函数极限的几种求解方法研究论文

求极限的方法归纳：1. 代入法，分母极限不为零时使用。先考察分母的极限，分母极限是不为零的常数时即用此法。2. 倒数法，分母极限为零，分子极限为不等于零的常数时使用。3. 消去零因子（分解因式）法，分母极限为零，分子极限也为零，且可分解因式时使用。4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零，分子极限也为0，不可分解，但可有理化时使用。可利用平方差、立方差、立方和进行有理化。5. 零因子替换法，利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1，分母极限为零，分子极限也为零，不可分解，不可有理化，但出现或可化为sinx/x时使用，常配合利用三角函数公式。6. 无穷转换法，分母、分子出现无穷大时使用，常常借用无穷大和无穷小的性质。

函数极限的几种常用的求解方法加以归纳。1.利用极限的描述性定义极限的描述性定义为：若当自变量的绝对值|x|无限增大时，相应的函数值f（x）无限接近某确定的常数A，则称当x趋向无穷时函数f（x）以A为极限，或f（x）收敛到A，记为f（x）=A或f（x）→A（x→∞）利用描述性说明可以容易地估计出一些简单的函数极限，六类基本初等函数的极限也都可以根据描述性定义，结合图像方便地得到。六类基本初等函数的极限需要学生熟记于心，这是后面求一些复杂函数极限的基础。但其中，有一些极限会比较容易混淆，在应用的时候要引起注意。比如：lnx=-∞;lnx=+∞;e=+∞;e=0arctanx=-;arctanx=;arctanx不存在2.利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则可以求一些较为简单的复合函数的极限，但在应用的时候必须满足定理的条件：参加求极限的函数应为有限个，且每个函数的极限都必须存在；考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为0。 特殊极限的计算如图：

3.利用一些常见的重要极限公式（或等价无穷小替换）在微积分的教材中给出了两个重要极限公式：lim((sinx)/x) = 1 (x->0)或lim(1 + 1/n)^n = e(n->正无穷）可以利用这两个重要极限公式及其变形公式来求函数的极限。4.利用函数变量替换求极限对于一些较复杂的复合函数，我们可以适当地进行变量替换，简化极限的计算，这是一个由繁到简的过程。 对复合函数f［φ（x）］，令u=φ（x），a=φ（x），则有f［φ（x）］=f（u）.5.利用无穷小量的性质解答如图：

6.利用函数连续性求极限若函数f（x）连续，则有f［φ（x）］=f［φ（x）］。7.利用二个准则：夹逼准则和单调有界准则 。8.未定式求极限（1）分子、分母都趋向无穷大，即型，处理方法是分子、分母同除无穷大因子的最高次幂。（2）分子，分母都趋向无穷小，即型，常见的处理方法是：消零因子，有理化，利用重要极限公式或等价无穷小替换。

9.罗毕达法则对于未定式或的极限计算，还有一种重要而又简便的方法，即罗毕达法则。而且，有些未定式可能要重复使用罗必塔法则，才能确定待求极限之值。如图：

而其它类型的未定式求极限的关键是，先将它们化为型或型，然后再利用罗必塔法则或其他方法求解。

10.利用级数收敛的必要条件 ，如果级数u收敛，则其一般项u收敛于0，即u=.分段函数求极限一般的，分段函数本身不是初等函数，但在其每段子区间上表示为初等函数，可按初等函数讨论极限问题，而对分段函数分界点的极限就必须先讨论左右极限。

