秩为一的矩阵毕业论文

迹为1，说明矩阵的特征值和为1；秩为1，说明矩阵的任意两行或两列都线性相关；可表示为A=a×b‘的形式，其中a,b为列向量；还可得到0是n-1重特征值，其中n为矩阵的阶数；再结合迹为1的性质，可得另外一个特征值是1

在考研数学线性代数中，秩为1的矩阵具有特殊意义，往年常考察其相关知识点。其一是秩为 1 矩阵的特征值，特征值的计算是一个基本考点，其计算方法很多，包括：根据特征值的定义进行计算、由特征方程计算、利用特征值的各种性质进行计算，这些方法都是求特征值的基本方法，同学们需要熟练掌握，但这些方法只是针对一般矩阵的普遍方法，而对于一些特殊矩阵，有时采用一些特殊的方法或技巧则可以更灵活、更有效地解决问题。下文将对秩为1的特殊矩阵的特征值的计算方法做些分析，并提供典型例题供大家参考。其二是秩为1矩阵是否能相似对角化，知道结论可以秒出结果。其三是将秩为1矩阵拆为两列向量的乘积，在很多大题中常会用到。秩为1 的矩阵的特征值分析若 n n n 阶矩阵 A = ( a i i ) A=\left( a_{ii} \right) A=(a ii​ ) 的秩为 1，则 A A A 的特征值为λ 1 = λ 2 = ⋯ λ n − 1 = 0 \lambda _1=\lambda _2=\cdots \lambda _{n-1}=0λ 1​ =λ 2​ =⋯λ n−1​ =0当 ∑ i = 1 n a i i ≠ 0 \sum_{i=1}^n{a_{ii}}\ne 0 ∑ i=1n​ a ii​ ​ =0 时，0为 A A A 的 n − 1 n-1 n−1 重特征值；当 ∑ i = 1 n a i i = 0 \sum_{i=1}^n{a_{ii}}=0 ∑ i=1n​ a ii​ =0 时，0为 A A A 的 n n n 重特征值。这个结论可以用不同的方法证明（需要重点掌握）证：法1（方程组法）若 R ( A ) = 1 R(A)=1 R(A)=1 ,则 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的基础解系含 n − 1 n-1 n−1 个线性无关解向量，由于 A x = 0 = 0 ⋅ x Ax=0=0 \cdot x Ax=0=0⋅x，所以这 n − 1 n-1 n−1 个线性无关的解向量都是属于特征值0的特征向量，因此0至少是 A A A 的 n − 1 n-1 n−1 重特征值。设 λ 1 = λ 2 = ⋯ λ n − 1 = 0 \lambda _1=\lambda _2=\cdots \lambda _{n-1}=0 λ 1​ =λ 2​ =⋯λ n−1​ =0，则由特征值的性质 λ 1 + λ 2 + ⋯ λ n − 1 + λ n = ∑ i = 1 n a i i \lambda _1+\lambda _2+\cdots \lambda _{n-1}+\lambda _n=\sum_{i=1}^n{a_{ii}} λ 1​ +λ 2​ +⋯λ n−1​ +λ n​ =∑ i=1n​ a ii​ 得： λ n = ∑ i = 1 n a i i \lambda _n=\sum_{i=1}^n{a_{ii}} λ n​ =∑ i=1n​ a ii​ 。由此可知：当 ∑ i = 1 n a i i ≠ 0 \sum_{i=1}^n{a_{ii}}\ne 0 ∑ i=1n​ a ii​ ​ =0 时，0为 A A A 的 n − 1 n-1 n−1 重特征值；当 ∑ i = 1 n a i i = 0 \sum_{i=1}^n{a_{ii}}=0 ∑ i=1n​ a ii​ =0 时，0为 A A A 的 n n n 重特征值.法2（特征方程法）若 R ( A ) = 1 R(A)=1 R(A)=1 ，则 A A A 的列向量组的秩为 1，不妨设 A A A 的第一列为 α = ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) T ≠ 0 ( a 1 ≠ 0 ) \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T} \neq 0 \quad\left(a_{1} \neq 0\right) α=(a 1​ ,a 2​ ,⋯,a n​ ) T ​ =0(a 1​ ​ =0)，则其它列均可由 α \alpha α 线性表示，于是 A A A 可表示为：A = ( b 1 α , b 2 α , ⋯   , b n α ) = α β T A=\left(b_{1} \alpha, b_{2} \alpha, \cdots, b_{n} \alpha\right)=\alpha \beta^{T} A=(b 1​ α,b 2​ α,⋯,b n​ α)=αβ T ，其中 b 1 = 1 , β = ( b 1 , b 2 , ⋯   , b n ) T b_{1}=1, \quad \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T} b 1​ =1,β=(b 1​ ,b 2​ ,⋯,b n​ ) T∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 1 b 1 − a 1 b 2 ⋯ − a 1 b n − a 2 b 1 λ − a 2 b 2 ⋯ − a 2 b n ⋮ ⋮ ⋮ − a n b 1 − a n b 2 ⋯ λ − a n b n ∣ |\lambda E-A|=\left|λ−a1b1−a2b1⋮−anb1−a1b2λ−a2b2⋮−anb2⋯⋯⋯−a1bn−a2bn⋮λ−anbn\right|∣λE−A∣= ∣∣∣∣∣∣∣∣∣​ λ−a 1​ b 1​ −a 2​ b 1​ ⋮−a n​ b 1​ ​ −a 1​ b 2​ λ−a 2​ b 2​ ⋮−a n​ b 2​ ​ ⋯⋯⋯​ −a 1​ b n​ −a 2​ b n​ ⋮λ−a n​ b n​ ​ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣​ = ∣ λ − a 1 b 1 − a 1 b 2 ⋯ − a 1 b n − a 2 a 1 λ λ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ − a n a 1 λ 0 ⋯ λ ∣ =\left|λ−a1b1−a2a1λ⋮−ana1λ−a1b2λ⋮0⋯⋯⋯−a1bn0⋮λ\right|= ∣∣∣∣∣∣∣∣∣​ λ−a 1​ b 1​ − a 1​ a 2​ ​ λ⋮− a 1​ a n​ ​ λ​ −a 1​ b 2​ λ⋮0​ ⋯⋯⋯​ −a 1​ b n​ 0⋮λ​ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣​ = λ − ∑ i = 1 n a i b i − a 1 b 2 ⋯ − a 1 b n 0 λ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ =λ−∑ni=1aibi0⋮0−a1b2λ⋮0⋯⋯⋯−a1bn0⋮λ= λ−∑ i=1n​ a i​ b i​ 0⋮0​ −a 1​ b 2​ λ⋮0​ ⋯⋯⋯​ −a 1​ b n​ 0⋮λ​ = λ n − 1 ( λ − ∑ i = 1 n a i b i ) =\lambda^{n-1}\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)=λ n−1 (λ− i=1∑n​ a i​ b i​ )故： λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ n − 1 = 0 , λ n = ∑ i = 1 n a i b i \lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n-1}=0, \lambda_{n}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} λ 1​ =λ 2​ =⋯=λ n−1​ =0,λ n​ =∑ i=1n​ a i​ b i​ 由于 A = ( a i b j ) = ( a i i ) , A=\left(a_{i} b_{j}\right)=\left(a_{i i}\right), A=(a i​ b j​ )=(a ii​ ), 所以 a i i = a i b i , a_{i i}=a_{i} b_{i}, a ii​ =a i​ b i​ , 故 λ n = ∑ i = 1 n a i b i = ∑ i = 1 n a i i \lambda_{n}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} λ n​ =∑ i=1n​ a i​ b i​ =∑ i=1n​ a ii​ 由此可知 , , , 当 ∑ i = 1 n a i i ≠ 0 \sum_{i=1}^{n} a_{i i} \neq 0 ∑ i=1n​ a ii​ ​ =0时, 0 为 A A A 的 n − 1 n-1 n−1 重特征值 ; ; ; 当 ∑ i = 1 n a i i = 0 \sum_{i=1}^{n} a_{i i}=0 ∑ i=1n​ a ii​ =0 时 , 0 , 0 ,0 为 A A A 的 n n n 重特征值。秩为1矩阵的其他重要结论若 A n × n , A_{n \times n}, A n×n​ , 且 r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1矩阵 A A A 都可以拆成两向量乘积，即 A = α β T A=\alpha \beta^{T} A=αβ T ，其中 α \alpha α 和 β \beta β 为非零列向量A n = α β T α β T ⋯ α β T = ( β T α ) n − 1 ⋅ A , A^{n}=\alpha \beta^{T} \alpha \beta^{T} \cdots \alpha \beta^{T}=\left(\beta^{T} \alpha\right)^{n-1} \cdot A, A n =αβ T αβ T ⋯αβ T =(β T α) n−1 ⋅A, 令人惊喜的是 β T α = tr ⁡ ( A ) = ∑ i = 1 n a n \beta^{T} \alpha=\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{n} β T α=tr(A)=∑ i=1n​ a n​ 若 tr ⁡ ( A ) = ∑ i = 1 n a n ≠ 0 , \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{n} \neq 0, tr(A)=∑ i=1n​ a n​ ​ =0, 则矩阵 A A A 可相似对角化，否则不可相似对角化

