整除与竞赛论文研究史

26a+10b+c≡0(mod37)等价于11a≡10b+c(mod37)等价于10（a-b）≡（c-a）（mod37）等价于10(a-b)=(c-a)+37n 其中n为整数先估计n的范围因为(a-b)和(c-a)=-8,-7,...7,8. 37n=10(a-b)+(a-c)属于-88到88。所以n只能是-2，-2，-1,0，1,2,3。再分情况讨论：（1）n=0时，10（a-b）=(c-a)再由c-a的范围可知c-a=0 从而a-b=0 所以a=b=c从而（a,b,c）=(3 3 3)(6,6,6)(9,9,9)(12,12,12)(15,15,15)(18,18,18)(21,21,21)(24,24,24)(27,27,27)(2)n=1时,(c-a)+37=10（a-b）所以c-a=3或-7 然后再经过简单的讨论可得（a,b,c）=(8,5,1)(9,6,2)(5,1,8)(6,2,9)(3)n=2时，经过同样的讨论可得：(a,b,c)=(8,1,4)(9,2,5)(4)n=-1时，(a,b,c)=(1,4,8)(2,5,9)(4,8,1）（5,9,2）(5)n=-2时，（a,b,c）=(1,8,5)(2,9,6)饿 终于写完了 综上 再把a b c 加起来得到a+b+c=3,6,9,12,15,18,21,24,27,14,17,13,16共13种情况