中值定理的应用论文答辩

以法国数学家 米歇尔·罗尔 命名的罗尔中值定理（英语：Rolle's theorem）是 微分学 中一条重要的定理，是三大 微分中值定理 之一，叙述如下： 如果函数f(x)满足： （1）、在闭区间[a, b]上连续（没有断点） （2）、在开区间[a, b]上可导（光滑的） （3）、f(a) = f(b) 则 （也就是说平行于X轴） 若是有给出了 可以优先考虑一下，用罗尔定理 步骤:         （1）、构造函数f(x)         （2）、验证3个条件         （3）、由罗尔定理可知，          思路：若是细腻一点，就可以看出下面那条是上面那条方程的的导数函数，即是： 。所以，最终也是让你证明是罗尔定理，最终得出结论从而证明出这题。 例题二 思路：我们可以看到，这个 又是连续又是可导，可以猜出这可能又是与罗尔定理有关的。但是呢这里的 ，又不符合的样子？别急，我可以把式子变为 .这样的话又符合了。最后按照一步步证明得，这是一个罗尔定理，最后证明得结果  拉格朗日中值定理 ，也简称 均值定理 ，是以法国数学家 约瑟夫·拉格朗日 命名，为 罗尔中值定理 的推广，同时也是 柯西中值定理 的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做 有限增量定理 。 如果 满足： 1、在 上 连续 ; 2、在 内 可微分 （可导）；0 那么至少有一点  使下面 等式 成立 即是 步骤：         构造函数f(x)        验证2个条件        由拉尔定理可知，下结论，对结论式子变形 解法：我第一次看这种题型的时候也是一脸的懵逼的，不知如何下手。但是在仔细观察的话，可以发现，只要把 ,可以变形一下，然后再再把不不等式左右两边改变一下。最后就可以看出是一个拉格朗日中值定理函数，最后在进行运算 ，得出结果。思路：下看到这种题型，一定要瞬间明白这是要让你证明拉格朗日。按上一题的思路是一样的。 放出步骤：                     构造函数f(x)                     验证2个条件                     由拉尔定理可知，下结论，对结论式子变形 令 显然可以看出 在区间    上连续， 在开区间 可导。所以这是一个符合拉格朗日的函数。 由拉格朗日定理可知， 使得 (现在从左边范围推出右边范围) 所以 所以 所以  思路：一看这题目，可以很明显的看出可能又是要拉格朗定理有关，只要我们变变形就可以了。这边不掩饰。         设函数 闭区间 内连续， ,则存在区间 至少存在一点，使得: (1）判定方法：                  （2）讨论单调性(单调区间)的步骤            ①、求定义域            ②、求出  和  不存在的点，讲定义域划分若干个子区间            ③、列表，根据 在子区间内的符号，确定单调性。 （1）极值的定义 ，则 为极大值点， 为极大值 ，则 为极小值点， 为极小值（2）极值的判定              ①、第一判定定理                                           注：极值点是单调性的分界点，左右两侧f’(x)必然是异号               ②、第二判定定理                                                                            （3）驻点 若是 ，则 为 的驻点          注意： 若是 为f(x)的极值点，则 或 不存在（5）求极值点和极值的步骤：              ①、确定f(x)定义域              ②、求导 ,并求出 不存在的点                ③、列表 求函数 的单调区间和极值 解法：一般这种情况，都是都可以按照步骤来这样很简单都是可以求出来的，至于简单的运算，就不展开讲了。 步骤：         ①、求出所以         ②、求出①中所有点的函数值和端点处的函数值         ③、     1、凹曲线：曲线上的任意点处的切线总位于曲线的下方     2、凸曲线：曲线上的任意点处的切线总位于曲线的上方1、凹凸性的分界点称为拐点，记作  。拐点左右两侧 必然异号. 2、若点 是曲线 （1）、求出定义域 （2）、求出 的点  （3）、列表，由 符号得出凹凸区间，凹凸区间的分界点即为拐点 思路：我们把它进行二次导以及找出定义域，最后令得出来的二阶导函数小于0，得出取值范围，再根据定义域得出最后的凸区间若  则称 的一条水平渐近线。 函数趋近于无穷大时，是否是常数，则称 是 （1）、构造函数f(x) （2）、求导判断单调性 （3）、大于最低点，小于最高点思路：按我们大标题来说，我们应该用单调性来证明不等式根的存在性。这里我们首先构造出一个函数，然后再求导得出他们的单调性最后在证明例子成立所以有 因为 所以 所以 所以 又因为 所以 所以 （1）、利用零点或罗尔定理证明至少有一个根 （2）、求导判断函数单调性，得唯一根思路：我们先用罗尔定理或者零点定理证明至少有一个跟，然后在求导，得出单调性以及无不存在点得唯一根。已知函数 ，试问方程 在区间（0， +∞）有多少个实根思路：这一个题目有点意思啊，我们可以按步骤一步步来，但是我们用零点定理来证明只至少有一个根时，考虑到定义域时 ，不是闭区间，所以要用 来代替f(0), f(∞)（1）、构造函数 （2）、求导验证 （3）、

微分中值定理有三个：Rolle定理;Lagrange中值定理；Cauchy中值定理；后两个可由Rolle定理推出，主要是用于证明在区间（a，b）上存在ξ使得f（ξ）和其导数满足一定的结论，也就是说，证明在区间（a，b）上存在ξ使得……这句话出现的时候都可以考虑中值定理另外，Lagrange中值定理可推出用导数判断函数单调性的结论；可推出用二阶导数判断函数凹凸性的结论，推出泰勒公式……详见参考资料

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：

（1）在闭区间 [a,b] 上连续。

（2）在开区间 (a,b) 内可导。

（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

扩展资料：

证明过程

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。