数学与应用数学毕业论文建模

摘要：为了制定出切实可行的贫困生认定标准和助学金分配方案,本课题将运用模糊数学法和综合评定法建立了贫困生判定体系，提出一个既公平又明确的贫困生认定方法；再综合考虑了学生、院校类型等因素，建立贫困生助学金分配模型，合理地解决贫困生助学金分配问题。 关键词：助学金；模糊数学法；综合评定法；层次分析法；多元线性回归 Abstract：In order to formulate feasible impoverished fresh determinationstandards and grant allocation scheme, the subject will use the fuzzymathematics method and the comprehensive evaluation method to establish thesystem of poor students, this paper puts forward a judge is fair and clearformation at affirming methods; Again considering the students, colleges typesand other factors, establish formation at grants distribution model, reasonablesolution impoverished grant allocation problem. Keywords：Grants; Fuzzy mathematical method; Comprehensive evaluation method;Analytic hierarchy process; Analytic hierarchy process; Multivariate linear regression 目录 1. 模型背景. （1）2. 问题提出. （1）3. 问题分析. （1）4. 基本假设及定义. （1）5. 变量及符号说明. （2）6. 模型的建立及求解. （3） 问题一：贫困生的认定. （3） 问题二：国家分配助学金至学校模型. （7） 问题三：助学金分配到贫困生. （16）7. 模型评价. （18） 模型优点. （18） 模型缺点. （18）参考文献. （19）致谢. （20） 高校贫困生助学金的分配模型 1. 模型背景 我国现行的贫困生助学金分配政策存在不完善的地方，在一定程度上导致了助学金分配的不公平性。如，在贫困生的评定工作中，缺乏明确的标准，导致了贫困生评定工作中的不合理。再如，国家在给予各地贫困生发放助学金时，未考虑到各地学生的情况的差异性，而笼统地发放相同的金额，缺乏合理性。为了完善贫困生资助体系，综合考虑了学生、院校以及所属地域等各项因素，建立了贫困生助学金分配模型。2. 问题提出为了制定出合理的贫困生分配方案，需要解决一下三个问题：（1）提出一个明确的贫困生认定体系。（2）根据学院的类型、所处的地域等因素，建立国家将助学金分配到学校的模型。（3）学校根据各自院校贫困生的情况进行调整，将助学金合理分配到每个贫困生。3. 问题分析（1）针对问题（1），选取学生的贫困程度、消费情况、学习情况、品德素质作为主要评定因素，运用“模糊数学法”和“综合评定法”确定贫困生的人数。（2）针对问题（2），首先，考虑到不同地域的经济发展水平不同，导致不同地区的人均消费水平存在差异，因此，将地域列为评定因素。其次，对于不同类型的学校，国家的资助率不同，因此，将学院类型列为评定因素。（3）针对问题（3），考虑到国家助学金有等级之分，各个等级金额不同，分别为一等3000元，二等2000元，三等1000元。综合问题（1），采用线性回归的方法求出以贫困程度、消费情况、学习情况以及品德素质为自变量，建立关于等级资助金额的函数关系。4. 基本假设及定义定义一：仿照经济学思想，定义学校中的恩格尔系数=定义贫困因子。（为月总生活费用，为月饮食消费费用）假设一：假设参加给贫困生打分的学生及老师都是公正的，因为用打分法确定贫困生是合理的。假设二：假设在综合评价模型中，为考察一学生的贫困程度，消费情况，学习情况和品德素质而选取的考察时段和考察项目是具有代表性的。假设三：假设学生每月从银行卡中提取的金额就为该生当月的生活消费金额假设四：假设学生每月在饮食上的费用全都用饭卡支付5. 