以调和分析为主的学报

洪勇教授主要研究方向是球面调和分析与实分析，同时在泛涵分析、抽象代数、函数逼近论、解析不等式及模糊数学等学科也取得过突出成果， 1997年，为了更加深入细致地研究具有可变光滑性函数空间中函数的可变光滑性，在国内首先引入球面上变阶 Riesz 位势新概念，并作了许多开创性工作，受到国内外专家关注。之后，又将有关新概念拓广到高度抽象化的齐型空间中，研究了变阶Riesz位势算子的变阶Lipschitz有界性等问题。在Hardy-Hilbert算子不等式的研究中，特别是对高维Hardy-Hilbert不等式的研究，发展了权系数方法的理论，推广和改进的许多Hardy型和Hilbert型不等式，为这些重要不等式的更广泛应用奠定了基础。现已在《Journal of Inequalities and Applications》、《数学学报》、《数学年刊》、《数学进展》、《数学研究与评论》、《数学杂志》、《模糊系统与数学》等国内外SCI期刊、权威期刊及各级期刊上发表论文近100篇，其中被SCI及MR检索30余篇，40余篇被被中科院文献检索中心全文收藏，被同行学者引用100多篇次。

在担任繁忙的行政工作的同时，程民德一直抓紧时间，开展教学与科学研究工作。他除教授基础课之外，先后于1956年、1959年、1962年在北京大学开设调和分析专门化课，自编讲义。张恭庆、陈天权、陈子岐、龙瑞麟、黄少云等都是从这里开始学习调和分析的。他讲课从不看讲稿，有时为了证明一个大定理，可以一口气讲上两个小时。这种深厚的经典分析功力深深地影响了学生。他在继续研究多元调和分析的同时，从1954年开始，和他的学生陈永和合作，在我国开创了多元三角逼近的研究方向。“文化大革命”开始，程民德受到严重冲击，接着而来的是长达7年之久的隔离审查。他在江西干校整整度过了两年的劳动生涯。在此期间，他始终对党对社会主义事业充满信心。一旦条件允许，他便开始恢复科学研究。1973年，根据当时的实际情况，他从研究沃尔什（Walsh）变换及其在图像频带压缩中的应用开始，组织了跨学科的讨论班，从事信息处理的研究。他是我国开展模式识别与图像处理研究的先驱与倡导者之一。1976年“四人帮”垮台后，程民德在政治上得到了彻底的解放。1978年他担任北京大学数学研究所第一任所长，1980年当选为中国科学院学部委员，1982年至1986年担任北京市数学会理事长，1983年至1988年担任中国数学会副理事长。在此期间，他为北京大学数学系、数学研究所以及全国的数学的发展，作了一系列的组织工作，成绩斐然。他曾是国家教委应用数学领导小组的负责人之一，国务院学位委员会数学评审组成员，全国教材编审委员会副主任，《中国科学》与《科学通报》编委，国家基金委数学天元基金学术领导小组组长。现仍为《现代数学基础丛书》主编，《北京大学数学丛书》主编，《数学年刊》与《应用数学学报》副主编。 傅里叶级数的第一个最基本的问题是，函数f（x）满足什么条件，其傅里叶级数在x0便收敛到f（x0）。1872年P．D．G．杜布瓦－雷蒙（du Bois－Reymond）构造了一个反例，表明函数在x0连续不能保证傅里叶级数在x。收敛。于是人们采用一种新的收敛概念——求和法。最简单的求和法是（C，1）求和，即考虑级数前n项部分和的算术平均当n→∞时的极限。1900年L．费耶尔（Fejér）证明，函数只要在x0连续，其傅里叶级数在x0便（C，1）可求和到f（x0）。可见，求和的概念比收敛的概念更适合于傅里叶级数理论。程民德早年的工作，就是研究单元傅里叶级数各种求和法以及求和因子等问题的。傅里叶级数理论的另一个问题是唯一性问题。