二维波动方程毕业论文

基本假设：

膜振动方程 令 ，于是得到膜震动方程的标准形式

其中 为自由项，收外力 的振动称为 强迫振动 ，因此也称为膜的 强迫振动方程 . 当 时，方程是其次的，此时的方程为 称为膜的 自由振动方程 ，上面两个方程也称为 二维波动方程 .

初始条件的提法： 其中 及 为已知函数. 边界条件的提法通常有三种：

膜的边界固定或按照一已知函数随时间而变化 或 其中 为薄膜的边界在 平面上的投影曲线， 为已知函数. 这种边界条件称为 第一类边界条件 .

薄膜的边界可以在一个光滑的柱面上自由滑动，不受摩擦力的作用. 此时边界条件的提法为 或更一般地为 其中 为已知函数. 这种边界条件称为 第二类边界条件 .

将膜固定在弹性支承上，此时，边界条件归结为

其中 为已知正数. 这种边界条件称为 第三类边界条件 .

同样的，非齐次的三位波动方程(如电磁波或声波在空间中传播)

奇次情况为

柯西问题就是初值问题.

考察三维波动方程的柯西问题 若 具有球对称性，这时 仅为变量 的函数，我们可寻求只依赖于 与 的解 。 这样可以写成

若取 为未知函数，则上式可以变成 我们会发现这个与一维齐次波动方程形式相同，因此我们可以将 通过达朗贝尔公式求出，于是可以得到具有球对称形式的解.

设 ，那么三维波动方程的柯西问题 存在唯一解

其中 为以点 为球心、 为半径的求面， 为球面的面积微元. 上式称为 泊松公式 .

研究二维波动方程的柯西问题

书上说这时不能用球平均法，这个原因我们留到最后来提.

他的确是与 无关的函数，因此该式子就给出所考察的二维波动方程的柯西问题的解，他称为 二维波动方程柯西问题的泊松公式 .

我们已经有过齐次的解，根据叠加原理，我们知道只需要求

的解即可.

其中 表示体积微元，积分在以 为球心、以 为半径的球体中进行. 因此在时刻 ,位于 处解 的数值由函数在时刻 处的值在此球中的提及积分表出，称这样的积分为 推迟势 .

回到之前的问题，为什么二维波动方程不能用球平均法的问题，我看了看网上的解答是这样说的： 三维波动方程的解只和light cone 表面有关系，而二维波动方程的解和整个 light cone 内的点都有关系。奇数维度的波动方程都符合Huygens principle而偶数维度的都不符合

注：