16 种求极限的方法，相信肯定对你有帮助。1、等价无穷小的转化只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 ,前提是必须证明拆分后极限依然存在 ,e 的 X 次方-1 或者(1+x) 的 a 次方-1 等价于 Ax 等等。全部熟记(x 趋近无穷的时候还原成无穷小2、洛必达法(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 )。首先他的使用有严格的使用前提!必须是 X 趋近而不是N 趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然 n 趋近是 x 趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的， 不可能是负无穷 !)必须是函数的导数要存在 !(假如告诉你 g(x), 没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死 !!)必须是 0 比 0 无穷大比无穷大 !当然还要注意分母不能为 0。洛必达法则分为 3 种情况： 0 比 0 无穷比无穷时候直接用 ;0 乘以无穷， 无穷减去无穷 (应为无穷大于无穷小成倒数的关系 )所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。 通项之后这样就能变成第一种的形式了 ;0的 0 次方， 1 的无穷次方，无穷的 0 次方。对于 (指数幂数 )方程方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成 0 与无穷的形式了， (这就是为什么只有3 种形式的原因， LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候， LNX 趋近于 0)。3、泰勒公式(含有 e 的 x 次方的时候 ,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意 !)E 的 x展开 sina ，展开 cosa, 展开 ln1+x, 对题目简化有很好帮助。4、无穷大比上无穷大面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 ,取大头原则最大项除分子分母 !!!看上去复杂 ,处理很简单 !5、无穷小于有界函数无穷小于有界函数的处理办法 ,面对复杂函数时候 ,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需 要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理主要对付的是数列极限 !这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7、等比等差数列公式应用对付数列极限 (q 绝对值符号要小于1）8、各项的拆分相加(对付数列极限 )例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系，已知 Xn 的极限存在的情况下,xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。9、求左右极限的方式(对付数列极限 )例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系，已知 Xn 的极限存在的情况下,xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。10、两个重要极限的应用这两个很重要 !对第一个而言是 X 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第 2 个就如果 x 趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式 (第 2 个实际上是用于函数是 1 的无穷的形式 )(当底数是 1 的时候要特别注意可能是用地两个重要极限 )11、趋近于无穷大还有个方法，非常方便的方法 ,就是当趋近于无穷大时候 ,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的 !x 的 x 次方快于 x!快于指数函数， 快于幂数函数， 快于对数函数(画图也能看出速率的快慢 )!!当 x 趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。12、换元法换元法是一种技巧 ,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。13、四则运算假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。14、数列极限还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0 到 1 的形式。15、单调有界单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!16、导数的定义直接使用求导数的定义来求极限， (一般都是 x 趋近于 0 时候，在分子上 f(x 加减某个值 )加减 f(x) 的形式 ,看见了要特别注意 )(当题目中告诉你 F(0)=0 时候 f(0) 导数=0 的时候，就是暗示你一定要用导数定义 !【求极限的一般题型】1、求分段函数的极限，当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了 !当 X 趋近无穷时候存在 e 的 x 次方的时候，就要分情况讨论应为E的x 次方的函数正负无穷的结果是不一样的 2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉!解决办法：1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是有 2 个问题要注意 !问题 1：积分函数能否求导 ?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误!!!问题 2：被积分函数中既含有 t 又含有 x 的情况下如何解决?解决 1 的方法：就是方法 2 微分中值定理 !微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!解决 2 的方法：当 x 与 t 的函数是相互乘的关系的话， 把 x 看做常数提出来， 再求导数 !!当 x 与 t 是除的关系或者是加减的关系,就要换元了 !(换元的时候积分上下限也要变化 !)3、求的是数列极限的问题时候 :夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候, 就考虑 x 趋近的时候函数值 ,数列极限也满足这个极限的 ,当所求的极限是递推数列的时候 :首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!数列是离散的 ,只能用前后项的比较 (前后项相除相减 )，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对 xn 与 xn+1 两边同时求极限 ,就能出结果!4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如 : 当 x 趋近 0 时候 f(x) 比 x=3 的函数 ,分子必须是无穷小，否则极限为无穷，还有洛必达法则的应用 ,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则 ,可以消掉某些未知数，求其他的未知数。

可以。

0/0型极限=1的例子，重要极限limsinx/x=1（x→0）

∞/∞型极限=1的例子，lim(x+1)/x=1（x→+∞）

注：可以运用罗比塔法则求0/0型、∞/∞型极限。

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

7、利用两个重要极限公式求极限

8、利用左、右极限求极限，（常是针对求在一个间断点处的极限值）

9、洛必达法则求极限

第一种：利用函数连续性：lim f(x) = f(a) x->a

（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

第二种：恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

第三种：通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。

扩展资料

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立

（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A

不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。

2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

3.柯西准则

数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

首先说下我的感觉，  假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根，  函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，  可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？   各个章节本质上都是极限，  是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先  对  极限的总结  如下

极限的保号性很重要   就是说在一定区间内  函数的正负与极限一致

1  极限分为   一般极限   ，  还有个数列极限，  （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）

1 等价无穷小的转化，   （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用  但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1   或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax  等等 。  全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则   （大题目有时候会有暗示  要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！

必须是  X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，  当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点  数列极限的n当然是趋近于正无穷的  不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）,  没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）

必须是  0比0  无穷大比无穷大！！！！！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况

1 0比0   无穷比无穷  时候  直接用

2   0乘以无穷   无穷减去无穷   （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后   这样就能变成1中的形式了

3  0的0次方    1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，  这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （  这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0  当他的幂移下来趋近于无穷的时候  LNX趋近于0）

3泰勒公式    (含有e的x次方的时候  ，尤其是含有正余旋  的加减的时候要 特变注意  ！！！！）

E的x展开   sina  展开   cos  展开   ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则    最大项除分子分母！！！！！！！！！！！

看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式  ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下，  xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。  这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值   。  地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于  函数是1的无穷的形式  ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）

11 还有个方法  ，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！

x的x次方 快于  x！   快于  指数函数   快于   幂数函数   快于        对数函数 （画图也能看出速率的快慢）  !!!!!!

当x趋近无穷的时候  他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法  是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中

13假如要算的话  四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，

就是当你面对题目实在是没有办法  走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用  证明单调性！！！！！！

16直接使用求导数的定义来求极限 ，

（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，    看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候  f（0）导数=0的时候     就是暗示你一定要用导数定义！！！！）

如下