此问题的提法是，如果一个三角级数收敛（或可求和）到一个可积函数，能否断言此三角级数必是该函数的傅里叶级数？或狭义一些，如果一个三角级数收敛（或可求和）到0，能否断言此三角级数的系数皆为0？对于一元三角级数唯一性的研究，G．F．B．黎曼（Riemann）与G．康托尔（Cantor）取得了伟大的成果，促使了点集论的产生。直到本世纪40年代，包括上述基本问题的调和分析理论，也只是对一元函数来说比较完整。多元调和分析由于有原则上的困难，一直未有本质上的突破。在30－40年代中，由于偏微分方程等研究的需要，调和分析家一直在探求这方面的进展。在40年代后期，程民德适应这种潮流，研究方向从一元调和分析转到多元，从多重三角级数唯一性理论开始，获得了重要的成果。为了证明多重三角级数的唯一性定理，程民德发展了一个有独立意义的领域，就是重调和函数的研究。人们知道，调和函数是满足拉普拉斯（Laplace）方程△u=0的二次连续可微函数。m重调和函数就是2m次连续可微函数，满足方程△mu=0。问题是当只知道u仅有较少的光滑性时（例如只知有2m－2次连续可微），怎样来刻划u的m重调和性。这个问题，德国的W．J．E．布拉施克（Blaschke）于1916年解决了m=1的情形。30年代，D．尼科列斯库（Nicolesco）对一般的m作出了类似的刻划。程民德在研究多重三角级数唯一性时，发现他给出的条件只是必要而不是充分的。他于1950年引进了广义多重拉普拉斯运算（记为?m）的概念，并且在u是2m－2次连续可微的条件下证明了，△mu=0当且仅当?mu=0。50年代以来，多元调和分析取得了很大的进展，其中的一个课题，就是对分数次积分的研究。多元函数在整个n维欧氏空间的分数次积分，是由M．里斯（Riesz）于1949年引进的，这就是里斯位势。对于周期函数或有限区域，并没有明显的类似，程民德与陈永和通过多重傅里叶级数的博赫纳（Bochner）－里斯平均，对于周期函数定义了分数次积分与分数次拉普拉斯运算，详尽地研究了它们的性质以及与索波列夫（Coболев）空间的关系。由于嵌入定理的需要，在50年代，苏联、美国等有不少人研究周期函数与定义在有限区域上的函数的分数次积分。在这些工作中，程民德与陈永和于1957年及1959年发表在北京大学学报并于1956年在波兰科学院摘要刊载的结果是最早的。国际上多元调和分析的突破性进展公认是A．P．考尔德伦（Calderón）与A．赞格蒙（Zygmund）1952年关于奇异积分算子的奠基性工作。以后的蓬勃发展形成了整个的多元调和分析理论。程民德早在50年代便注意到了这个进展，并于1962年在北京大学组织讨论班学习奇异积分算子理论。“文化大革命”后，他又很快恢复了多元调和分析的研究工作，并组译了E．施坦（Stein）的《奇异积分与函数的可微性》，并亲自给研究生上课。他在这方面已培养了4名博士，近20名硕士。他所领导的科研集体，已活跃于多元调和分析的国际前沿。他们在哈代（Hardy）空间、贝索夫空间、奇异积分算子、汉克尔（Hankel）算子等方面作出了优秀的成果，受到了国际同行的高度评价。他和他的学生已把他们给研究生上课的讲义整理成《实分析》一书出版。 函数逼近论是本世纪初发展起来的一个数学分支，其基本思想是用简单的、性质好的函数（例如多项式或三角多项式）去逼近复杂的、性质差一些的函数，这在理论上与实际应用方面都是很有意义的。50年代以前，逼近论大都是研究一元函数的逼近问题。多元函数的逼近，只是从50年代以来才取得较大的进展。逼近多元周期函数，最常见的一种方法是用其傅里叶级数圆形和的一种求和法——δ阶博赫纳－里斯平均这种求和法，δ愈大，性能愈好。