数学的哲学之美论文范文

我发现了数学之美一年级的时候，妈妈给我报了一个数学兴趣班，目的是让我在数学方面超过同学，让老师更加喜欢我。 上了兴趣班以后，我开始广泛接触数学，习题也做了不少。渐渐地，我感到做题很辛苦，但是我并没有放弃继续上数学兴趣班，而是发现了数学那种特有的美。 四年级时，我开始接触奥数题。 奥数可比一般的计算题那多了。有一次，我做题时遇到一道题，非常难，这是一大属于划船问题的奥数题。我琢磨了半天，绞尽脑汁也不知道该怎么做，就决定问老师。经过老师一点拨，我恍然大悟，原来这道题的解法这么简单呀，我怎么没有绕过这个弯呀。从此以后，我做题时又多了一份认真。 有两种题是“数图形”和“数线段”。刚刚接触时，我常常数的头晕眼花，令我头疼。那一段儿时间，我天天诅咒它们快点消失。过了几天，老师讲了这两种题的简便计算公式：（点数-1）×点数÷2. 用这个公式来计算这一类型的题，比我以前用的笨方法不知快了多少，而且正确率也提高了好多好多倍呢！ 慢慢的，我便不满足于现状，我不再是那只等着妈妈喂食的小鸟，我开始自己去寻食，自己在数学的海洋里探索，去研究那一个个令人棘手的问题，去寻找更高的目标，在蔚蓝的天空自由自在的翱翔。 每当我克服了一道道难关，我的心里就会荡漾起幸福的涟漪，每当这时，心中总有一种成就感在我心中流过，那是一种甜蜜的滋味。 是的，是数学那独特的美吸引着我，引领我在数学的世界里遨游，如果没有它，我就不会爱上数学，更不会数学那么痴迷。 我发现了数学之美。

在数学的哲学中，直觉主义可谓引起引起了现代学术思想的一次革命。数学与哲学的关系一是人们谈论的问题。以下是我整理的数学与哲学的论文的相关资料，欢迎阅读!

摘要：在数学哲学中，直觉主义可谓引起引起了现代学术思想的一次革命。虽然直觉主义可以追溯到康德，甚至柏拉图。然而，它是近现代的，20世纪前20年，它作为一个独立的数学哲学思潮而闻名。它是逻辑学哲学中的一次风暴逆袭，是经典数学的有力挑战者。直觉主义强调“构造”，出发于“心智”。直觉主义把整个自然数论视为整个数学的基础，直觉主义拒绝排中律和反证律，抵制实无穷而推崇潜无穷。随着计算机的产生和发展，直觉主义在数字构造中起到了积极的应用。同时，直觉主义对数学哲学的创新 教育 等方面都有着不可忽视的影响。

关键词：数学哲学 直觉主义 传统逻辑 布劳威尔

一、 “存在必须是被构造”——直觉主义的产生

直觉(intuition)一词意为未经充分逻辑推理的，直观的，直接领捂事物本质的思考。与H.柏格森、B.克罗齐、E.胡塞尔等人的直觉主义不同，我们这里所研究的“直觉”并不是指主体对于客观事物的一种直接把握能力，而是指思维的本能上的一种心智活动。在这里，直觉主义提倡的直觉，并非辩证唯物主义的“直观的感觉”，其本意是“先验的心智构造”，以此为出发点，形成了对数学对象“存在性”与“可构造性”等同的要求。[1]直觉主义哲学是一种反理性主义的唯心主义哲学思潮。数学研究中的构造主义是一种有关数学基础的观点，它主张自然数及其某些规律和 方法 ，特别是数学归纳法，是可靠的出发点， 其它 一切数学对象和理论都应该从自然数构造出来。[2]“存在必须是被构造”，这是直觉主义派最著名的 口号 。也因此，直觉主义是一种构造逻辑。直觉派认为，数学中的概念和方法都是必须可以被构造的，非构造性的证明不是直觉主义者能接受的。在数学领域中，集合论悖论的问题不可能通过对已有的数学作某种局部的修改和限制加以解决，而必须依靠一些可信的标准对已有的数学进行全面的审视和改造。直觉主义认为逻辑依赖于数学,而非数学依赖逻辑。数学建立在直觉的基础上。同时，直觉主义认为哲学、逻辑甚至计数等概念都比数学复杂得多,不能作为数学的基础,数学的基础需要更简单、更直接的概念,它就是直觉,直觉是心智的一项基本功能。[3]一位直觉主义数学家阿伦特·海廷(Arend Heyting)在他的论文《数学的直觉主义基础》中指出：“立即处理数学的构造也许是符合直觉主义者的积极态度了。这个构造的最重要基石是一(unity)的概念，它是整数序列所依赖的构造原则。整数必须作为单位(units)来看待，这些单位仅仅由于在这个序列中的位置而相互区别。”[4]61

