山师学报自然科学

高次幻方中的“黑马”—— 十二 阶 三 次 幻 方 高治源 潘凤雏 （陕西延安教育学院） （西藏堆龙德庆县地质六队） 幻方的悠久历史，在趣味数学当中显得十分神秘。距今四千年前的“神龟载洛书”的故事就是幻方的起源，因而在国际上我们中国被称为幻方的故乡。我国著名的数学家杨辉是第一个把洛书作为数学问题进行研究的，杨辉之后，对幻方的研究相继不断，宋代丁易东，明朝王文素、程大位 ，清朝保其寿、方中通、涨潮，以及我国著名数学史家李俨，还有许多近代学者们，都为幻方的发展作出了贡献。在上海博物馆有一块在浦东陆家咀发掘出来的明代宝玉，这块宝玉的一面竟刻有一个四阶幻方，而在陕西历史博物馆中，陈列著一块西安元代安西王府旧址出土的铁板，这块铁板上也刻制著一个六阶幻方。从这两件幻方文物可看出，我国古代确实对幻方有精深的研究，并代代相传，引此为荣。 幻方的每行每列及两条主对角线，所含数位的和相等，因而它被称为均衡的典范。可是人们想不到的是，高次幻方的各线不仅和相等，而且平方和、立方和、直至k次方都相等，它们就象层层而上的灯塔，具有强烈的数学美的魅力。1892年一个叫Frolow的法国人首先发现了八阶和九阶平方幻方，平方幻方那种双重的均衡性引起人们的极大兴趣。此后人们便在平方幻方的基础上，探讨三次幻方。三次幻方的各行、各列及两对角线所含各数之和、平方和与立方和均相等，其编制有一定的难度，而阶数越低则难度越大。在上世纪五六十年代，美国的亨特先生编成了一个128阶三次幻方。十几年后，加拿大多伦多大学的考克斯特教授又宣布构造出一个64阶三次幻方，可惜这两个幻方由於数位太多，它们并没有将结果公之於众。因此人们希望降低幻方的阶数，想方设法构造出在一张纸上能够容纳下的三次幻方。 上世纪90年代，国外的幻方研究资料不断地传进中国，其中高次幻方的佳品引起中国幻方爱好者的极大兴趣。他们知道，中国作为幻方的故乡，如果没有平方幻方、三次幻方的成果，似乎有些说不过去。为了祖国在这个领域的荣誉，1991年，山东吴硕辛创造了一种mi（q）语言，可直接演算出8阶、9阶、16阶平方幻方，以及64阶、32阶3次幻方，可是由於他重视幻方的研究，并未将这些成果发表出来。舒文中在1991年，丁宗智、孙友在1992年各出版了《幻方》书，在他们的书中，都有大量的平方幻方和双重幻方的研究和佳品。1993年，福建苏茂挺、上海戴宏图在《科学画报》中，发表了《巧妙的32阶3次幻方》一文，对幻方爱好者影响很大。后来我们进一步了解到，上海俞润如，江苏钱剑平，安徽刘霞也分别构造出性质更完美的32阶3次幻方。1995年10月，施学良在他的96万字的幻方专著中，发表了32阶、64阶、81阶三次幻方。从而三次幻方的研究，展现出丰富多彩的景象。 对於三次幻方的研究而言，应该阶数越低越好，在某种意义上来说，这已经形成了一种国际性的竞赛。如今32阶三次幻方，在我国能够构造出成千上万种，简直达到十分自如的地步。这时候人们自然将研究的目标瞄准16阶三次幻方，几乎所有的人都认为16阶三次幻方是存在的，延安教育学院的高源老师在成功得到16阶行三次幻方以后，在1997年设奖1997元征解16阶三次幻方，从而研究探索十六阶三次幻方的人不断涌现。吉林80多岁的滕越老先生对此研究了四、五年，获得了大量的16阶行三次幻方。安徽芜湖王忠汉获得了一个接近的16阶三次幻方，只有两行及两条对角线不满足三次幻方的要求，引起人们极大的兴趣。如果不受1—162这256个数位的约束，高次幻方的构成则就容易多了，2001年5月苏州郭先强、四川李文、福建苏茂挺，各构选出一个16阶广义三次幻方，接著郭先强又构造成功36阶广义五次幻方。 12阶3次幻方 （高治源、潘凤雏） 18 17 79 19 46 102 129 52 131 113 108 56 6 20 41 86 91 49 116 115 48 121 42 135 34 63 22 76 117 8 98 119 141 64 101 27 65 94 144 23 13 71 87 136 70 72 5 90 105 31 33 142 68 106 84 45 35 2 124 95 53 120 83 78 134 133 7 38 88 36 85 15 92 25 62 67 11 12 138 107 57 109 60 130 40 114 112 3 77 39 61 100 110 143 21 50 80 51 1 122 132 74 58 9 75 73 140 55 111 82 123 69 28 137 47 26 4 81 44 118 139 125 104 59 54 96 29 30 97 24 103 10 127 128 66 126 99 43 16 93 14 32 37 89 正当大家对16阶三次幻方研究得热火朝天的时候，今年3月，我们在理论上获得了存在12阶三次幻方的依据，於是我们应用多环等幂和阵列的构造方法，通过阵列的巧妙调配，并应用电脑编程探索，终於成功地构造出一个12阶三次幻方。这个12阶三次幻方，是由1—144各数构造的，其每行每列及两条对角线各含的12个数位和为870，平方和为83810，立方和为9028800，而且两条对角线上各数的四次方和同为1047715574。在结构上具有上下轴对称性，即关於中轴对称的两数和均为145。截至目前为止，12阶三次幻方是三次幻方中阶数最小的，而且我们有办法证明，不存在比12阶阶数更小的三次幻方，大家总以为最小的三次幻方应该是16阶，而且多次努力总是不能如愿成功。如今，12阶三次幻方就像在三次幻方中跳出来一匹“黑马”，巧妙又奇特，让众多幻方研究者们惊讶万分。 电脑和网路的普及，引起我国幻方研究突飞猛进的发展。如今吴硕辛、高治源的256阶四次幻方，李文、郭先强的729阶五次幻方，潘凤雏的3296阶六次幻方，65536阶七次幻方都居於国际领先水平。但这些高次幻方，因阶数过大只能在电脑和网路上交流。而12阶三次幻方以数位少、阶数小、结构和谐著称，便於人们传播欣赏。 参考文献： （1）苏茂挺：《巧妙的32阶三次幻方》，科学画报，1993年1月。 （2）施学良：《智力王国－幻方与魔数阵》，贵州教育出版社，1993年10月。 （3）俞润汝：《全息的32阶三次幻方》，山东师范大学学报（自然科学版），1997年6月。 （4）李抗强：《数学趣味幻方》，香港天马图书公司出版，2003年4月。 （5）中国幻方网站： 。mars15附注：16阶三次幻方，已於2005年5月由中国人率先造出。

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