δ有一个临界指标δ0=1/2，它是刻划这种求和法的一个分界数。1947年两位印度数学家证明了对较大的δ（δ>δ0十a），用SδR去逼近α阶的李普希茨（Lipschitz）函数，可以达到理想的逼近程度，但这结果显然是不精确的。1956年程民德在我国最早研究多元三角逼近理论。他同陈永和合作彻底解决了临界阶以上（δ>δ0）博赫纳－里斯平均的逼近问题。他们证明了只要δ>δ0，就可以达到理想的逼近程度。他们还把周期函数的分数次积分概念与多元三角逼近理论联系起来，得到了丰富的结果。这些结果，不仅以其系统完整而载入专著，而且对多元三角逼近理论产生了很大影响。直到80年代，在程民德工作的基础上，对等于或小于临界阶的博赫纳－里斯平均的研究，仍是很活跃的课题。在我国，已有一批数学工作者在这个方向上继续工作。另外，由于傅里叶级数与数学物理密切相关，程民德等的研究结果已被郭本瑜等用于偏微分方程的数值分析。 从1973年开始，程民德从高维沃尔什变换入手，开始研究模式识别与图像处理。沃尔什变换是类似于傅里叶展开的另一种正交展开，在许多情形下，它比傅里叶变换更适合于对数字无线电信号的分析。70年代，二维沃尔什变换在电视频带压缩上的应用，在计算机模拟与实验室试验方面取得了成功。但在理论上，即使是一维的情形，还缺乏系统而完整的工作。程民德于1978年统一地对高维沃尔什变换进行了系统而完整的分析，证明了收敛定理、取样定理，论证了沃尔什变换对数字图像频带压缩有优越性。他和他的学生合作，完成了中国第一本有关模式识别方面的专著《图像识别导论》。由于计算机的应用，模式识别与图像处理的研究，国际上在60－70年代发展已极其迅速，在我国则起步较晚。程民德不仅从事理论研究，还进一步建立了北京大学数学系的信息数学专业，带领大家研究指纹识别、地理信息库以及视觉模拟。他和石青云以及他们的研究生，在指纹识别方面有重要的发现，从而开发了新一代高功能的指纹自动鉴定实用系统，此系统1990年进入了国际市场，为我国经济发展作出了贡献。在程民德带领的科研集体的基础上，北京大学先后成立了跨学科的“信息科学中心”以及“视觉和听觉信息处理”国家重点实验室，程民德担任了这个中心和实验室的学术委员会主任。程民德在学术思想上，坚持数学理论与联系实际并重的方针。他十分重视数学理论的独立发展，认为不能要求所有的数学研究都必须有实用背景，但也应十分重视数学的应用。当80年代有个别人怀疑搞数学的人是否应去搞模式识别的时候，他坚持了模式识别的研究方向。正是在他的正确思想指导下，北京大学数学系信息科学专业与北京大学信息中心才能取得了重大的发展。 1952年，院系调整后的北京大学数学力学系，面临一个大发展的局面，学生从几十人很快增至上千人，专业由单一的数学专业，增加了力学专业与计算数学专业，但师资缺乏，不能适应发展的要求，教学又面临改革的任务。程民德作为教研室与系的主要负责人之一，从加强基础课教学着手，努力做好各个专业的建设。他自己亲自讲授有200多名学生的数学分析大课，以极其严谨的分析风格培养学生，从而在新建的北京大学数学力学系确定了重视基础训练的优良传统。在教学质量逐步走向稳定的时候，1955年他又会同林建祥、丁石孙等青年教师，及时提出在高等学校积极开展科学研究的建议。另外，当时的北京大学数学力学系，是由原来北京大学、清华大学、燕京大学三校的数学系合并起来的，教师来自不同的单位。程民德与当时的系主任段学复等一起，在党组织的领导下，得到江泽涵、徐献瑜等教授的支持，充分发挥原三校教师的作用，信任青年教师并加强对他们的培养，注意树立团结和睦的风气以及活跃而又严谨的学风，使新建系形成了优良的风尚。