直觉主义者认为，数学的基础在于数学直觉，在他们看来，建立在数学直觉之上的理论能使“概念和推理十分清楚地呈现在我们面前”，即“对于思想来说是如此的直接，而其结果又是如此的清楚，以致不再需要任何铸的什么基础了”(A·黑丁:《直觉主义导论》)。任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同，因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者，这是不正确的;不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种;但它不是唯一的一类。直觉主义的基本哲学立场是，数学是人类心智“固有”的一种创造活动，是主体的自身的活动，而不是对外在的描述.数学概念是一种自主的智力活动的结果，智力活动则是研究自明定律所支配的思想构造。[5]

二、颠覆传统逻辑，形式主义的逆袭——直觉主义的特点

直觉主义不承认实无穷，拒绝实际无穷的抽象。也就是说，它不考虑像所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学上存在着潜无穷与实无穷之争，就如同哲学上存在着唯物主义与唯心主义之争。而且必将长时间的持续的争论不休。数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。按照全称和条件量词的标准直觉主义，一个证明就是这样的潜无穷结构，这可能是合理的。(达米特《直觉主义逻辑的哲学基础》)[4]142按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。很显然，直觉主义支持潜无穷的观点，即把无穷集合看成无限延伸着的序列。

直觉主义反对排中律，这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。排中律和同一律、矛盾律并称为形式逻辑的三大基本规律。传统逻辑首先把排中律当作事物的规律，意为任一事物在同一时间里具有某属性或不具有某属性，而没有其他可能。排中律同时也是思维的规律，即一个命题是真的或不是真的，此外没有其他可能。例如，说A 或 B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。但是，对于排中律, A 或 非 A, 是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否命题。

直觉主义主要对抗的是形式主义。多个世纪以来，对数学规律的无懈可击的精确性的信念的依据是数学哲学研究的主要对象。直觉主义表示，精确性存在于人类心智之中，形式主义者认为，存在于纸面上。[4]90

直觉主义具有非逻辑性和整体性。数学直觉是作为逻辑的对立面而介定的一种认识方法,因此非逻辑性是数学直觉的最主要特性。可以说数学直觉的其他特性都是由它的非逻辑性所决定的,这是许多哲学家、科学家的共同见解。[6]直觉主义认为，数学是心灵的创造活动，心灵是丰富的，逻辑则是贫乏的。因此，坚决不能用贫乏的逻辑规则来全面准确地规划丰富的心灵活动。直觉主义的另一位代表人物阿伦特?海廷(Arend Heyting)说：“逻辑属于应用数学”。在对于直觉主义整体性上，一个日本数学家有如下精辟的解释：当一个人已经长期而持续地从事了研究并已成为一个完全成熟的研究人员时,他就已经在自己的头脑中形成了一种相对稳定的知识体系。经过他自己的努力,这种知识体系已被综合成为一种特殊的,确定的形式。而且自己综合的工作当然本身就是一种极有价值的 经验 。[7]

彭加勒在《数学中的直觉和逻辑》一文中写道：

哲学家告诉我们，纯逻辑永远也不能使我们得到任何东西;它不能创造任何新东西，任何科学也不能仅仅从它产生出来。在某种惫义上，这些哲学家是对的;要构成算术，像要构成几何学或构成任何科学一样，除了纯逻辑之外，还需要其他东西。为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词。可是，在这同一谕后，潜藏着多少不同的意思呢?比较一下这四个公理:(1)等于第三个最的两个量相等;(2)若一定理对数1为真，假定它对N为真，如果我们证明它对N+1为真，则它对所有整数均为真;(3)设在一直线上，C点在A与B之间，D点在A与C之间，则D点将在A与B之间;(4)通过一个定点仅有一条直线与已知直线平行。所有这四个公理都归之于直觉，不过第一个阐明了形式逻辑诸法则中的一个法则;第二个是真实的先验综合判断，它是严格的数学归纳法的基础;第三个求助于想象:第四个是伪定义。直觉不必建立在感觉明白之上;感觉不久便会变得无能为力。[8]

