激排爱畅想
求n阶矩阵A的特征值的基本方法:根据定义可改写为关系式,为单位矩阵(其形式为主对角线元素为λ- ,其余元素乘以-1)。要求向量具有非零解,即求齐次线性方程组有非零解的值。即要求行列式。 解次行列式获得的值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的,即为输入这个行列式的特征向量。具体操作以右图为例。定义1设是一个阶方阵(即使一个n*n的矩阵),是一个数,如果方程(1)存在非零解向量,则称为的一个特征值,相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量.(1)式也可写成,(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3)即 上式是以为未知数的一元次方程,称为方阵的特征方程.其左端是的次多项式,记作,称为方阵的特征多项式.===显然,的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,阶矩阵有个特征值.设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系,不难证明(Ⅰ)(Ⅱ)若为的一个特征值,则一定是方程的根,因此又称特征根,若为方程的重根,则称为的重特征根.方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量,于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:第一步:计算的特征多项式;第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值;第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组:的一个基础解系,则的属于特征值的全部特征向量是(其中是不全为零的任意实数).[注]:若是的属于的特征向量,则也是对应于的特征向量,因而特征向量不能由特征值惟一确定.反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值.由以上讨论可知,对于方阵的每一个特征值,我们都可以求出其全部的特征向量.但对于属于不同特征值的特征向量,它们之间存在什么关系呢?这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用.对此我们给出以下结论:定理1属于不同特征值的特征向量一定线性无关.
香浓寻觅觅
不太懂编程, 不过有现成工具可用.Mathematica只需要一个函数就能得到所有特征值和对应的特征向量:Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]数值结果用:N[Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]]输出为{{, + I, - I, + I, - I, + I, - I}, {{, , , , , , 1.},{ - I, + I, - I, + I, - I, + I, 1.},{ + I, - I, + I, - I, + I, - I, 1.},{ - I, - I, + I, + I, - I, - I, 1.},{ + I, + I, - I, - I, + I, + I, 1.},{ - I, + I, + I, + I, - I, - I, 1.},{ + I, - I, - I, - I, + I, + I, 1.}}}第一组为特征值, 后面为依次对应的特征向量.所以只有一个实特征值: , 相应特征向量:{, , , , , , 1.}.刚看到另一个一样的问题(不过(1,6)和(6,1)两个位置不一样).特征向量乘以非零数还是特征向量.作为权重是要各分量之和为1?那不妨将上面所得特征向量除以各分量之和, 得.{, , , , , , }.
瓶子好多
用 Matlab 的计算结果为:>> eig(M) --所有特征值ans = + - + - + - >> [V,D]=eig(M);V = - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + + - 每一列是对应的特征向量对的不齐, 对应 特征值 的特征向量是
骆驼非洲
|λE-A|=|λ-1 2 -2|=(-1)^2×|-2 -4 λ+2| (把第一行和第二行互换,再把新的第一行和 |2 λ+2 -4| |λ-1 2 -2| 第三行互换) |-2 -4 λ+2| |2 λ+2 -4|=|-2 -4 λ+2|=(-1)×|-2 -4 λ+2| |0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3| |0 λ-2 λ-2| |0 λ-2 λ-2| |0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3|=(-1)×|-2 -4 λ+2|=(λ+7)(λ-2)^2. |0 λ-2 λ-2| |0 0 1/2×(λ+7)(λ-2)|所以,A的特征值为-7,2,2.
十十十月
从定义出发,Ax=cx:A为矩阵,c为特征值,x为特征向量。
矩阵A乘以x表示,对向量x进行一次转换(旋转或拉伸)(是一种线性转换),而该转换的效果为常数c乘以向量x(即只进行拉伸)。
通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量(当然是特征向量)只发生拉伸,使其发生拉伸的程度如何(特征值大小)。
扩展资料:
数值计算的原则:
在实践中,大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算,计算该多项式本身相当费资源,而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达:阿贝尔-鲁费尼定理显示高次(5次或更高)多项式的根无法用n次方根来简单表达。
对于估算多项式的根的有效算法是有的,但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点,即特征值的一般算法,是迭代法。最简单的方法是幂法:取一个随机向量v,然后计算一系列单位向量。
一般有2种方法。 1、伴随矩阵法。A的逆矩阵=A的伴随矩阵/A的行列式。 2、初等变换法。A和单位矩阵同时进行初等行(或列)变换,当A变成单位矩阵的时候,单位矩
在国内外有很多关于特征值与特征向量的研究成果,并且有很多专家学者涉足此领域研问题,吴江、孟世才、许耿在《浅谈线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间
矩阵的奇异值分解(SVD)是指,将一个非零的 实矩阵 , , 表示为三个实矩阵相乘的形式: 其中, 是 阶正交矩阵,
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求矩阵A的迹主要用两种方法:迹是所有对角元的和,就是矩阵A的对角线上所有元素的和。迹是所有特征值的和,通过求出矩阵A的所有特征值来求出它的迹。在线性代数中,一个