二元函数可微性研究论文

证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件，证明过程如下：

扩展资料：

可微性的几何意义

可微的充要条件是曲面z=f(x,y)在点P(x0,y0,f(x0,y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0,y0)可微.

这个切面的方程应为Z-z=A(X-x0)+B(Y-y0)

设平面点集D包含于R²,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数.且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域.

一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy.二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量，可以认为是三维的函数，空间函数。

与连续性的定义相似对于任意给定的ε>0,存在某一个正数δ,对于D上任意一点P0,只要P在P0的δ邻域与D的交集内,就有|f(P0)-f(P)|<ε,则称f关于集合D一致连续.一致连续比连续的条件要苛刻很多.

参考资料：百度百科——二元函数

关于两个变量的偏导数连续，则该二元函数可微 天杨说的很对，但是证明二元函数可微没有充分必要条件，我给的就是个充分条件，可以用这个思路去证明可微性。如果属于不连续可微，就只能用定义证明了，看是那种情况吧

还是从定义出发，用极限概念推导可微。证明二元函数在定义域内是连续的。连续是函数可微前提，连续不一定可微，但是可微一定连续。

证明二元函数可微性： 判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系。本文着重分析这四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法。关键词: 二元函数 连续 偏导数 可微 方向导数对于一元函数,可微性比较容易判定。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很清楚的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。首先,对于以一元函数,比较简单,可微一定可导,可导一定可微。对于多元函数：偏导数存在不一定可微,可微一定存在偏导.（还有,偏导数存在时函数不一定连续）二元函数,可微的充要条件是： z=f(x,y)在（Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且 {Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0) 其中 k=Δx h=Δy ρ=就是动点和定点的距离,那个式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2。证明方法：1、用定义去验证。 2、利用充分条件 验证偏导函数连续。二元可微的条件：必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系。本文着重分析这四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法。关键词: 二元函数 连续 偏导数 可微 方向导数对于一元函数,可微性比较容易判定。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很清楚的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。首先,对于以一元函数,比较简单,可微一定可导,可导一定可微.对于多元函数：偏导数存在不一定可微,可微一定存在偏导.（还有,偏导数存在时函数不一定连续）二元函数,可微的充要条件是z=f(x,y)在（Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且 {Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0) 其中 k=Δx h=Δy ρ=就是动点和定点的距离,那个式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2

用课本上的定义去证，即Δz-[fx(x0,y0)Δx+fy (x0,y0)Δy]为ρ的高阶无穷小，ρ=√（△x^2＋△y^2）也就是求当ρ→0时，Lim{Δz-[fx(x0,y0)Δx+fy (x0,y0)Δy]}/ρ=0。以下附一例题：

总之要注意二元函数在某点可偏导且连续只是在该点可微的充分条件，同时在某点可微只能说明在该点偏导存在，但不一定连续。