我知道能函授问题明白道理
函数的零点是考纲上要求的基本内容，也是高中新课程标准新增内容之一，是函数的重要性质。接下来我为你整理了浅谈高中数学零点问题，一起来看看吧。
一、求函数的零点
例1求函数y=x2-(x<0)2x-1(x≥0)的零点。
解：令x2-1=0(x<0)，解得x=1，
2x-1=0(x≥0)，解得x=。
所以原函数的零点为和-1和。
点评：求函数f(x)的零点，转化为方程f(x)=0，通过因式分解把方程转化为一(二)次方程求解。
二、判断函数零点个数
例2求f(x)=x-的零点个数。
解：函数的定义域(-∞，0)∪(0，+∞)。
令f(x)=0即x-=0，
解得：x=2或x=-2。
所以原函数有2个零点。
点评：转化为方程直接求出函数零点，注意函数的定义域。
三、根据函数零点反求参数
例3若方程ax-x-a=0有两个解,求a的取值范围。
析：方程ax-x-a=0转化为ax=x+a。
由题知，方程ax-x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=ax与y=a+x 有两个不同的交点，如图所示。
(1)0此种情况不符合题意。
(2)a>1。
直线y=x+a 在y轴上的截距大于1时，函数y=ax与函数y=a+x 有两个不同的交点。
所以a<0与0点评：采用分类讨论与用数形结合的思想。
四、用二分法近似求解零点
例4求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点(精确到0.1)。
解：(1)第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间。
(2)列表如下：
零点所在区间中点函数值 区间长度
(1，2)f(1.5) >0 1
(1，1.5) f(1.25) <00.5
(1.25,1.5) f(1.375) <00.25
(1.375,1.5) f(1.438)>0 0.125
(1.375,1.438) f(1.4065)>0 0.0625
可知区间(1.375，1.438)长度小于0.1，故可在(1.375，1.438)内取1.4065作为函数f(x)正数的零点的近似值。
点评：用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点。当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点。
函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都离不开这几种常用的等价关系：函数y=f(x)有零点?圳方程f(x)=0有实数根?圳函数y=f(x)的图像与x轴有交点.也可拓展为：函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与函数y2=g(x)的图像有交点.
围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：
类型一：函数零点的分布
解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)・f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.
例1：(2013高考数学重庆卷)若aA.(a，b)和(b，c)内
B.(-∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，+∞)内
D.(-∞，a)和(c，+∞)内
解析：由题意a0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)・f(b)<0，f(b)・f(c)<0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.
变式：(高考广东卷、高考山东卷)若函数为f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=-lg(-x)+x+3，已知f(x)=0有一个根为x0，且x0∈(n，n+1)，n∈N*，则n的值为________.
解析：由题意，设x>0，则-x<0，f(-x)=-lgx-x+3=-f(x)，所以当x>0时，f(x)=lgx+x-3在(0，+∞)上是增函数，f(2)<0，f(3)>0，所以x0∈(2，3)，则n=2.
类型二：函数零点的个数
判断函数零点个数可利用定义法，即令f(x)=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数;也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.
例2：(2012高考数学湖北卷)函数f(x)=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析：定义法，令f(x)=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f(x)=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.
类型三：利用函数零点求参数
在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题(如求参数).要解决此类问题常根据函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与y2=g(x)函数的图像有交点.
例3：(2009高考数学山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：
1.构造函数.设函数y=ax(a>0，且a≠1)和函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点， 就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a有两个交点.
2.通过图像描绘题意――将数转化成形.
3.由图像得出结论――将形转化成数.
当时0当时a>1(如图2)，因为函数y=ax(a>1)的图像过点(0，1)，而直线y=x+a所过的点(0，a)在点(0，1)的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f(x)、y=g(x)的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.
