定义如下设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.
一、正定矩阵判定：1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。二、判定一个矩阵半正定：1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。2、半正定矩阵：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。三、负定矩阵判定：1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。2、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。3、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。4、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。扩展资料：正定性n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量对应的二次型:若Q>0就称A为正定矩阵。若Q<0则A是一个负定矩阵，若Q>=0则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵 。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。实对称矩阵A是负定的，如果二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX负定。矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。若矩阵A是n阶负定矩阵，则A的偶数阶顺序主子式大于0，奇数阶顺序主子式小于0。实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，有X'AX≥0；参考资料：搜狗百科-矩阵参考资料：搜狗百科-半正定矩阵参考资料：搜狗百科-负定矩阵
正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）是正定矩阵，其等价条件是：
1、AA是半正定的；
2、AA的所有主子式均为非负的'；
3、AA的特征值均为非负的；
4、存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C；
5、存在秩为r的r×n实矩阵BB，使A=B'BA=B′B。
正定矩阵有以下性质：
1、正定矩阵的行列式恒为正；
2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；
5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。
狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。
扩展资料
正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）是正定矩阵。正定矩阵的性质：
1、正定矩阵的行列式恒为正；
2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；
5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
等价条件:
1、AA是半正定的；
2、AA的所有主子式均为非负的；
3、AA的特征值均为非负的；
4、存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C；
5、存在秩为r的r×n实矩阵BB，使A=B'BA=B′B。
参考资料来源：百度百科-正定矩阵
设实对称矩阵A，如果对于任意的实非零向量x≠0有x^TAx>0,则矩阵A称为正定的。正定矩阵的性质与判别方法1. 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。2．对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。3．对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU 4．对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。5．对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。
矩阵正定的判定条件如下：
1、对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。
2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
3、对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU
4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。
5、对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。
判断一个矩阵A是否为正定矩阵方法：
1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
2、计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
3、正定矩阵的特征值都是正数。正定矩阵的所有子行列式都是正数。若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
正定矩阵判断的方法有：求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。计算A的各阶主子式。
若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的等两种方法。
半正定矩阵的特点：
1、半正定矩阵的行列式是非负的；两个半正定矩阵的和是半正定的；非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
2、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。
特征及性质
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
正定矩阵的性质：
正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解。
若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
一、正定矩阵有以下性质：
1、正定矩阵的行列式恒为正；
2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；
5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
二、判定的方法：
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
等价条件
正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）是正定矩阵，其等价条件是：
1、AA是半正定的；
2、AA的所有主子式均为非负的；
3、AA的特征值均为非负的；
4、存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C；
5、存在秩为r的r×n实矩阵BB，使A=B'BA=B′B。
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在学术论文后一般应列出参考文献（表），其目的有三，即：为了能反映出真实的科学依据；为了体现严肃的科学态度，分清是自己的观点或成果还是别人的观点或成果；为了对前人的科学成果表示尊重，同时也是为了指明引用资料出处，便于检索。毕业论文的撰写应本着严谨、求实的科学态度，凡有引用他人成果之处，均应按论文中所出现的先后次序列于参考文献中，并且只列出正文中以标注形式引用或参考的有关著作和论文，参考文献应按正文中出现的顺序列出直接引用的主要参考文献。致谢按照GB7713-87的规定，致谢语句可以放在正文后，体现对下列方面致谢：国家科学基金、资助研究工作的奖学金基金、合同单位、资助和支持的企业、组织或个人；协助完成研究工作和提供便利条件的组织或个人；在研究工作中提出建议和提供帮助的人；给予转载和引用权的资料、图片、文献、研究思想和设想的所有者；其他应感谢的组织和人。在我们的毕业论文中的致谢里主要感谢导师和对论文工作有直接贡献及帮助的人士和单位。附录对于一些不宜放入正文中、但作为毕业论文又是不可缺少的部分，或有重要参考价值的内容，可编入毕业论文附录中。例如问卷调查原件、数据、图表及其说明等。
