二元函数可微毕业论文

还是从定义出发，用极限概念推导可微。证明二元函数在定义域内是连续的。连续是函数可微前提，连续不一定可微，但是可微一定连续。

证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：

1、若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f，且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。

2、证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0,

△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)

=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]

=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y

=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y

=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y

而||≤|α|+|β|,

所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),

即f(x,y)在点M可微。

拓展资料：

1、设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数。

2、且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域.

3、一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy.

4、二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量，可以认为是三维的函数，空间函数。

5、f为定义在点集D上的二元函数.P0为D中的一点，对于任意给定的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P在P0的δ临域和D的交集内,就有|f(P0)-f(P)|<ε,则称f关于集合D在点P0处连续。

6、若f在D上任何点都连续,则称f是D上的连续函数。

参考资料：百度百科-二元函数

建议题主从一元函数可微(也就是可导)的角度来理解这个定义式(首先要记得一点：一元，即x决定y，亦即自变量的变化方向只有一个方向)。我简单说一下我对这个的理解。(以下答案纯手打…)首先一元函数在x处(为了简单理解，以x=0处为例)导数的定义Δy/Δx=lim(Δx->0)(f(0+Δx)-f(0))/Δx=A，(可导的情况下A=f'(0)，是一个常数)--①式，这个意思比较好理解：自变量增加一个增量Δ后，因变量增量与该增量的比值。因为A是常数，这也就意味着，f(0+Δx)-f(0)与Δx(也即Δy与Δx)是同阶无穷小。在这个理解基础上，将①式稍微变换一下，就有了你问题里的''Δy=A×Δx+ο(Δx)''，o(Δx)表示Δx的高阶无穷小(同阶无穷小在无穷级数正项情况下的等价替换里也会用到)。那么按这个理解，就有lim(Δx->0)(f(0+Δx)-f(0)-f'(0)*Δx)/Δx=0--②式。其中f(0+Δx)-f(0)=Δf。之所以②式=0，是因为②式等价于lim(Δx->0)o(Δx)/Δx=0，(分子是分母的高阶无穷小)。(把f'(0)*Δx放到平面坐标系里理解，就是在f(0)处Δx变化下Δf变化的线性部分，这个理解用于后面二元时的类比)，②式也就是f(x)在x=0处可导的定义式。理解了这个式子以后，再来看二元的(首先在空间坐标系里想一下。类比一元。二元，即x,y决定z，亦即自变量的变化方向有两个)。同样为了简化，以x=0，y=0为例。定义里面，分子里的Δf=f(0+Δx,0+Δy)-f(0,0)，这对应②式里的Δf，这个应该好理解，即在空间内的(0,0,f(0,0))坐标点沿x增加一个增量Δ1，再沿y增加一个增量Δ2以后，该空间点的高度与原来位置高度之差。关键是分子后面(这部分理解起来是最抽象的!，因为二元时的偏导数不像一元时的导数，偏导数这个概念不怎么好在图形上表示出来)，既然前面说明了二元时自变量的变化方向有两个，那么这里类比②式，按道理也就要分别减去两个方向上变化的线性部分，而此时Δx，Δy前面的系数，相应用(0,0)在x，y方向上的偏导，这样理解起来也就比较合情合理了，即Δf-(f'x(0,0)*Δx+f'y(0,0)*Δy)。最后再来看分母，②式分母Δx是一元自变量''移动''的距离，那么自然而然，二元时分母也应该是自变量''移动''的距离，前面已经说明了，二元时自变量移动方向有两个，各方向上分别移动Δx，Δy，那么整个的移动距离也就是√((Δx)²+(Δy)²)。综上得到二元条件下f在x=0，y=0处可微的定义式lim(Δx->0,Δy->0)(f(0+Δx,0+Δy)-f(0,0)-(f'x(0,0)*Δx+f'y(0,0)*Δy))/√((Δx)²+(Δy)²)--③式。最后的最后，由于一元可导要求②式=0，所以二元可微理应要求③式=0。(这也就是你图片里的式子)本人考研党，啰啰嗦嗦写了一大堆，不知道好不好理解。如果有高手，还请高手多多指点。如果有帮助，点个赞以示鼓励，谢谢，mua~————————————分割线————————————没想到会有25位同学(会不会大部分都是研友呢hh)点赞，谢谢各位的点赞！答主去年考某211经济类学硕，考的数三，最后123，虽然不是特别好，但是录答主报的学校足够了希望有幸刷到这条答案的研友们，继续肝数学，再苦再累也要坚持下去；希望有幸刷到这条答案的大一大二的学弟学妹们，认真学好高数线代概率论，打好基础大家都加油！————————————分割线————————————最终结果前阵子出来了，突然想到来这里说一下初试第5，总分第4成功录取。ps:答主工科跨考某文科211院校的经济类祝愿刷到这个答案的各位学弟学妹们能够成功上岸！————————————分割线————————————距离21考研不到50天了，我又来了，发现这个回答被赞了近90次(不敢相信)答主我呢，是跨考，二战才上岸因为有几位同学问过我跨考的事，加上我本人是比较热心帮助别人的所以就把自己两年考研的故事大致梳理了一下，放在了自己的“工仲皓”-“李同学的生活碎片”里面，很认真的写了很多（好怕这条回答又被系统删掉啊）其实我也不是有啥目的，因为那边我纯粹是记录自己的生活，几乎没人知道它的存在。

判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系。本文着重分析这四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法。关键词: 二元函数 连续 偏导数 可微 方向导数对于一元函数,可微性比较容易判定。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很清楚的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。首先,对于以一元函数,比较简单,可微一定可导,可导一定可微.对于多元函数：偏导数存在不一定可微,可微一定存在偏导.（还有,偏导数存在时函数不一定连续）二元函数,可微的充要条件是z=f(x,y)在（Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且 {Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0) 其中 k=Δx h=Δy ρ=就是动点和定点的距离,那个式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2

证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：1、若z=f(x,y)在点m(x,y)的某一邻域内存在偏导数f，且它们在点m处连续,则z=f(x,y)在点m可微。2、证明:由于偏导数在点m(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0,△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)。=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]。=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y。=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y。=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y。而||≤|α|+|β|,所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在点m可微。