数学系张义堂教授声称，他已经解决了兰道·西格尔的零猜测，这引起了数学界的关注。数学的定义在数学中真的很少见，“迟来的大工具”，这是一个罕见的奇迹。成就引起了很多关注，因为数学是一门非常深刻的学科，要在数学上取得成功并不容易，而且要知道写已发表的文章需要更长的时间。许多人同时，由于缺乏耐心，也要放弃一半。
许多人不知道这种猜测有多令人兴奋，简单地说，如果兰道·西格尔的猜测推翻了黎曼的猜测，那么现代数学可能就是一切。数学课涉及的范围非常广泛，黎曼猜测是七种猜测之一物理学领域的伟大猜测，适用于世界上许多数学问题，如果黎曼猜想是一击，那么利用黎曼猜想解决世界数学问题的这一阶段将是一击，这将是所有物理学都是一个根本性的变化。
这是一个令人兴奋的消息，立即让很多人愿意尝试，许多人正在等待张义堂正式发布书面信息，在这个阶段，张义堂只是口头上实现了兰道·西格尔的猜测兰道·西格尔的猜测只是一种黎曼猜测，如果他相信的话，黎曼猜测就是验证。
兰道·西格尔的猜测实际上是零猜测，其本质是证明传统零区域中是否有任何零。黎曼猜测，除1/2的真实部分外，所有非微不足道的零功能都位于平行线上。从零开始。2013年，他在顶级数学杂志上发表了第一篇论文，表明部长们的数量是无限距离的。此后，在双重猜想方面取得了重大进展，震惊了数学界。后来，张义堂在朋友的推荐下，前往新罕布什尔大学数学和统计系担任助教和讲师，教授微积分、代数、质数理论等课程。最后，他回到了在学院的梦想。
这对于数学界带来的意义是非常重大的，一旦这篇论文被证实是真实可行的话，对于数学界也会带来一次巨大的制度，对于一些问题的解决也将会带来非常积极的帮助。
他所完成的论文对于数学界来说就会有一个量级上的飞跃，而且这个工作如果得到证实的话，就会在素数相关核心的问题上面会得到应用。
这是一篇有关“素数定理”的论文。数学界的几大猜想中，“素数猜想”一直饱受质疑，如今张益唐教授终于将其攻破。据《澎湃新闻》报道，日前，美国国家科学院院士、英国皇家学会会士张益唐教授在国际知名学术期刊《Nature Communications》上发表论文，对“素数猜想”这一数学界尚未攻克的难题进行了详尽、系统、深入的研究，该工作在理论上为零点猜想这一世界级数学难题的解答开了一个好头。
此前，张益唐已成功解决了国际同行最难的素数猜想——“阿贝尔奇偶性”、并且证明了该猜想对于数理论界基本问题之一——黎曼猜想是具有重要意义。在国际数学联盟（微分几何领域中最具权威的组织）第29届大会上，代表中国学者发表获奖论文《关于素数闭区间1≤ R 0< n> Bi 2-12 a》。
素数猜想，是对数论中素数定义理论、数论和拓扑学基本问题提出的一系列数学问题。它对一般数论、数理逻辑和计算机科学等多个学科具有重大影响。素数猜想由数学家华罗庚于1919年提出，这个问题对数论和微分几何产生了重大影响。这个猜想包括：素数关于每一个数字都是唯一不可变数、素数是唯一有固定数量级或者素数是零点对称性、素数是个整数。
张益唐团队一直认为，阿贝尔奇偶性和“阿贝尔奇奇性”不能同时被证明。因此，研究人员进行了长达12年的讨论。“这项研究不仅将证明素数闭区间1≤ R 0< n> Bi 2-12 a≤ R 0< n> Bi 2-12 a的性质，还将这些发现扩展到与素数闭区间1≤ R 0< n> Bi 2-12 a相邻的四个非平凡素数闭区间，并将这些发现与多个素数闭区间中发生的有趣现象联系起来。”研究人员说。
数学作为一门工具性的学科，是高中数学最基础的课程。相应的，数学课程的教学也是教育界一直在关注的重点内容。下文是我为大家搜集整理的关于数学毕业论文参考范文下载的内容，欢迎大家阅读参考! 数学毕业论文参考范文下载篇1 浅析高中数学二次函数的教学方法 摘要：二次函数的学习是高中数学学习的重点，也是难点。师生要一起研究学习二次函数的基本方法，掌握其学习思路和规律，这样才能学好二次函数。 关键词：高中数学;二次函数;教学方法 在高中数学教学过程中，二次函数是非常重要的教学内容。随着教学改革的不断推进，初中阶段的二次函数因为是理解内容，没有纳入到考试内容中去，使高中学生在学习二次函数时有难度。因此，教师在教学这部分内容时，必须注重巩固和复习初中二次函数的内容和知识点，同时采取有效的方法合理地进行二次函数教学，确保获得较高的效率和质量，达到提高高中生数学成绩的目的。 一、加强对二次函数定义的认识和理解 高中数学的二次函数教学主要建立在初中二次函数的知识和定义基础上。在定义和解释二次函数的内容和知识过程中，教师主要利用集合之间相互对应的关系来解释二次函数的定义。因此，高中数学的二次函数教学与初中二次函数教学之间存在本质区别，这就造成了在二次函数教学过程中，学生很难适应和接受二次函数的定义。在高中数学的二次函数教学过程中，教师要根据初中二次函数的内容和定义，引导学生全面透彻地理解二次函数的定义和相关知识，这样才能确保学生学习和掌握更多的函数知识。在二次函数教学的过程中，教师要注重引导学生复习和回顾初中阶段掌握的二次函数知识点以及相关定义，并且与高中数学的二次函数内容相比较，这样学生就能对二次函数的定义、定义域、对应关系以及值域等有更深入的认识和理解。