毕业论文的开题报告一般会涉及到题目的研究背景及研究意义等。该公式一般适用于*/∞型数列极限和0/0型数列极限的计算和证明问题。
极限理论是数学分析课程的理论依据，就因为引入极限思想，微积分才有了理论根基，从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此，教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验，谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.1.关于数列极限1.1数列初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数f的定义域是全体正整数集N，则称f：N→R或f（n），n∈N为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列f（n）也可写作a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中a是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.1.2数列的极限的定义定义1设{a}为数列，a为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当n>N时，有|a-a|<？藓，则称数列{a}收敛于a，定数a为数列{a}的极限，并记作a=a.2.关于函数极限2.1x→∞时函数极限定义2设f为定义[a，+∞）在上的函数，A为定数，若对任给的正数？藓，存在正数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<？藓，则称函数当x→+∞时以A为极限，记作f（x）=A.现设f为定义在U（-∞）或U（∞）上的函数，当x→-∞或x→∞时，若函数值无限地接近某定数A，则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限，f（x）=A或f（x）=A.2.2x→x时函数极限定义3（函数极限的？藓-δ定义）设函数f在点x的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A为定数，若对任给的正数ε，存在正数δ（<δ′），使得当0<|x-x|<δ时有|f（x）-A|<0ε，则称函数f当x→x时以A为极限，记作f（x）=A.类似可定义f（x）=A及f（x）=A.3.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，研究二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特殊情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量n只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在，则称x→∞时函数极限存在.同理，因为实数集的稠密性，自变量x会趋近于某个定数x，根据自变量x趋近于x的方向不同又可以分为x点处的左极限和右极限，于是某定点处有三种类型x→x；x→x；x→x函数极限.综上，数列是特殊的函数，正因为数列作为函数的特殊性，使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质，收敛数列的所有性质都具有整体性；而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为，还要真正学透极限，一定要从本质上研究导致他们不同的原因，相同的理论完全可以通过类比的方式学习，而学习的重点应该放在二者的不同上，弄懂有什么不同，为什么不同，只有懂得了“为什么”，才能真正学懂相应知识.
生命无极限生命本是一泗清泉，只有勇于拼搏的人才能尝出它的甘洌。在奥运场上，四年一次的舞台，给了他们生命的展示。如果说只有冠军才能有王者的风韵。那么，这变是人类史上最大的遗憾。多少年来，人们为着同一个目标努力着。可是，金牌，只有一个，然而想拥有它的人，却有一群。但在我的心里，登上奥运战场，他们，便是王者。也许为了这最后的胜利，他们付出了毕生的努力，他们为了成功，牺牲了最动人的年华。我国的竞走运动员，为了奥运，离开了她仅4个月大的女儿。墙上多少个"正"字才能换回与女儿的相见一面。那是一种穿心的痛，作为一个母亲她将自己献给了体育。面对窗外出升的新月，却只能孤独地想象，我的亲人在哪儿，他们是否也在念挂着我。可是，为了奥运，我要拼搏，即使是最后一名，跑道上也要留有我的身影。留想奥运，那是一种拼搏的精神。 生命本是一米阳光，只有把握住机会的人才能体会它的灿烂。最后一枪，是扣人心弦的，也就是这最后一枪，改变了人一生的命运，最后一枪，使全世界知道了杜丽的名字。在最后一枪之前，还有0。6环的差距。可是对手没有把握住。杜丽，你赢了！奥运，是懂得怎样把握住机会的竞技场。 