酉空间的应用毕业论文

定义：设V是复数域上的线性空间,在V上定义一个二元复函数,称为内积,记作 , 具有性质： 1. , 为 的共轭复数 2. 3. 4. 是非负实数,且 这样的线性空间称为酉空间 例：在线性空间 中,对向量 , ,定义内积为显然满足定义条件,故 成为一个酉空间 由内积定义 1. 2. 3. 称为向量 的长度,记作 4. ,有 ,当且仅当 线性相关时等号成立 柯西-布涅柯夫斯基不等式 5. 时称 正交或互相垂直 注：酉空间中内积 一般为复数,故向量之间不易定义夹角 6.任一组线性无关的向量可用施密特过程正交化,并扩充为一组标准正交基 7.对n级复矩阵 ,用 表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵,若A满足 ,则称为酉矩阵 注： 1)酉矩阵行列式的绝对值为1 2)两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵 8.若酉空间V的线性变换 满足 ,则称为V的一个酉变换 注： 1)酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵 2)酉变换类似欧氏空间的正交变换 9.若矩阵A满足 ,则称为Hermite矩阵 在酉空间 中令 ,则 注：埃尔米特矩阵类似欧氏空间的对称矩阵 是酉空间, 是子空间, 是 的正交补,则 设 是对称变换的不变子空间,则 也是不变子空间 11.埃尔米特矩阵的特征值为实数,它的属于不同特征值的特征向量必正交 12.若A是埃尔米特矩阵,则有酉矩阵C,使 是对角矩阵 13.设A为埃尔米特矩阵,二次齐次函数称为埃尔米特二次型,有酉矩阵C,当 时