值得注意的是，直觉主义不是神秘主义。直觉的“不可解释性”并不等于直觉的“神秘性”，尽管直觉是“不可解释”的，但它却有着确定的本质。我们认为，直觉是认识过程中的一种飞跃，因此它就不是一种经验的认识，而是原来的思想路线的中断，不可能按照通常的 思维方式 ，用结论和推理的环节把它连接起来，所以直觉是“不可解释的”。[9]

三、从Kant到Dummett，直觉主义派的主要人物及其思想

伊曼努尔·康德(Immanuel Kant, 1724-1804)，从某种意义上来说，直觉主义是由哲学家康德开始的。1755到1770年，康德在哥尼斯堡大学教物理和数学，他认为我们所有的感觉都来自于一个预先假定的外部世界。虽然这些感觉不能提供任何知识，但是被感知到的物体间相互作用就产生了知识。心智将这些感觉梳理清楚，得到对空间和时间的直觉。康德说，感性直觉有两个纯形式，它们是先天知识的原则，这两个纯形式就是空间和时间。空间是外直觉的纯形式，而时间是内直觉的纯形式，它们都不是从外邻经验得来的，而是必然的、先天的观念。空间和时间不是客观存在的，而是心智的创作。心智理解经验，经验唤醒心智。虽然康德的思想有着直觉主义的影子，但是依旧没有直观地提出直觉主义，就数学基础的方法而言，直觉主义是现代的。[10]

亨利·彭加勒(常译作庞加莱，Henry Poincare，1854-1912)，当代语境中的数学直觉主义的先驱。后人评价为数学哲学与当代数学直觉主义之间的一座桥梁。逻辑主义对于数学基础的理解是虚幻的。它使数学失去基础。然而数学的基础是存在的，它就是我们的直觉。它赋予数学以意义，从而给数学以对象。彭加勒指明了一座(本来就)架在人类精神和数学存在之间的桥梁，那便是我们的数学直觉。[11]彭加勒主张自然数是最基本的直觉，认为数学归纳法是一种包含直观的思维方法，是不能简单地归结为逻辑的。他主张使用有限个词能定义的概念，主张数学对象的可构造性。他还在另一种意义上理解和强调数学直觉，将其看做选择和发明的工具。彭加勒认为，我们有多种直觉。然而，最重要的可以归结为两类：一是“纯粹直觉”，即他通常所说的“纯粹数的直觉”、“纯粹逻辑形式的直觉”、“数学次序的直觉”等，这主要是解析家的直觉;二是“可觉察的直觉”，即想象，这主要是几何学家“形”的直觉。对于这两类直觉，他认为都是必要的，各自发挥着不同的作用。他认为，这两类直觉“似乎发挥出我们心灵的两种不同的本能”，它们像“两盏探照灯，引导陌生人相互来往于两个世界”。[12]

布劳威尔(，1881-1966)，直觉主义真正的创始人和奠基人是布劳威尔。布劳威尔在数学上的直觉主义立场来源于他的哲学。1907年他在博士论文《数学基础》中提出直觉主义观点,认为数学的基础是先验的初始直觉。数学是起源于和产生于头脑的人类活动，不存在于头脑之外，因此，是独立于真实世界的。布劳威尔认为数学思维是智力构造的一个过程，它建造自己的天地，独立于经验，并且只受到必须建立于基本的数学直觉之上的限制。[10]布劳维尔发表的《数学基础》表明直觉主义的立场是强调“直觉”，这并不是说否认数学的逻辑性和严谨性,而只是突出直觉、灵感和创造力在数学中的地位。直觉主义者认为数学不仅是最讲究严格性的科学,也是最富有创造性的科学。布劳维尔认为数学的基础是先验的初始直觉,他和他的学生说他们所说的直觉正是人心对于它本身所构造的东西的清晰理解。[13]布劳维尔修改了康德的先验时空学说，放弃了“外直觉的纯形式”的先验时空概念，以适应非欧几何的发展;池把数学的基本直觉建立在“内直觉的纯形式”的先验时间概念的基础之上。[14]布劳威尔还提出了“二·一原则”(tow-oneness)。他认为这是数学的基本直觉。即假设N成立，则N+1成立。这个过程可以无限重复，创造了一切有限序数，因为“二·一原则”的元素之一可以被认为是一个新的“二·一原则”。布劳威尔认为，在这个数学的基本直觉中，联通和分离、连续和离散得到统一，并直接引出了线性连续统的直觉，即“介于”(between)的直觉。(布劳威尔《直觉主义和形式主义》)[4]93

