数s, t，使得ks+nt=d. 所以a^(ks)=1(mod m) a^(nt)=1(mod m) a^d=a^(ks+nt)=1(mod m)2. 因为当(b,a)=1当且仅当(a-b, a)=1. 用如同高斯求1+2+......+100相同的方法可知： 和=1/2 *(a-b+b) *φ(a)=1/2 *a*φ(a).3. 需要证ax+b(x取遍m的完全剩余系)是m的完全剩余系。 因为ax+b=ay+b(mod m) 当且仅当a(x-y)=0(mod m) 当且仅当m|a(x-y). 因为(a,m)=1. 所以m|x-y. 即x=y(mod m). 所以所求式子=1/m+2/m+......+(m-1)/m=1/2 *(m-1).4. 接上题： 所求式子=a/m+2a/m+......+(m-1)a/m-1/2 *(m-1). =1/2 *(m-1)(a-1).5. 先看第6题，证明(p-1)!=-1(mod p). 因为p-a=-a(mod p). 所以(p-1)!=(((p-1)/2)!)*(-(p-1)/2)*......*(-2)(-1) =(((p-1)/2)!)^2 * (-1)^((p-1)/2). =-1(mod p). 所以(((p-1)/2)!)^2+(-1)^((p-1)/2)=0(mod p).6. (p, p-1)=1. (p-1)!=0(mod p-1). 下面证(p-1)!=-1(mod p). p=2, 3时成立；p>=5时： 首先对于任意a(2<=a<=p-2)，存在唯一的b(2<=b<=p-2)，使得ab=1(mod p). 对于a、2a、......、(p-1)a这p-1个数中，它们两两mod p不同余。 否则存在i、j（i、j不相等）使得ia=ja(mod p). p|a(i-j). p|i-j. 则i=j，矛盾。 又因为ia mod p不为0， 所以a、2a、......、(p-1)a这p-1个数中，mod p是1~p-1的一个排列， 所以存在唯一的b(1<=b<=p-1)，使得ab=1(mod p). 又因为a与(p-1)a mod p都不为1，所以2<=b<=p-2. 这样，将每个a、b进行配对a1、b1、a2、b2...... 2*3*......*(p-2)=(a1*b1)(a2*b2)......=1(mod p). 所以(p-1)!=1*1*(p-1)=-1(mod p). 综上(p-1)!=p-1(mod p(p-1)). 7. x^y=y^(x-y). 显然x-y>=0. 若x=y，则x^x=x^0=1. 则x=1, y=1. 若x>y，则y2y. 设x=ky，k>2. 则k^y * y^y=y^((k-1)y). ky=y^(k-1). k=y^(k-2). y=k^(1/(k-2)). 根据求导发现函数f(k)=k^(1/(k-2))在k>2递减， 而f(k)->正无穷(k->2), f(3)=3, f(4)=2, f(k)->1(k->正无穷). 所以k=3, 4时对应两组解：x=9, y=3; x=8, y=2. 且k>4时无解。 下面证21, y>1时： 原式mod 4： 1-(-1)^y=2(mod 4). y=1(mod 2). 原式mod 9： 5^x=2(mod 9). x=5(mod 6). 原式mod 7： 因为当x=5(mod 6)时，5^x=3(mod 7). 所以3^y=1(mod 7). 所以y=0(mod 6). 与y是奇数矛盾。 综上只有一组解x=y=1.