凸集与不动点毕业论文

樊的学术成就是多方面的。从线性分析到非线性分析，从有限维空间到无限维空间，从纯粹数学到应用数学，都留下了他的科学业绩。以樊的名字命名的定理、引理、等式和不等式，常见于各种数学文献。他在非线性分析、不动点理论、凸分析、集值分析、数理经济学、对策论、线性算子理论及矩阵论等方面的贡献，已成为许多当代论著的出发点和一些分支的基石。 希尔伯特空间上的线性全连续算子源于积分方程论的需要。因此，研究全连续算子A的特征值和奇异值（即A*A的特征值的平方根）就是重要的工作。设 A，B是两个希尔伯特空间上的全连续算子，Sk(A)表示A的第K个奇异值，则有这些不等式都可解释为用有限维算子逼近无限维空间全连续算子时的性态。奇异值后来有许多推广，如S函数（其特例有逼近数、盖尔范德数、柯尔莫戈洛夫数等），而后S函数正是由上述两个不等式以及奇异值的其他基本性质作为条件的。关于特征值，樊有如下的结果：设A是如上的自共轭全连续算子，λ1≥λ2≥…≥λn是前n个最大的特征值，则这里的Max是对所有的n个标准正交向量（x1，x2，…，xn）而取的。这一结果成为特征值理论和奇异值的变分特征化的重要基础。大数学家外尔和冯·诺依曼在奇异值方面的工作，曾由樊加以推广：设A1，A2，…，An是希尔伯特空间H上的全连续算子，则有其中Max是对一切标准正交向量组（x1，x2，…，xn）和任意的酉算子组U1，U2，…，Um而取，Si(A)表示第i个奇异值。当m=2，H的维数恰为n时，则第一个等式是冯·诺依曼的结果，而当m=1时，上面的第二个等式包括外尔的不等式。此外，樊还给出一个奇异值的=0，则有综上所述，樊对全连续算子谱论研究有重大贡献，后来的算子理想理论多借鉴于此。J．迪厄多内（Dieudonne）将樊列为算子谱论的主要贡献者之一。 不动点定理是20世纪非线性数学发展中的一个核心课题。所谓映射F的不动点x，是指F(x)=x成立。显然，求方程f(x)=0的根，等价于求F(x)=f(x)+x的不动点。拓扑学家L．E．J．布劳威尔（Brouwer）在1912年提出了第一个不动点定理：n维欧氏空间中，将实心球（或紧凸集）映到自身的连续映射至少有一个不动点。以后J．P．肖德尔（Schauder）和A．H．吉洪诺夫分别将它推广到巴拿赫空间和局部凸空间。另一方面，角谷静夫（Kakutani）在n维欧氏空间情形证明了集值映射的不动点定理。1952年，樊和I．L．格里科斯伯格（GliCk_sberg）独立地将角谷静夫定理推广到局部凸空间情形。这是近来发展极为迅猛的集值分析的经典结果，其基本内容是：设X是局部凸线性拓扑空间，C是X中非空的凸紧集，T将C内每点x映为C中的非空闭凸子集合T(x)，且T是上半连续的，则必存在一点x∈T(x)．这种集值映射的重要背景乃是极大极小原理（minimax Prin－ciple）．冯·诺依曼在建立对策论时，曾研究下列方程：樊利用前述集值映射的不动点定理，得到如下的冯·诺依曼-樊-塞恩（Sion）定理：设X，Y是两个局部凸线性拓扑空间，A，B分别是X，Y中的非空紧凸集，f是A×B上的二元实函数，使得对每个y∈B，f(x，y)在A上是下半连续的凸函数，对每个x∈A，f(x，y)在B上是上半连续的凹函数，则有另外，在1953年的文献中，证明了第一个不涉及线性结构的极大极小定理，它在许多数学分支（势论、优化的对偶理论、函数代数、调和分析、算子的理想、弱紧性等）都有应用。樊在不动点理论研究中保持着领先水平，非线性分析的教科书和著作中，都能找到以樊的名字命名的定理、引理、不等式，其中叙述较详的有文献。 1972年，樊发表的论文“一个极大极小不等式及其应用”，曾使非线性分析的若干基本原理发生重要变化。这个不等式是：设K是线性拓扑空间中的紧凸集，F是K×K上的二元实函数，满足以下三条件（1）对每个固定的y∈K，F(x，y)是x的下半连续函数；（2）对每个固定的x∈K，F(x，y)是y的凹函数；（3）对每个y∈K，F(y，y)≤0；则必有这个不等式的表达不算非常简洁，并可证明它和原始的布劳威尔不动点定理等价。然而，它在证明非线性分析的大量基本定理时，却非常方便，尤其是一个处理对策论和数理经济学基础问题的有效和通用的工具。法国的J-P奥宾（Aubin）和I．埃克兰德（Ekeland）在他们的一系列非线性分析著作里，都把上述的樊不等式放在中心位置。德国的E．柴德勒（Zeidler）曾将不动点定理和极大极小不等式画成一张表，樊不等式处于重要地位。此外，这个不等式在微分方程、不定度规空间理论、势论诸方面均有应用。 第二次世界大战后迅速发展起来的线性规划理论，实际上相当于求解一个在凸集上有定义的线性不等式组．在无限维空间情形，也就是超平面分离凸集问题。樊凭借坚实的泛函分析功夫，对此作了重大改进。经常被引用的有樊条件（Ky Fan consrst-ency condition）：设F1，F2，…，Fn是任意维的实线性空间X上的线性泛函，C1，C2，…，Cn是一组实数。则存在x∈X，能同时满足F1(x)≥C1，F2(x)≥C2，…，Fn(x)≥Cnan，均有这一相容性定理，可用于直接证明线性规划的对偶定理等，成为线性规划论的一块基石。另外，它还能简单地导出许多著名的不等式，例如哈代（Hardy）-李特尔伍德（Littlewood）-波利亚（Polya）关于优化（majorization）的不等式。 樊和格里科斯伯格，以及A．J．霍夫曼（Hoffman）合作，完成了凸分析和非线性分析的一个基本定理。设X是任意维实线性空间的一个凸子集，f1，f2，…，fn是X上的实值凸函数。如果联立不等式组fi(x)<0(i=1，2，…，m)无解，那么必有一组不同时为零的非负实数p1，p2，…，pm，使得对一切x∈X，都有

数学期望

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

扩展资料：

离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。

变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数、无理数

，因而k是离散型随机变量。

如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。例如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数、无理数

等，因而称这随机变量是连续型随机变量。

参考资料来源：百度百科-数学期望

参考资料来源：百度百科-均值

mc原意是指说唱歌手，现在随着mc的广泛使用，逐渐衍生出许多意思来，也可以指能调节气氛的人，会说rap的人还有能主持控制住全场的人，因此现在许多说唱歌手会在自己艺名前加上mc的前缀，就是在暗示自己的职位是说唱歌手。