函数概念的演变研究的论文提纲

一、函数的起源（产生） 十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。 十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。 1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。 人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。 二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念 在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。 十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。（定义 3）在此之前的 1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。 实际上，这两种定义（定义 1和定义 2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。 1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。（定义 4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。 函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不解释 十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x都有确定的值，并且随着 x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是 x值，另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（定义 6） 1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数： y=1 当 x为有理数时； y=0 当 x为无理数时。这个函数并不复杂，但不能用解析式来表示，这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端。 1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中，有两个变量 x和 y。如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系， y都有唯一确定值和它对应，则 y称为 x的函数； x称为自变量。（定义 7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性，只须有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的 y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了。 ⒉以“集合”为基础的函数概念 函数的概念是随着数学的发展而发展的。函数的定义在数学的发展过程中，不断的改进，不断的抽象，不断的完善。十九世纪七十年代，德国数学家康托（ ）提出了集合论。进入二十世纪后，伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大，使概念获得了现代化。 二十世纪初美国数学家维布伦（ Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间，有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称 y是变量 x的函数。（定义 8）从这个定义开始，函数概念已把基础建立在集合上面，而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的。 随着时间的推移，函数便被明确的定义为集合之间的对应关系，其定义是： A和 B是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数。（定义 9）此定义根据映射的概念，用“映射”观点建立函数概念，其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数，简称函数 f 。（定义 10）以上三个定义，已打破数域的束缚，将集合中的元素改为抽象的，可以是数，也可以不是数，而是其它一切有形或无形的东西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圆的集合，则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射。 对新函数定义可以这样理解：函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）。 对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质，但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图。因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义，例如规则不同，那么是否函数也不同呢？如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数。 为了解决这一矛盾，二十世纪初，特别是在六十年代以后，广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义，而集合作为原始概念是不予定义的，这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合， f是笛卡儿集 A× B的一个子集，满足：①对任意的 a ∈ A，存在一个 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f则 b=c。则称 f为 A到 B的一个函数。记作 f:A→B。（定义11）这个定义利用“关系”这个概念，便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义，即不需要用到“对应”，又避免了对“规则”的解释，只要集合理论适用一切数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。它可称的上是最现代的定义了。 到此，“函数”最完善的定义（定义 11）已给出，作为数学中最基本的概念之一，已把基础直接建立在集合上面，即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应，它和“映射”实际上是一回事。 三、新旧两种定义的比较 比较新定义（把以集合为基础的函数定义称为新的定义方式，而以变量（数）为基础的定义称为旧的定义方式。）和旧定义，它们之间有两个重要的区别： ⑴旧定义是建立在“变量”这个基本概念上的，而新定义则建立在“集合”这个基本概念上。什么是变量呢？通常把它理解为在选定一个单位以后，可加以度量的东西，如长度、质量、时间之类，这种理解一方面太疏于笼统，只能通过举例来说明，而难于加以精确化；另一方面，由于涉及大小关系，嫌过于狭窄，无法体现应用上的普遍性。其次，即使什么是“量”的问题不存在，作为变量，它须在某一范围取值（不一定是数值），这一定范围实际上就是事先得假定的一个集合 A（它构成函数的定义域），所谓“变量取值 a”，实质上就是“ a属于 A”的一种变相迂回的说法。可见，在变量的概念中已蕴含集合的思想。 ⑵旧定义中以“因变量”为函数，而新定义中则以“对应关系”为函数。函数概念的实质，主要的并不是因变量要随自便量“变”，而是两集合之间存在某种确定的对应关系。显然，新定义更能直接地揭示出函数的实质。