变量及符号说明：贫困程度的评价因素：消费情况的评价因素：学习情况的评价因素：品得素质的评价因素：作为评价因素的等级标记：四种评价因素之间的权重：贫困程度中家庭月收入，家庭月支出和学生专业费用这些子因素之间的权重：消费程度中饮食节俭程度和穿着节俭程度之间的权重：学习情况中专业考试成绩和竞赛成绩之间的权重：品德素质中对尊师爱友以及是否受过处分之间的权重：因素着眼于该学生是否能被评定为贫困生的对决策等级的隶属度：的单因素评判：某贫困生该月消费的总金额：某贫困生该月饭卡消费的总金额：大学生月消费平均金额：恩格尔系数=：贫困因子：节俭因子：学习因子：德育因子：贫困生评价指标：第i类学校的生均平均生活费用：每一类院校设定了资助比率n：各院校的贫困生人数w：各院校的学费：根据学校的类别划分，属于第i类院校的学校数目T：所有院校希望获得的总资助金额：国家计划投放的总助学金金额e：国家基于财政计划和所有院校的助学金期望值所决定的资助率t：每所院校获得的助学金金额s：在调查中，同学和老师认为该生应获得的贫困生资助金额6. 模型的建立及求解 问题一：贫困生的认定由于一名学生在一个学校内是否为贫困生实际上是一个相对的概念，对于这种模糊概念可以采取模糊数学法和综合评价法，考虑多种因素的影响，得出一个较为合理的决策。 模糊数学法（1）确定评价因素选取贫困程度、消费情况，学习情况和品德素质作为综合评价对象的4种评价因素，分别设为，，，。考虑到这四方面的广泛性，运用层次分析法做出更加详细的考虑，建立如图所示的贫困生评价体系：图1 贫困生综合评价体系图（2）确定评价等级 将每一种因素的评价等级设定为“优，良，中，差”四等，分别记为，，，；（3）各个指标值权重 通过文献查询，获得各个指标值权重，分别为：①四种评价因素之间的权重A =（，，，）②贫困程度中家庭月收入和家庭月支出之间的权重=（，）③消费情况中饮食节俭和衣着节俭之间的权重=（，）④学习情况中专业学习和非专业学习之间的权重=（，）⑤品德素质中尊师爱友和是否受过处分之间的权重=（，）（4）进行一级评判，对每个子评价因素进行综合评判为保证评价结果的可靠性和有效性，可以设计贫困生申请助学金的评价表，让学生所在学院老师和同学进行打分评价，表格如下：表1 ＿＿＿＿＿＿＿＿申请助学金的评价表评价因素 评价等级贫困程度消费情况学习情况品德素质家庭月收入家庭月支出饮食节俭衣着节俭专业学习非专业学习尊师爱友是否受过处分优 良 中 差 您认为该生应获得助学金额（s）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿通过以上评定表格所获得的信息，可以确定因素着眼于该学生是否能被评定为贫困生的对决策等级的隶属度：=对评价为的人数/参加评价的总人数从而确定的单因素评价集合：=综合4个评价因素所对应的评价集合，组合成一个总的评价矩阵：（5）进行二级评判，得出结论将每个子因素集看作一个整体因素，用作为它的单因素评判，建立由评估因素集U到评语集V的模糊映射。将所得的B归一化之后，按最大隶属原则可得：取经过大家评定后等级为中以上学生为有资格获得助学金的贫困生。 综合分析法将学生的贫困程度、消费情况、学习情况以及品德素质作为评定因子。（1）假设学生每月从银行卡中提取的金额为该月的总消费金额，而每月饭卡上消费的金额为。利用恩格尔系数=定义贫困因子。若每月饭卡上的消费金额不少于该月总消费金额的50%，则认为该生贫困；若每月饭卡上的消费金额多于该月总消费金额的50%，则认为该生不贫困。（2）假设大学生月消费平均金额为，定义节俭因子若学生每月总消费金额不多于大学生月消费平均金额，则认为该生相对节俭；若学生每月总消费金额多于大学生月消费平均金额，则认为该生相对不节俭。（3）假设学习情况主要体现在学习成绩的排名以及是否进步，定义学习因子。将分为A、B两部分，一方面，若学生各门课程均及格或排名位于总体前2/3,则认为该生学习认真，否则不认真；另一方面，若学生进步了h名以上（h为总体人数的10%），则认为该生学习认真，否则不认真。将两者运用“或”算子，只要该生成绩优良或者取得一定的进步，便认为该生学习认真。令（4）假设德育情况主要体现在档案中是否有处分、警告或批评的记录，定义德育因子。综合考虑贫困程度、消费情况、学习情况以及品德素质，采用“与”算子，令=为贫困生资格评定的指标。若>0，则认为该生具有获得国家助学金的资格；若=0，则认为该生为非贫困生。 问题二：国家分配助学金至学校模型国家教育部根据不同学校的属性，将助学金总额分配到各学校。其中，各学校所得的助学金总金额受各学校的地域、类型以及国家资助力度的共同影响。 地域因素分析（1）依据各城市的社会消费品零售总额、国内生产总值等各因素，把我国城市分类，依次为A类（上海、北京等）、B类（重庆、天津等）、C类（汕头、中山等）、D类（佛山、三亚等）、E类（肇庆、嘉兴等）。