阿伦特·海廷(Arend Heyting，1898-1980)，他是布劳威尔的学生。继承了布劳威尔有关数学直觉主义的思想。他认为，直觉主义是从一定的、多少有点任意的假设出发的。它的主题是构造性的数学思想。这使得它处于经典数学之外。形式主义和直觉主义的差别在于，直觉主义的进行独立于形式化，形式化只能追随在数学构造的后面。逻辑不是直觉主义的立足点，数学构造在头脑中是很直接的，结论也应该是很清楚的，所以不需要任何基础。海廷主张，在描述直觉主义数学时，应当在日常生活中去理解。比如，在注视那边树木时，我确信我看到树木，而实际上光波达到我眼中，使我构造出树木这一信念需要相当的训练。这种观点是自然的。两个人说话，我向你灌输意见，实际制造了空气的震动。这是理论的构造。(阿伦特·海廷《论辩》)[4]77-88

迈克尔·达米特(又译米歇尔·杜麦特Michael Dummett，1925-2011)，当代数学直觉主义学派的代表人物。达米特认为，数学首先是先验的，然后是分析的。达米特曾经从语言学角度和意义理论角度为直觉主义辩护。直觉主义关于数学陈述意义的解释避免了以真概念为核心概念的意义理论的不足，它把说话者关于数学陈述的理解与说话者使用这个陈述的实际能力结合在一起，因此具有很大的优点。从直觉主义关于数学陈述的意义说明出发，达米特提出了以证实为核心概念的新的意义理论的构想。[15]202达米特指出：“对于直觉主义逻辑来说，排中律的双重否定是有效的语义原则，就像二值逻辑认为排中律本身是有效的一样：断言任何陈述既不真也不假是不一致的。”[4]132

四、直觉主义的意义以及合理性

直觉主义对古典逻辑中的排中律和双重否定律等原理中的部分原则以及非构造性的结论持否定态度，也不承认数学中的实无限的对象和方法。数学的历史也表明，数学知识与理论不仅无法脱离对外部世界的永恒的依存关系，而且数学的错误不是通过限制数学，如排斥非构造数学和传统逻辑而得到克服的。数学真理的积累以及对谬误的抛弃是通过数学知识的不断增长和理论的不断完善获得的。一句话、数学的生命在于生生不息的创造过程中。庆幸的是，直觉主义由十其思想体系中某种先天的弱点而末成为数学的统治思想。但也应看到其构造思想的重要价值。[16]123-124可以说，直觉主义学派在本质上是主观和荒谬的，以直觉上的可构造性为由来绝对的肯定直觉派数学是不能真正解决问题的。但是，直觉主义揭示了经典逻辑只具有相对的真理性，在具体的数学工作中具有重要意义。

首先，数学哲学中的直觉主义学派高度认可直觉和个人的创造性思维在科学实践中的作用，推动了现代递归函数论的建立和发展，这无疑对数学的进步起到了很积极的作用。其次，直觉主义者倡导的构造性的能行性的研究方法,促进了人工智能和计算机科学的发展。这种积极探讨可行性方法在计算机数学以及计算机科学中具有重大的现实意义。第三，直觉主义数学哲学的思想方法在素质教育理论研究与实践上，具有宝贵的参考价值。在数学教育中，逻辑的作用很明显，其特征为，从已知知识出发,依据逻辑规则进行推导和演算,一步一步地达到对研究对象的认识。而直觉主义可以跳跃式地认知，虽然能一步得到正确答案，却无法说清楚其中的步骤。直觉主义虽排斥传统逻辑，但与逻辑关系十分密切，对培养良好的数学逻辑观念有着不可忽视的作用。另外，直觉主义有助于培养数学教育中大胆猜测的思维习惯。这种创新和探索精神有利于数学的进步和发展。

参考文献：

[1] 傅敏.直觉主义数学哲学研究及其对数学素质教育的启示[J].西北师范大学学报(自然科学版)，1996(1).

[2] 诸葛殷同.对传统逻辑的有力挑战——评《经典逻辑与直觉主义逻辑》[J].哲学动态，1990(4).

[3] 柯华庆.直觉主义数学哲学的两个阶段[J].学术研究，2005(2).

