毕业论文因式分解问题的研究

因式分解，在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程。在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。例如多项式x2-4 可被因式分解为(x+2)(x-2)。在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。2 、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。（这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。3 、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。4、 因式分解是很困难的，但初中所接触的只是因式分解很简单的一部分，真正的因式分解需要研究生的水准，抽象代数在因式分解上有重要的应用，大家可以尝试因式分解x^n-1，这是一道经典的考题曾经在1978年全国奥数竞赛中出现。因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。注意四原则：1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2．最后结果只有小括号因式分解3．最后结果中多项式首项系数为正归纳方法：1．提公因式法。2．运用公式法。3．分组分解法。4．拼凑法。5．组合分解法。6．十字相乘法。7．双十字相乘法。8．配方法。9．拆项补项法。10．换元法。11．长除法。12．求根法。13．图象法。14．主元法。15．待定系数法。16．特殊值法。17．因式定理法。基本方法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。[1]具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提尽全家都搬走，留1把家守提负要变号，变形看奇偶。如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。平方差公式：反过来为完全平方公式：反过来为(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。两根式：ax^2+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a] 两根式立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3．公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。1．分解因式技巧掌握：①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。2．提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。解方程法通过解方程来进行因式分解，如X^2+2X+1=0 ,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）

在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题确很多。很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。中学代数主要做好3件事情。1恒等变形与计算2分类讨论3数形结合 因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具。在分式，二次根式，二次方程，二次不等式，二次函数，根式方程，分式方程甚至几何中都要用到因式分解，重要性不言而喻。而很多地方对因式分解的重要性认识是不够的。首先我介绍下什么是因式分解，以及因式分解有哪些方法。因式分解就是把一个整式分解成若干个整式的积，昨天看有些同学的练习中因式分解还出现了加减法，这是概念不清，在因式分解中加减法一律要做在小括号中，最后的运算肯定是乘法结束。因式分解有提取公因式，套公式，分组分解，十字相乘，换元，主元，待定系数，双十字相乘，综合除法，拆项填项，配对除法，配平系数，配方，轮换对称14种方法。其中提取公因式，套公式，分组分解，十字相乘是4种最基本的方法，学校基础教学也只学这4种方法，而实际上是远远不够的。中等难度的方法有换元，主元，待定系数，双十字相乘，综合除法，配方这几种方法。在这里我特别强调下综合除法，待定系数，以及主元法大家一定要下大力气练。很多孩子在解根式方程的时候就畏惧平方2次的方法为什么呢？根本原因在于畏惧出现4次方程。其实根本原因在于因式分解的基础不行，或者展开多项式计算速度和准确度不够，或者是综合除法和待定系数练的不熟导致底气不足。我经常和大家开玩笑，要有胆识和魄力，不必为了技巧而技巧，经整理得是件很有趣的事情。有综合除法罩着你怕什么啊！4次方程的通法就是2个一个是综合除法，一个是待定系数，只要在有理数范围能够分解这2个方法就肯定能解决。很多同学做分式方程也是过分追求技巧，但又想不到技巧。主元法往往在含参数的二次方程中会有所涉及，很多孩子用求根公式又不愿意算，主元法又不熟悉，做题的方法的选择就很受局限性！比较难的是拆项填项，配对除法，配平系数这三种方法，拆项填项主要是拆什么填什么有些难，配对除法对两个公式a的n次方-b的n次方=（a-b)(a的n-1次方+a的n-2次方b+...+b的n-1次方） a的2n+1+b的2n+1次方=（a+b)(a2n-a2n-1b+。。+b2n）要很熟悉。配平系数适用范围不大仅仅适合4次多项式中四次项系数和常数项相等，三次项和一次项系数的绝对值相等的题。轮换对称是难度最大的方法但掌握后很多比较难的整式乘除和因式分解可以一步写答案，关键点在于明确结构待定系数，主要掌握二元齐次轮换的结构掌握1,2,3，4次型的即可，还有3元的齐次轮换对称式掌握1,2,3次即可。关于因式分解的难度来说如果在奥赛特别是全国初中和今后高中竞赛中得到一等奖以上的同学这14种方法必须炉火纯青，从理科实验班角度来说掌握4种基本方法，6种中等难度的方法加拆项填项这11种就够了。如果你想做到学习数学轻松，强身健体的话掌握10种即可。武汉明心教育老板刘嘉曾说过，代数就是要练到手抽筋，几何就是要想到头发麻，眼看花。所以量的积累是极为重要的。很多地方因式分解2-3次课就学完了，这肯定是不扎实的，关于因式分解要学到位至少要8-10次课如果加上整式乘除至少要13次左右。很多小孩为何因式分解学第四遍的比学第一遍的未必有优势，根本原因在于练的不够。初三有个不错的孩子回头总结代数的时候说过一句很有意思的话，什么是代数？代数就是把数使劲代入。不论是恒等变形，还是函数这个都是很精辟的总结。首先强烈推荐单墫老师的一套丛书系列之《因式分解的技巧》这本书真是太好了，深入浅出，低起点高落点。它不像有的奥赛书一样虽然很好，但高不可攀不适合大多数同学。它上手的可以作为学校基础知识的巩固，深入到后面还涉及了复数的单位根的方法覆盖面很广，适合各个层面的小孩。大家可以根据小孩的需要练对应的方法，那本书上不过就是综合除法用因式定理替代了，配平系数，配对除法没讲。因式分解要熟能生巧，信手拈来要做1000题，才能达到提笔就写的地步，很多高手做双十字相乘都可以一步写答案，经目测得。有的孩子很自信的说过，代数真是太简单了哦，经快速打钩得。在因式分解上多下功夫，今后代数学习会轻松很多。很多不等式的比较难的证明题用放缩法一不小心就反向，当年长沙一中金牌得主向振有句经典话，拒绝放缩一顿恒等变形，最后变为简单的事实如几个非负数的和不小于0.包括分式和根式问题中因式分解都有举足轻重的作用。其实光靠上10次左右的课还是远远不够的，台上三分钟，台下10年功。因为进度超前导致基本功不扎实的问题如何解决，多做题在实战中总结经验，才会越战越强。所以在这里强烈建议大家把那个小蓝本上的题除了最后2讲做到每题过关，因式分解就肯定没问题了。关于因式分解中小孩出现的问题是会而不全。比如做完高级方法后，最后提取公因式不记得，套公式不认得，十字相乘套十字相乘不彻底，或对无中生有类的如4x的4次方+1还可以继续分解想不到。还有一点就是怕展开多项式计算功底不够，过于注重招式忽视内力。还有的问题是有的乘法公式不熟悉如a3+b3+c3-3abc就 不熟练，还有很多同学立方和，立方差，完全立方都不熟悉。公式忘记了如何处理，多做题是个比较好的方法，除此之外要学会推。我每次和孩子们喜欢开玩笑说要学会现场办公，公式忘记了如何搞推出来不就完了吗！比如立方和，立方差，完全立方包括a3+b3+c3-3abc都可以用综合除法和拆项填项解决，所以有孩子自信的说过我都不知道要用哪种方法了。什么这题目太简单了，直接打钩，我都不知道如何勾了，你去帮我勾一下就可以了！解决不扎实的问题一方面是多做积累经验达到深度，另一方面多总结达到广度，最后多题一解达到高度！

论文？我觉得可以写因式分解中如何将基本解题方法引申至奥赛等级——比如从一些基本公式、方法开始，十字相乘法，换元法，主元法什么的。 顺便再加一点自己的感悟和理解应该会比较好一点。个人意见。