生命本是那坚硬的石头上的一颗小水珠，只有永不放弃的人才能拥有水滴石穿之时。21：23，在前三局中国以1：2败与俄罗斯，这是至关重要的一局，如果输了，中国只能跟金牌擦身而过。许多人不想看到女排一败涂地的结局，纷纷转换了频道。然而，上帝在创造女排姑娘之前，为她们安装了一颗永不服输的心。就是这颗坚韧的心，陪着女排姑娘们度过了最艰难的一关。窗外发出一阵激烈的掌声。我知道，我们一定是赢了。是她们，顶着巨大的压力，在大比分落后的情况下，挽回了致命的一局。我注意到了这样一个镜头：在拦网过程中，李婷摔倒，她用双拳向地面使劲地一锤，是啊，每一分对于她们来说是多么重要。李婷站了起来，重新开始了她的征途。当时，我是用一颗感恩的心来看待这些姑娘的。感恩，感谢你们为祖国添加了本届奥运会第一枚团体金牌；感恩，感谢教练的微笑，给了她们莫大的支持；感恩，感谢上苍赐予她们一颗永不言弃的心。今天，是感恩节。是奥运健儿为我们带来了胜利的曙光，使自豪填满我们的胸膛。 在人生的旅途中，有太多的也许，也许曾经得到，也许就这样错过。蓦然会首中，依旧不变的，是一颗无悔的心。他们选择了体育，从此就等待希望。他们没有后悔，哪怕放弃拥有。他们创造了太多的奇迹，那是生命的真谛，那是生命的根源：生命无极限！
极限理论是数学分析课程的理论依据，就因为引入极限思想，微积分才有了理论根基，从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此，教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验，谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.1.关于数列极限1.1数列初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数f的定义域是全体正整数集N，则称f：N→R或f（n），n∈N为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列f（n）也可写作a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中a是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.1.2数列的极限的定义定义1设{a}为数列，a为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当n>N时，有|a-a|<？藓，则称数列{a}收敛于a，定数a为数列{a}的极限，并记作a=a.2.关于函数极限2.1x→∞时函数极限定义2设f为定义[a，+∞）在上的函数，A为定数，若对任给的正数？藓，存在正数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<？藓，则称函数当x→+∞时以A为极限，记作f（x）=A.现设f为定义在U（-∞）或U（∞）上的函数，当x→-∞或x→∞时，若函数值无限地接近某定数A，则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限，f（x）=A或f（x）=A.2.2x→x时函数极限定义3（函数极限的？藓-δ定义）设函数f在点x的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A为定数，若对任给的正数ε，存在正数δ（<δ′），使得当0<|x-x|<δ时有|f（x）-A|<0ε，则称函数f当x→x时以A为极限，记作f（x）=A.类似可定义f（x）=A及f（x）=A.3.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，研究二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特殊情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量n只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在，则称x→∞时函数极限存在.同理，因为实数集的稠密性，自变量x会趋近于某个定数x，根据自变量x趋近于x的方向不同又可以分为x点处的左极限和右极限，于是某定点处有三种类型x→x；x→x；x→x函数极限.综上，数列是特殊的函数，正因为数列作为函数的特殊性，使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质，收敛数列的所有性质都具有整体性；而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为，还要真正学透极限，一定要从本质上研究导致他们不同的原因，相同的理论完全可以通过类比的方式学习，而学习的重点应该放在二者的不同上，弄懂有什么不同，为什么不同，只有懂得了“为什么”，才能真正学懂相应知识.