[4] 保罗·贝纳塞拉夫(美)，希拉里?普特南(美).数学哲学[M].北京：商务印书馆，2003.

[5] 黄秦安.数学哲学与数学 文化 [M].西安：陕西师范大学出版社，1999.

什么是数学美呢？它的本质是什么呢？从国内的研究来看，有这样一些描述：“数学美是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现”，“数学美是数学创造的自由形式”，“数学美是真与善的统一”，“数学美的本质在于序”……等等。 数学美的客观性：即指客观存在于数学领域中的审美对象是不以审美主体是否承认、是否意识到为转移的，尽管因审美主体的主观条件的不同，并不是所有的或特定的数学美都能为审美主体所感知，但这并不能改变这数学美的存在。 数学美的社会性：数学美是一种社会现象，因为数学美是对人而言的。数学家通过数学实践活动（特别是数学理论创造的实践活动），使自己的本质力量“对象化”了，或者说“自然人化”了。所谓的“人化”就是人格化，即自然物具有人的本质的印记，实质上就是社会化。这种社会化的内容正是数学美的内容，它是数学美产生的本原。 数学美的物质性：数学美的内容――人的本质力量必须通过某种形式呈现出来，必需要有附体，数学美的这种形式或附体，即数学美的物质属性。 数学美的宜人性：即数学美形式应该使审美主体感到愉悦。审美主体的愉悦性，一方面自然是由审美主体的心理和生理的原因造成的，另一方面，也是最根本的，还在于对象本身是具有足以引起主体愉悦的属性和条件。简言之，数学美的形式必须与人的认识、人类心灵深处的渴望的本质上相吻合。 首先要提到的当推古希腊时期的毕达哥拉斯，毕达哥拉斯学派第一次提出了“美是和谐与比例”的观点，认为宇宙的和谐是由数决定的，他运用这一美学思想形成了点子数（即形数）理论；并以所谓亲和数与完全数来反映体现宇宙和谐的“亲和”与“完全”。 作为古希腊唯心主义哲学的主要代表人物，柏拉图认为数学的美是一种纯抽象的美，尽管柏拉图的理念世界是抽象的世界，但他却第一次提出了理念世界是“真善美的统一”的见解。 17世纪，笛卡儿所创立的解析几何是数学史上极其杰出的成果，它使几何与代数得到完美的统一，充分揭示了数学的协调美和统一美。 18世纪，该世纪著名数学家欧拉的数学美思想在其《无穷小分析引论》中得到生动的体现，这是一部极其优美的数学专著。 19世纪，有人称19世纪的数学是“革命的数学”，数学美学思想在这一时期也极为活跃，拉普拉斯、高斯、哈密尔顿、黎曼等人在这方面都作出了贡献。 20世纪，数学家们开始自觉地运用数学美学方法，总结数学审美标准，探讨数学发明中的审定心理，其突出代表人物是19世纪末及20世纪初的庞加莱及被誉为“超人的天才”的冯·诺伊曼，还有研究数学领域中的发明心理学的法国著名数学家雅克·阿达玛。 数学美的表现形式 简单性 是数学美的基本表现形式之一。作为反映现实世界量及其关系规律的数学来说，那种最简洁的数学理论最能给人以美的享受。 简单性又是数学发现与创造中的美学因素之一。最简单的例子便是代数运算中之乘法与幂的运算的引进是源于避免重复的加法运算和重复的乘法运算： 统一性 是指部分与部分，部分与整体之间的内在联系或共同规律所呈现出来的和谐、协调、一致。 数学美中的统一性在数学中有很多体现。数学推理的严谨性和矛盾性体现了和谐；表现在一定意义上的不变性，反映了不同对象的协调一致。例如，数的概念的一次次扩张和数系的统一，运算法则的不变性；几何中的圆幂定理是相交弦定理、切、割线定理的统一形式。 对称性 是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。数学形式和结构的对称性、数学命题关系中的对偶性、数学方法中的对偶原理方法都是对称美的自然表现。毕达哥拉斯说：“一切立体图形中，最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”因为这两种形体在各个方向上都是对称的。此外，象正多边形、正多面体、旋转体和圆锥曲线等都给人以完善、对称的美感。在代数中轮换对称式表明了代数式中字母可以互换的对称关系。在数学解题方面，对称方法和反射方法往往使问题解决的过程简捷明快。 