一． 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。 相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为： 令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。 例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。 二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法： 阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。 证明：若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即 有 这就证明了A正定。 由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。 2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。 证明：A正定 二次型 正定 A的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。 证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使 令 则 令 则 反之， ∴A正定。 同理可证A为半正定时的情况。 4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。 证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩阵C ，使 5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。 证明：必要性： 设二次型 是正定的 对每个k,k=1,2,…,n,令 ， 现证 是一个k元二次型。 ∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即A的顺序主子式全大于零。 充分性： 对n作数学归纳法 当n=1时， ∵ ， 显然 是正定的。 假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。 令 ， ， ∴A可分块写成 ∵A的顺序主子式全大于零 ∴ 的顺序主子式也全大于零 由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使 令 ∴ 再令 ， 有 令 ， 就有 两边取行列式，则 由条件 得a＞0 显然 即A合同于E ， ∴A是正定的。 三． 负定矩阵的一些判别方法 1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。 2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。 3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 ， 即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。 由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。 四．半正定矩阵的一些判别方法 1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。 2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。 3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。 注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如： 矩阵 的顺序主子式 ， ， ， 但A并不是半正定的。 关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。
在学术论文后一般应列出参考文献（表），其目的有三，即：为了能反映出真实的科学依据；为了体现严肃的科学态度，分清是自己的观点或成果还是别人的观点或成果；为了对前人的科学成果表示尊重，同时也是为了指明引用资料出处，便于检索。毕业论文的撰写应本着严谨、求实的科学态度，凡有引用他人成果之处，均应按论文中所出现的先后次序列于参考文献中，并且只列出正文中以标注形式引用或参考的有关著作和论文，参考文献应按正文中出现的顺序列出直接引用的主要参考文献。致谢按照GB7713-87的规定，致谢语句可以放在正文后，体现对下列方面致谢：国家科学基金、资助研究工作的奖学金基金、合同单位、资助和支持的企业、组织或个人；协助完成研究工作和提供便利条件的组织或个人；在研究工作中提出建议和提供帮助的人；给予转载和引用权的资料、图片、文献、研究思想和设想的所有者；其他应感谢的组织和人。在我们的毕业论文中的致谢里主要感谢导师和对论文工作有直接贡献及帮助的人士和单位。附录对于一些不宜放入正文中、但作为毕业论文又是不可缺少的部分，或有重要参考价值的内容，可编入毕业论文附录中。例如问卷调查原件、数据、图表及其说明等。
相信正定矩阵的定义楼主很清楚。定义矩阵的正定性是根据二次型来的，这也就是说明正定矩阵的性质反映了一个二次表达式的性质，从另一个角度讲这也给我们提供了一个二次表达式的矩阵表示方法。在最初学函数的时候，我们学过配方法，其实化一个二次型为标准二次型的时候也是利用这个原理，只不过我们通过矩阵的手段来进行计算同时还用到了满值线性变换的一些知识。其实在数学理论中更愿意研究Hermite二次型的正定问题，因为Hermite矩阵（A=AH（表示共轭转置矩阵））更能和一些工程学科相结合。另外在数值计算科学中也经常会用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数矩阵是正定的情况下对任意初始向量是收敛的。从工程学科来说，举一个控制系统为例，如果可以找到一个利亚普诺夫函数使得它的倒数是负定（也就是说倒数的相反数是正定的）那么这个系统就是渐进稳定的。
分别求出行列式因子，如果相同则相似；
或者分别求出不变因子，如果相同则相似；
如果给定两个具体的n阶方阵A和B,A和B相似的充要条件是λ－矩阵λI－A和λI－B相抵,这个只要对λ－矩阵做初等变换就可以判定 如果给定两个具体的n阶实对称矩阵A和B,要判定是否合同只要把它们都化到合同标准型就行了,尽管此时相似是合同的充分条件,但判定相似代价要大不少
判断方法：判断两个矩阵是否相似的辅助方法：（1）判断特征值是否相等；（2）判断行列式是否相等；（3）判断迹是否相等；（4）判断秩是否相等。以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。
判断矩阵A，B是否相似的步骤：1，判断A,B的特征值及重数是否完全相同。不相同不相似，相同则第2步，判断A，B是否都可相似对角化，都可对角化，AB相似。一个可以相似对角化一个不可以，那么AB不相似。如果两个都不可相似对角化，判断A的每一个特征值对应的线性无关特征向量个数是否分别与B相同特征值对应的特征向量个数全部相同，如果相同，那么相似。对于最后一个A,B都不相似，举一个例子：比如A,B的特征值是a，b，c......,其中A矩阵特征值a对应的线性无关特征向量有两个，B矩阵特征值a对应的线性无关特征向量有一个，那么AB不相似,只有所有特征值a,b,c...对应的所有线性无关的特征向量个数分别相同，那么相似。下面介绍A,B均相似对角化的情况下，A，B相似，求可逆矩阵P，使得B=(P^-1)AP。(P1^-1)*A*P1 = (P2^-1)*B*P2 = diag(r1,r2,.....,r3)，B=（P1*P2^-1)^-1 * A * (P1*p2^-1),所以P=P1*p2^-1。