根据heine定理，函数极限数列极限是可以转化的：f（x）一>a（x一>xo）的充要条件为对任何以xo为极限的数列xn！xn不等于xo，都有f（xn）一>a（n一>无穷）
极限理论是数学分析课程的理论依据，就因为引入极限思想，微积分才有了理论根基，从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此，教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验，谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.1.关于数列极限1.1数列初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数f的定义域是全体正整数集N，则称f：N→R或f（n），n∈N为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列f（n）也可写作a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中a是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.1.2数列的极限的定义定义1设{a}为数列，a为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当n>N时，有|a-a|<？藓，则称数列{a}收敛于a，定数a为数列{a}的极限，并记作a=a.2.关于函数极限2.1x→∞时函数极限定义2设f为定义[a，+∞）在上的函数，A为定数，若对任给的正数？藓，存在正数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<？藓，则称函数当x→+∞时以A为极限，记作f（x）=A.现设f为定义在U（-∞）或U（∞）上的函数，当x→-∞或x→∞时，若函数值无限地接近某定数A，则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限，f（x）=A或f（x）=A.2.2x→x时函数极限定义3（函数极限的？藓-δ定义）设函数f在点x的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A为定数，若对任给的正数ε，存在正数δ（<δ′），使得当0<|x-x|<δ时有|f（x）-A|<0ε，则称函数f当x→x时以A为极限，记作f（x）=A.类似可定义f（x）=A及f（x）=A.3.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，研究二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特殊情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量n只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在，则称x→∞时函数极限存在.同理，因为实数集的稠密性，自变量x会趋近于某个定数x，根据自变量x趋近于x的方向不同又可以分为x点处的左极限和右极限，于是某定点处有三种类型x→x；x→x；x→x函数极限.综上，数列是特殊的函数，正因为数列作为函数的特殊性，使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质，收敛数列的所有性质都具有整体性；而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为，还要真正学透极限，一定要从本质上研究导致他们不同的原因，相同的理论完全可以通过类比的方式学习，而学习的重点应该放在二者的不同上，弄懂有什么不同，为什么不同，只有懂得了“为什么”，才能真正学懂相应知识.
材料二：极限 在高等数学中，极限是一个重要的概念。 极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。 首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1
函数的导数表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度。利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）。为了应用导数研究函数在区间上的变化性质，先要熟悉微分学的中值定理。1． 中值定理微分学中有费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理。拉格朗日定理 如果函数 满足：（ⅰ）在闭区间 ， 上连续；（ⅱ）在开区间 ， 内可导，则在 ， 内至少存在一点 ，使或由图3容易理解，当函数 满足（ⅰ）、（ⅱ），即 是条连续曲线并且在 ， 内的每点处有切线时，那么在曲线上（只要把弦AB平行移动）至少有一点P（在图中是 ），使得曲线在该点处的切线与弦AB平行，也就是说，P点处的切线斜率 和弦AB的斜率 相等。需要注意的是，拉格朗日定理并没有给出求 值的具体方法，它只是肯定了 值的存在，并且至少有一个。如图3中的函数 ，在 ， 有 与 两个。拉格朗日定理的意义是：建立了函数 在区间 ， 上的改变量 与函数在区间 ， 内某一点 处的导数之间的关系，从而为用导数去研究函数在区间上的性质提供了理论基础。2． 用导数研究函数的性质为了使论述方便，我们将使用记号 和 ，它们分别表示开区间 ， 和闭区间 ， 。现在我们利用导数来研究函数的单调性。设函数 在 上连续，在 上可导。