叶子飞扬
一个最大无关组,向量组的秩又恰好等于其构成的矩阵的秩,这使得矩阵的秩与向量空间的维数和向量空间的基相联系.因此,研究矩阵的秩、向量组的秩、向量空间的维数以及线性方程组解得理论和方法密不可分
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矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,则方程组只要有一个解。在这种情况下,它有精确的一个解,如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩,则通解有 k 个自由参量,这里的 k 是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。在控制论中,矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的。
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矩阵的秩是弗罗伯纽斯提出的。
在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯 () 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题。
引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
矩阵的秩:
定理:矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
定理:初等变换不改变矩阵的秩。
定理:如果A可逆,则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
定理:矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。
引理:设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。
当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。 2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。 3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化,且相似对角阵上
求矩阵A的迹主要用两种方法:迹是所有对角元的和,就是矩阵A的对角线上所有元素的和。迹是所有特征值的和,通过求出矩阵A的所有特征值来求出它的迹。在线性代数中,一个
rank就是指矩阵的秩啊,low-rank matrix可能是指秩比较小的矩阵吧
矩阵的秩的定义:是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。 能这么定义的根本原因是:矩阵的行秩和列秩相等(证明可利用n+1个n维向量必线性相关) 矩阵的秩
如果A^T=A,那么(C^TAC)^T=C^TAC,所以和一个对称阵合同的矩阵一定也是对称阵。 把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,