毕业论文矩阵特征值

设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是矩阵A的一个特征值。非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。

性质1：n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)，则：

性质2：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质3：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质4：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

不太懂编程, 不过有现成工具可用.Mathematica只需要一个函数就能得到所有特征值和对应的特征向量:Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]数值结果用:N[Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]]输出为{{, + I, - I, + I, - I, + I, - I}, {{, , , , , , 1.},{ - I, + I, - I, + I, - I, + I, 1.},{ + I, - I, + I, - I, + I, - I, 1.},{ - I, - I, + I, + I, - I, - I, 1.},{ + I, + I, - I, - I, + I, + I, 1.},{ - I, + I, + I, + I, - I, - I, 1.},{ + I, - I, - I, - I, + I, + I, 1.}}}第一组为特征值, 后面为依次对应的特征向量.所以只有一个实特征值: , 相应特征向量:{, , , , , , 1.}.刚看到另一个一样的问题(不过(1,6)和(6,1)两个位置不一样).特征向量乘以非零数还是特征向量.作为权重是要各分量之和为1?那不妨将上面所得特征向量除以各分量之和, 得.{, , , , , , }.

定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式AX=λX (1)成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，( A-λE)X=0 (2)这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0 , (3)

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn同时矩阵A的迹是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1]如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。