如果函数 在 上单调增加，那么，它的图形是一条沿 轴正向上升的曲线，如图（a）所示，这时曲线上各点的切线斜率大于等于零（ ）；如果函数 在 上单调减少，那么，它的图形是一条沿 轴正向下降的曲线，如图（b）所示，这时曲线上各点的切线斜率小于等于零（ ）。由此可见，函数的单调性与其导数的符号有着密切的联系。反过来，我们是否可以有导数的符号来判定函数的单调性呢？一阶导数的符号在 上任取两点 、 ，其中 < ，在区间[ ， ]上应用微分中值定理，得到（ < < ）有上式可见，若 ， ，就有 ，于是 ， ， 在区间 上单调递增。同理可以说明 在区间 上单调递减。由此我们可以归纳出函数单调性的判别法。设 在区间 上连续且在区间 上可导，则（1） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为递增函数；（2） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为递减函数。（3） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为常数。此外，导数的绝对值告诉我们变化率的大小。当 绝对值较大时，函数曲线就陡峭一些； 绝对值较小时，函数曲线就平坦一些。记住这些，你就可以从一个函数的导数情况判断出函数的一些性态。曲线的上下凹性设 在某一区间内可微，一阶导数告诉我们，如果在某一区间内 ，那么 在该区间式递增的；如果在某一区间内 ，那么 在该区间式递减的。如果 在某一区间内递增，则它的函数曲线向上弯曲或称为上凹，如果 在某一区间内递减，则它的函数曲线向下弯曲或称为下凹。当 向上弯曲时，曲线切线的斜率随着 增加而增加，如图所示；当 向下弯曲时，曲线切线的斜率随着 增加而减少， 点 为函数 的拐点，即函数曲线在区域内点 的左边向上凹，在点 的右边向下凹，它是曲线由向上凹变为向下凹的分界点。二阶导数的符号函数曲线的向上凹或向下凹、曲线的拐点可以用函数的二阶导数来确定。设 在区间 上连续且在区间 上可导，则（1） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为递增函数，函数曲线上凹；（2） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为递减函数，函数曲线下凹。局部极值性我们说 在点 达到极大值，指的是在 的领域内 为最大，如图所示。 在点 处达到极大值，虽然 = 在整个图像中不是最大，它只是在点 领域内为最大，另一个最大值是B= ，它只是函数在区间[ ， ]端点 的函数值，而 = 则是整个图像的最大值。同样， 在点 达到极小值，指的是在 的领域内 为最小，如图所示。 在点 处达到极小值，虽然 = 在整个图像中不是最小，它只是在点 领域内为最小，另一个最小值是A= ，它只是函数在区间[ ， ]端点 的函数值，而 = 则是整个图像的最小值。函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果 是函数 的一个极大值（或极小值），那只是就点 附近一个局部范围来说， 是函数 的一个极大值（或极小值），如果就函数 整个定义域来说， 不见得是函数 极大值（或极小值）。我们在微分中值定理一节曾经提到，如果函数 可导，并且点 是它的极值点，那么点 必定是它的驻点，但是函数的驻点未必是它的极值点。如函数 ，点 =0是它的驻点，但是在 内函数 是单调增加的，所以点 =0不是它的极值点，可见，函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它不可导点处也可能取得极值，如函数 在点 =0处不可导，但是在该点取得极小值。最大值与最小值在前面讨论极值的基础上我们进一步讨论函数在一个区间上的最大值与最小值的求法。最大值与最小值的应用很广泛，人们做任何事情，小到日常用具的制作，大至生产科研和各类经营活动，都要讲究效率，考虑怎样以最小的投入得到最大的产出，这类问题在数学上往往可以归纳为求某一函数在某个区间内的最大与最小值的问题。现在设函数 在闭区间 ， 上连续，在开区间 ， 可导，根据闭区间上连续函数的性质可知，函数 在闭区间 ， 的最大值、最小值必定存在；其次，如果最大值或最小值在开区间 ， 内的某一点 取得，那么这个最大值或最小值 必定是函数 的一个极大值或极小值。于是，点 必定为函数 的驻点；最后，函数 的最大值或最小值也可能是在 或 处取得。我们通过一个例子来看一看最大值或最小值的求法过程。例5 求函数 在闭区间 ， 上的最大值与最小值。
极限 在高等数学中，极限是一个重要的概念
第28卷 第12期 湖北广播电视大学学报 Vol.28, No.12 2008年12月 Journal of HuBei TV University December. 2008, 159～160 探讨洛必达法则求解极限 林清华 （福州教育学院，福建 福州 350001） [内容提要] 极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终。本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨，针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法；利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式，充分体现了洛必达法则应用的广泛性，给求极限提供了强有力的工具。 [关键词] 极限；归结原则；洛必达法则；等价无穷小；泰勒公式；对数恒等式变换 [中图分类号] G42 [文献标识码] A [文章编号] 1008-7427（2008）12-0159-02 极限是初等数学与高等数学接壤部分，是高数中最基本的概念。