秩序性，就其愿意而言，秩序是事物在空间或时间上排列的先后、也可作为层次等等的理解。数学中的“秩序”具有极其重要的、决定性的意义，意大利数学家G·卡雷里认为，“数学是而且将总是一门被看作关系系统的序的科学。当涉及形式时，它从不会与它们的实质有关，而仅仅与这些形式之间可陈述的联系有关。单一元素只能在使之有序化的系统联系之中才得到决定并因而获得意义。” 奇异性，奇异性是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物（思想、方法、理论）所突破，或出乎意料、超乎想象的结果所带来的新颖和奇特。 数学美学方法的特点 1、直觉性，审美直觉是数学直觉中的一种重要类型，数学美学方法主要还是一种受审美直觉所驱动，而作出美学考虑的方法。正因为如此，数学美学方法的成功运用与主体的直觉能力就有很大关系。这一特点也说明，运用它所得到的结论，最终还要通过逻辑方法的检验才能成立。 2、情感性 数学美学方法的运用是建立在审美主体的数学美感之上的，和任何美感一样，人们对于数学的美感也具有强烈的感情色彩。愉悦、平和、明快、困惑、兴趣盎然、心满意足乃至于激动与惊异……数学美学方法总是是伴随着这种种感情体验，这与逻辑方法所具有纯粹理性形成了鲜明的对比。 3、选择性 数学美学方法是自觉地依据美学的考虑来作出选择的方法，它是“非常自足的、美学的、不受（近乎不受）经验的影响。”这种选择性使美学方法并不成为解决数学问题或获得数学发现的具体方法，而是一种确定方向、原则的策略方法。这种选择性是导致数学发现发明的指路灯，因此，它又使数学美学方法具有创造性。 4、评价性 数学美学方法常常表现为对已获数学成果的一种鉴赏与评价，一般来讲，逻辑方法的运用以问题的解决为方法的终结，而美学方法不仅关注问题是否解决，更主要是考虑问题的解决优美？前者着意于数学问题的“真”，后者着意于“真、善、美的统一”。庞加莱指出：“这并非华而不实的作风”，数学发展的历史已表明，美学方法的评价性对于“数学理论的富有成果性”来讲是不可或缺的。 数学美学方法运用的基本途径 1、增强审美自我意识，善于发现数学美因 在数学活动中，活动者的审美意识是客观存在的审美对象在活动者头脑中的能动反映，一般意义上也称为美感。它包括审美兴趣、审美倾向、审美能力、审美理想、审美感受等等。美感尽管表现为主观的，但它最终是来源于数学活动实践，数学中丰富的美的形式和美的因素（简称为美因）是美感产生的客观基础。只有在美因促使主体美感产生的条件下，主体才能作出美学的考虑。因此，善于发现数学美因，“识得庐山真面目”，是运用数学美学方法的前提。 2、在数学审美活动中，注意逻辑方法与直觉方法的结合。 美感的产生一般而言是直觉的，但这并不意味理性思维与审美无关，美学研究表明，理性思维在审美中是有重大作用的（数学审美更是如此）。在数学活动中，发获得真正的审美要，必须把逻辑思维方法与直觉方法结合起来。逻辑思维在数学审美中可以起到规范知觉、想象的趋向作用，前者渗透溶化于后者之中，才使审美感受不是一种初级的感性知觉，或一堆空幻的主观想象，而是对数学对象本质的某种能动的反映。 3、在数学认识、评价及创造过程中，自觉地以数学审美标准作指导。 审美教育的特征 1、和谐性：“和谐”是美学的一条重要的原理。中学数学教学中有许多内容是和谐性教育的好题材，和谐性也有助于开拓解题思路，培养学生解题的能力。 2、形象性：美育是一种形象性的教育，它总是通过审美对象的鲜明形象来诱发和感染教育者的。数学中直观教具、精美图形以及数形转化的方法都能产生审美教育中的形象性。 3、情感性：美育通过审美对象来激发人的审美情感，受教育者将有一定情绪体验，得到一定的情绪陶冶和心理满足，若能通过富有艺术性的教学活动激发起学生情感的涟漪，那无异于为学习添加了催化剂。 4、自由性：美育给人以自由感，人对客观事物的感受只有进入自由境界才能产生美感，因此，在审美教育中，要注意学生心理和生理的发展规律，善于引导和启发。 5、鲜明性：审美教育伴随着情感的激动，使受教育者不知不觉地在心灵中留下鲜明的印象，有时，即使知识被遗忘，而那触动情感的形象，却终生难忘。