例如二阶矩阵1 22 4.

迹为1,说明矩阵的特征值和为1；秩为1,说明矩阵的任意两行或两列都线性相关；可表示为A=a×b‘ 的形式,其中a,b为列向量； 还可得到 0是n-1重特征值,其中n为矩阵的阶数；再结合迹为1的性质,可得另外一个特征值是1秩为1的矩阵才有这个性质,那个6是矩阵主对角线上元素之和 再答： 这样的矩阵可以表示为一个列向量与一个行向量的乘积这它的n次幂经由结合律就可得到结论、，也就是一个矩阵与另一个矩阵相乘后，新矩阵的秩一定不大于原矩阵。怎么证明呢，结合线性结合线性方程组的有解性来进行证明的，AB=C，已经说明了AX=C是有解的，而线性方程组的有解性与矩阵的秩的关系说明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大于等于C的秩，再将此矩阵两边转置，再根据线性方程组的解与矩阵的秩间关系同理可得A的秩大于等于C的秩.当我们学习了与线性表示有关的系统性理论后对这个定理会有更直观的理解。2、矩阵左乘列满秩矩阵后新矩阵的秩与原矩阵的秩一样，此结论希望引起大家重视，此结论就是同济大学第五版70页的例9，大家可以参照此过程。3、给出一个关于矩阵的秩的一般性的结论，