导数、微积分等都是建立在极限概念的基础上，因此熟练掌握求极限的方法，对于学习后继课程至关重要。洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一而且应用广泛，本文就此方法进行探讨。 一、洛必达（L’Hospital）法则 定理1 若函数f和g满足 =0；（2）在点x的某空心邻域Uo(x)两者都（1）limf(x)= 00limg(x) x→x0 x→x0 归结原则的意义在于把数列极限归结为函数列{x}极限都存在且相等。 n数极限问题来处理，但事实上函数极限的求解可以使用具有厚实理论基础的洛必达法则，所以我们常常间接地应用洛必达法则求数列未定式，把大多数数列极限转化为函数极限来求解。 存在，那么. 推论 若 x→+∞ limf(x) limf(n)=limf(x) n→∞ x→+∞ 例1：（华中师范大学，1996年）求极限： n2. n→∞2nlim （3）可导，且g′(x)≠0； f(x)f′(x) =lim=Ag(x)x→x0g(x) x→x0 lim f′(x) =Ag(x) （A可为实数，也可为±∞或∞），则 。 分析：若按数列求极限的方法技巧来求解，将会比较繁琐，考虑 到函数极限x2存在，且如果使用洛必达法则，则会比较容易求解， limx→∞2故根据推论1，先求 x→x0 lim 定理2 若函数f和g满足（1）limf(x)=limg(x)= x→x0 ∞；（2） x→x0 x→x0 解：因为 在点 且g′(x)≠0；（3）x0的某空心邻域Uo(x0)两者都可导， lim f(x)f′(x) =lim=Ag(x)x→x0g(x) x→∞ lim x2，在根据归结原则有limn＝x2. limlimn→∞2x→∞2x→∞2x ，所以n2＝0. x22x2 lim 2=lim x→∞ 2 2ln2 =lim x→∞ 2(ln2)1 =0 n→∞ 2 lim f′(x) =Ag(x) 例2：求lim a→∞ 解:原式=limnn
极限理论是数学分析课程的理论依据，就因为引入极限思想，微积分才有了理论根基，从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此，教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验，谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.1.关于数列极限1.1数列初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数f的定义域是全体正整数集N，则称f：N→R或f（n），n∈N为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列f（n）也可写作a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中a是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.1.2数列的极限的定义定义1设{a}为数列，a为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当n>N时，有|a-a|<？藓，则称数列{a}收敛于a，定数a为数列{a}的极限，并记作a=a.2.关于函数极限2.1x→∞时函数极限定义2设f为定义[a，+∞）在上的函数，A为定数，若对任给的正数？藓，存在正数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<？藓，则称函数当x→+∞时以A为极限，记作f（x）=A.现设f为定义在U（-∞）或U（∞）上的函数，当x→-∞或x→∞时，若函数值无限地接近某定数A，则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限，f（x）=A或f（x）=A.2.2x→x时函数极限定义3（函数极限的？藓-δ定义）设函数f在点x的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A为定数，若对任给的正数ε，存在正数δ（<δ′），使得当0<|x-x|<δ时有|f（x）-A|<0ε，则称函数f当x→x时以A为极限，记作f（x）=A.类似可定义f（x）=A及f（x）=A.3.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，研究二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特殊情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量n只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在，则称x→∞时函数极限存在.同理，因为实数集的稠密性，自变量x会趋近于某个定数x，根据自变量x趋近于x的方向不同又可以分为x点处的左极限和右极限，于是某定点处有三种类型x→x；x→x；x→x函数极限.综上，数列是特殊的函数，正因为数列作为函数的特殊性，使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质，收敛数列的所有性质都具有整体性；而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为，还要真正学透极限，一定要从本质上研究导致他们不同的原因，相同的理论完全可以通过类比的方式学习，而学习的重点应该放在二者的不同上，弄懂有什么不同，为什么不同，只有懂得了“为什么”，才能真正学懂相应知识.