这种风尚在北京大学数学系后来的发展中起了极其重要的作用。“文化大革命”后，经历了十年浩劫的北京大学数学系与中国数学界，又面临一个恢复与重新发展的局面。程民德积极支持思想上的拨乱反正。他在北京大学数学系中，巩固并发展了应用数学专业与信息科学专业，签订了许多重大的科研项目的协议。北京大学数学研究所成立后，他担任第一任所长，在所里创立了良好的研究环境与自由讨论的良好风气。他采取了多种措施，扶植了大批中青年人迅速成长。在全国，1977年他首先在北京大学恢复了多元调和分析的理论研究。接着，于1978年，在他的积极倡议之下，函数论作为一门理论学科，在全国最早恢复了学术活动。他克服了重重困难，于1980年成功地协助吴文俊教授组织了由国际著名数学家陈省身先生倡导的第一届微分方程与微分几何国际学术会议，为中国数学的国际交流树立了高标准的楷模，对提高我国数学水平产生了深远的影响。以后他又主持了1984年的分析学国际学术讨论会，组织了1985年的国际逼近论会议，主持了1988年的南开大学数学研究所的调和分析学术活动。他为中国数学会重返世界数学联盟作了许多实际工作。他努力支持南开大学数学研究所的成立和它的各项活动，并参加领导了由陈省身先生向国家教育委员会倡议的全国数学研究生暑期教学中心，为提高全国数学研究生的近代数学水平提供良好的条件。他还为中美合作培养研究生作出了很大的贡献。1985年程民德与徐利治合作，创办了国际性英文版数学杂志《逼近论及其应用》（ApproximationTheory and its Applications）并担任主编。“文化大革命”结束后，中国数学界呈现一派繁荣兴旺的景象，不少中青年人脱颖而出，在国内外做出了很优秀的工作。这时，陈省身先生提出，在21世纪初中国数学可以率先赶上世界先进水平并于21世纪把中国建成数学大国。为了达到这个目标，程民德等在国家科委、国家基金委和国家教委的支持下，于1988年在南开大学召开了第一届“21世纪中国数学展望”学术讨论会。参加会议的国内有122人，国外的有45人，其中大量是正在攻读或已取得博士学位的青年人。会议在程民德、胡国定、吴文俊等人的主持下，共商发展中国数学的大计。会议为中国数学的发展争取到财政部专款拨给国家基金委的一笔基金——数学天元基金。以程民德为首的天元基金学术领导小组，决定用它支持一批重点项目，特别是支持年轻人，为他们的发展创造条件。同时决定给予影印数学书刊和翻译出版数学图书资料等方面的支持，尽可能改善一些全国的数学研究条件。1990年“第2届21世纪中国数学展望会”又在南开大学召开，大家决心通过扎实的工作，实现数学率先赶上世界先进水平的目标。会议呈现出一派团结奋斗的新景象。青年时代的程民德，沉静、寡言、不善辞令。在美国留学时参加的一个晚会上，他的导师博赫纳就曾以“寡言的数学家”把他介绍给大家。回国后，是历史的潮流把他冲上了行政的领导岗位。由于历史的原因，中国数学自然划分为南方与北方两个活动中心。程民德青年时代在南方学习与工作，以后又长期在北方任教，在美国留学时又接触了许多国际知名的数学家。这在客观上为他提供了工作上的有利条件。但更重要的是他从不把个人的得失放在第一位，始终以大局为重。他待人宽厚，总为别人设想，严于律己。他意志坚强，不管遇到任何困难，总是要求自己扎扎实实甚至默默无闻地去工作，直至达到目的为止。他待人真诚，从不说违心的话，因此他能团结人，发挥每一个人的作用。在学术上，他不保守，总是鼓励年轻人去开创，甚至鼓励年轻人超过自己。这一切，正是他能为中国数学发展做出贡献并获得人们信任、尊敬的原因。