（2）将每一类地域的人均基本生活消费作为该地读书学生的月平均生活费用。第A类：第B类：第C类：第D类：第E类：高校类型和国家资助力度分析我国高等院校根据学院类型，可分为普通本科院校、211院校、省部共建院校、985院校。根据由不同类别的院校培养出来的学生的回报率，确定国家对不同院校学生的资助率。 问题分析国家拨款给各类院校助学金是期望得到高收益，考虑到各类院校大学生的产出效益由多方面的因素决定，主要包括政治效益、经济效益、文化效益、科技效益、道德效益，而且这些因素有大有小，在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者有限程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用，无法较客观地出各院校大学生的产出比，因此可以运用层次分析法，建立层次结构模型。 建立层级结构模型将决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即院校产出效益；最下层为方案层，有普通院校、211院校、省部共建院校以及、985院校共4个方案供选择；中间层为准则层，有政治效益、经济效益、文化效益、科技效益、道德效益共5个准则，各层间的联系用直线表示。如下图：图2 院校产出效益的层次结构 构造成对比较矩阵（1）准则层对目标层的成对比较矩阵：（2）方案层对准则层的每一个准则的成对比较矩阵：①对政治效益：②对经济效益③对文化效益④对科技效益⑤对道德效益 计算权向量并做一致性检验（1）对计算权向量并做一致性检验①在MATLAB软件中输入如下程序代码：=[1 2 1/4 1/3 31/2 1 1/5 1/4 24 5 1 5/3 63 4 3/5 1 51/3 1/2 1/6 1/5 1][V,D]=eig()其运算结果为V = + - - + - + + - + - + - - + - + = 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 - ②从上述计算结果可知：=<则的一致性检验通过权向量：（）（2）对计算权向量并做一致性检验①在MATLAB软件中输入如下程序代码：=[1 2 3/5 4/71/2 1 1/5 1/45/3 5 1 5/47/4 4 4/5 1][V,D]=eig()其运算结果为V = - + + D = 0 0 0 0 + 0 0 0 0 - 0 0 0 0 ②从上述计算结果可知：=<则的一致性检验通过权向量：（）（3）对计算权向量并做一致性检验①在MATLAB软件中输入如下程序代码：=[1 5 4/5 5/6 1/5 1 1/6 1/5 5/4 6 1 8/7 6/5 5 7/8 1][V,D]=eig()其运算结果为V = + - - - D = 0 0 0 0 + 0 0 0 0 - 0 0 0 0 ②从上述计算结果可知：=<则的一致性检验通过权向量：()（4）对计算权向量并做一致性检验①在MATLAB软件中输入如下程序代码：=[1 3/5 4/5 1/2 5/3 1 5/4 6/7 5/4 4/5 1 4/7 2 7/6 7/4 1][V,D]=eig()其运算结果为V = - + - + D = 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 - ②从上述计算结果可知：=<则的一致性检验通过权向量：（）（5）对计算权向量并做一致性检验①在MATLAB软件中输入如下程序代码：=[1 1/5 7/6 1/7 5 1 6 5/7 6/7 1/6 1 1/8 7 7/5 8 1][V,D]=eig()其运算结果为V = - + - + + D = 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 - ②从上述计算结果可知：= CI==<则的一致性检验通过权向量：（）（6）对计算权向量并做一致性检验①在MATLAB软件中输入如下程序代码：=[1 3 3/5 4 1/3 1 2/7 7/3 5/3 7/2 1 5 1/4 3/7 1/5 1][V,D]=eig()其运算结果为V = - + - + + - D = 0 0 0 0 + 0 0 0 0 - 0 0 0 0 ②从上述计算结果可知：=<则的一致性检验通过权向量：（） 计算组合权向量并做一致性检验 对总目标的权值为：***** 对总目标的权值为：***** 对总目标的权值为：***** 对总目标的权值为：*****决策层对总目标的权向量为：（） =<故层组合权向量通过一致性检验。