有5种方法，如下：
（1）利用洛必达法则与等价无穷小代换对抽象函数的00型极限可得结论：设当x→x0时f（x）与g（x）为无穷小,g（x）～（x-x0）β,取k为正实数,使得fk（x）=A（x-x0）α＋o[（x-x0）α]。
其中A〉0,α≥2,β〉0为实数,则有limx→x0f（x）g（x）=1.该方法对求常见的00型极限都适用.当使用洛必达法则求li mx→x0f（x）g（x）很复杂时,使用该方法可简化计算.
（2）因式分解法，约去零因式，从而把未定式转化为普通的极限问题。
（3）如果分子分母不是整式，而且带根号，就用根式有理化的方法，约去零因子。
（4）考虑应用重要极限的结论，从而把问题转化，可以很容易求解。
（5）如果满足等价无穷小代换条件，那么就可以用代换无穷小的方法求解。
扩展资料：
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，
都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
（5）广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，等等。
运算法则：设 ， 存在，且令 ，则有以下运算法则：
加减：
数乘：
（其中c是一个常数）
乘除：
( 其中B≠0 )
幂运算：
参考资料：极限（数学术语）_百度百科
求函数的极限，需要分析函数在极限点处的行为。这可以通过使用定义、极限定义、或者某些特殊函数的性质来完成。例如，对于函数 f(x)，假设我们想要求出它在 x=a 处的极限。我们可以使用以下方法：定义法：对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，|f(x) - L| < ε。这意味着，当 x 足够接近 a 时，f(x) 就会足够接近 L。极限定义：当 x 足够接近 a 时，f(x) 就会足够接近 L。这是极限的定义，但是它并不告诉我们如何去计算极限。特殊函数的性质：对于一些常见的函数，例如幂函数、对数函数、三角函数等，我们可以使用它们的性质来求解极限。例如，对于函数 f(x)=x^2，我们可以使用定义法求出它在 x=0 处的极限：设 L=0，对于任意 ε > 0，我们可以设 δ=ε。当 0 < |x - 0| < δ 时，|f(x) - L| = |x^2 - 0| = |x^2| = x^2。由于 x^2 > 0，所以 x^2 < ε，当 x 足够接近 0 时，f(x) 就会足够接近
极限理论是数学分析课程的理论依据，就因为引入极限思想，微积分才有了理论根基，从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此，教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验，谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.1.关于数列极限1.1数列初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数f的定义域是全体正整数集N，则称f：N→R或f（n），n∈N为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列f（n）也可写作a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中a是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.1.2数列的极限的定义定义1设{a}为数列，a为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当n>N时，有|a-a|<？藓，则称数列{a}收敛于a，定数a为数列{a}的极限，并记作a=a.2.关于函数极限2.1x→∞时函数极限定义2设f为定义[a，+∞）在上的函数，A为定数，若对任给的正数？藓，存在正数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<？藓，则称函数当x→+∞时以A为极限，记作f（x）=A.现设f为定义在U（-∞）或U（∞）上的函数，当x→-∞或x→∞时，若函数值无限地接近某定数A，则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限，f（x）=A或f（x）=A.2.2x→x时函数极限定义3（函数极限的？藓-δ定义）设函数f在点x的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A为定数，若对任给的正数ε，存在正数δ（<δ′），使得当0<|x-x|<δ时有|f（x）-A|<0ε，则称函数f当x→x时以A为极限，记作f（x）=A.类似可定义f（x）=A及f（x）=A.3.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，研究二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特殊情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量n只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在，则称x→∞时函数极限存在.同理，因为实数集的稠密性，自变量x会趋近于某个定数x，根据自变量x趋近于x的方向不同又可以分为x点处的左极限和右极限，于是某定点处有三种类型x→x；x→x；x→x函数极限.综上，数列是特殊的函数，正因为数列作为函数的特殊性，使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质，收敛数列的所有性质都具有整体性；而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为，还要真正学透极限，一定要从本质上研究导致他们不同的原因，相同的理论完全可以通过类比的方式学习，而学习的重点应该放在二者的不同上，弄懂有什么不同，为什么不同，只有懂得了“为什么”，才能真正学懂相应知识.