因此，（）可作为最后的决策依据。即各方案的权重排序为：>>>。根据投入产出法，国家期望投入给各院校的助学金能够得到相应的回报值，因此，由上述四类院校的效益可知，这四类院校的期望值回报比为：985院校：211院校：省部共建院校：普通高校=：：：.由于假设国家会根据各类院校的回报率来投放助学金，因此可以把上述所得的回报率比作为国家对各类院校的资助率比，即： ： ： =：：： 各院校所得助学金分析假设每所学校的贫困生人数n，每一类学校的院校个数，分别记为：。再结合所得的相对期望值，可以得到所有院校希望获得的总资助金额T:假设国家该年计划拨放的总资助金额为，可以得到全国平均的资助率为e:因此各院校应获得的助学金为： 问题三：助学金分配到贫困生根据助学金等级，采用多元线性回归的方法求出以贫困程度、消费情况、学习情况以及品德素质为自变量，建立关于理想资助金等级的函数关系。 模型背景将贫困程度、消费情况、学习情况以及品德素质分为优、良、中、差四个等级，给予3、2、1、0的打分，得分为10-12，可获得一等助学金3000元，得分为7-9可获得二等助学金2000元，得分为4-6可获得三等助学金1000元，假设某校贫困生获得助学金金额与贫困程度、消费情况、学习情况以及品德素质四个因素的联系，如下表：表2 助学金额与各影响因素表助学金金额（元） 贫困程度 消费情况 学习情况 品德素质 3000 3 3 3 3 3000 3 2 2 3 2000 2 3 1 2 2000 3 2 1 1 2000 1 3 2 2 1000 1 2 1 1 1000 1 1 1 1 1000 2 1 1 2 2000 3 1 3 2 3000 3 3 3 2 问题的分析及模型的建立首先，对该问题作以下假设：1.设助学金金额为研究指标Y，贫困程度、消费情况、学习情况以及品德素质分别为自变量、、、。与自变量、、、成线性函数关系。是随机变量，服从均值为零的正态分布，所以可以建立多元线性回归模型 模型求解在MATLAB软件中的实现在MATLAB软件中求解该模型的程序代码如下：x=[3000 3 3 3 3 3000 2 2 2 32000 2 3 1 22000 3 2 1 12000 1 3 2 21000 1 2 1 11000 1 1 1 1 1000 2 1 1 22000 3 1 3 13000 3 3 3 2]；X=[ones(size(x(:,1))),x(:,2:5)]；Y=x(:,1)；[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,)b,bint,stats其运算结果为b= 从上述计算结果可知：回归方程：Y=*+*+*+*因此，可以得到理想助学金等级与贫困程度、消费情况、学习情况以及品德素质的函数关系式为：Y=*+*+*+*7. 模型评价 模型优点：运用了层次分析法和模糊综合评价法的集成，在模糊的环境下，考虑了多种因素的影响，给予判定因素做了综合的评价。（2）通过量化的思想将各种模糊的评定因素化为简单的0-1变量，建立了贫困生的综合评价模型。（3）运用了多元线性回归的方法，建立关于理想资助金等级的函数关系。 模型缺点：（1）尽管是查阅了多份文献资料下确定了各项的权值，但仍存在一定误差。（2）采用问卷调查的方式来确定贫困生的人选，但不可避免填写调查表中存在的主观性。参考文献[1] 杨得利，熊志忠.高校贫困生认定方法研究[J].煤炭高等教育.月第5期：63-65.[2] 周国平.民办高校贫困生资助研究[J].浙江树人大学学报.2008.第6期：12-17[3] 田军鹏.对高校贫困生认定工作的几点思考[J].科技信息(学术研究，2008.第4期)[4] 林良夫，吕澜，费英勤.高校贫困生助学策略管见[J].教育发展研究，2004.第24卷第3期[5] 姜启源，谢金星，叶俊.《数学模型（第三版）》[M].北京.高等教育出版社.2003：224-244；294-302[6] 王立波.《数学建模及其基础知识详解》[M].武汉.武汉大学出版社.：175-178[7] 费培之.《数学模型实用教程》[M].程度.四川大学出版社.1998：87-94[8] 李鸿吉.《模糊数学基础及实用算法》[M].北京.科学出版社.2005：1-148；208-351[9] 谢季坚，刘承平.《模糊数学方法及其应用(第二版)》[M].武汉.华中理工大学出版社.2000：1-254