例如，在讲解例题：f(x)=x2+1，求解f(2)、f(a)、f(x+1)的过程中，若学生对于二次函数的定义以及概念有比较清晰的认识和理解，学生就可以看出该题是一个比较简单的代换问题，学生只需要将自变量进行替换，就能求解出问题的答案。但是，在解答这类问题的过程中，教师需要正确引导学生对二次函数的定义和概念加以认识和理解，如在f(x+1)=x2+2x+2中，学生需要认识到该函数值的自变量是x+1，而不是x=x+1。 二、采用数形结合的方式进行二次函数教学 在高中数学的二次函数教学过程中，一种常见的教学方法就是数形结合教学法。在二次函数教学过程中，采用数形结合的教学方法，不仅能够帮助学生更好地理解和掌握二次函数的性质以及图象，同时还有利于解决各种各样的二次函数问题，从而达到培养学生的思维能力以及提高二次函数教学效率的目的。采用数形结合的方式进行二次函数教学，所运用到的图像既能将二次函数的性质变化、奇偶性、对称性、最值问题以及变化趋势很好地反映出来，同时也是学习二次函数解题方法以及有效开展教学的重要载体。所以，教师在二次函数的教学过程中，需采用由浅至深的方式进行教学，合理把握和控制教学的难易程度，在学生了解和熟悉二次函数图像的前提下，帮助学生总结和认识其性质变化，从而达到顺利开展二次函数教学的目的。例如，教师在引导学生绘制二次函数图像的过程中，可以采用循序渐进的方式，通过绘制简单的二次函数图像，帮助学生学习和理解图像性质。如采用描点法绘制二次函数图像f(x)=-x2、f(x)=x2、f(x)=x2+2x+1等。在学习绘制函数图像的过程中，教师还可以设置一些例题，如“假设函数f(x)=x2-2x-1，在区间[a，+∞]中，呈单调递增的变化，求解实数a的取值范围”，或者“已知函数f(x)=2x2-4x+1，且-2 三、采用开发式的教学方式，培养学生的思维能力 在高中数学的二次函数教学过程中，涉及的内容范围广，所占的比例也相对较大。因此，教师在开展二次函数教学的过程中，其涉及的教学方法以及教学思路也非常多，教师需要合理选用教学思路和方法，这样才能有效培养和提升学生的数学能力以及思维能力。例如，在二次函数教学过程中，教师可以通过引导学生求解下列例题，让学生进一步理解和掌握二次函数的定义以及外延，并思考和总结出求解二次函数的思路和方法，以培养和提升学生的数学思维能力。如已知函数y=mx2+nx+c，其中a>0，且f(x)-x=0的两个根，x1与x2满足0 参考文献： [1]高红霞.高中数学二次函数教学方法的探讨[J].数理化解题研究，2015(11). [2]郗红梅.例析求二次函数解析式的方法[J].甘肃教育，2015(19). 数学毕业论文参考范文下载篇2 浅谈高中数学教学对信息技术的应用 摘要：为了提高高中数学的教学质量与丰富数学教学内容，将原有的知识点进行整合，使得学生更容易接受相关知识，文章提出了信息技术在高中数学教学中的应用策略：以信息技术为基础，丰富课堂教学内容;以信息技术为支点，优化教学过程;利用信息技术，让学生养成探索的习惯。 关键词：信息技术;高中数学;教学 信息技术在当下社会的发展给教学带来了许多改变，不仅使得教学变得更为高效，同时还令教学的内容变得丰富多彩。因此，随着信息技术在教学中的应用越来越广泛，教师就要对于这种教学模式进行探究，让教材与信息技术可以在进行授课的时候有效结合。只要是做好了以上的内容，就可以将高中数学与信息技术有机地结合到一起，以此推动数学教学的全面发展。从另一方面来说，信息技术也从另一个角度丰富了课堂内容，让学生可以从更多的方面来接触并了解数学中相关的知识与内容。从而使得学生可以养成多方面思考的习惯，让创新精神在他们的心底萌芽。 一、以信息技术为基础，丰富课堂教学内容 学习是一件非常枯燥的事情，驱使学生进行学习的动力是对于未知事物探索的兴趣。高中数学尤为如此，因为数学是一门理论性的学科，因此在学习的过程中，肯定会涉及到一些比较抽象的知识。对于这些抽象的知识，学生在学习起来多少都会有点困难，并且会影响学生的学习积极性。那么面对高中数学的学习，教师如何缓解并改变这一现状呢?目前比较好的办法就是将数学教学与信息技术进行结合，利用信息技术的多样化以及对丰富内容的获取能力，来为学生提供更多、更好的信息内容，供学生理解与学习。多媒体可以将声音、图片、甚至是视频都集中整合起来，立体直观地将数学中的抽象知识展现给学生。并且以此来激发学生的学习兴趣，除此之外，教师利用信息技术可以让课程变得更有层次感，让学生在学习的过程中减少疲劳的感觉。比如，教师在讲解各种函数曲线及其特性的时候，就可以利用多媒体动画的方式，向学生展现相关的函数知识。通过直观的表现，学生可以轻松地理解各种函数对应的图像以及相关的变化，在今后的学习过程中，会更为熟练地运用这些知识。 二、以信息技术为支点，优化教学过程 数学是一门自然科学，它的理论都是源自我们身边的生活。因此，在教学的过程中，教师要根据知识不断地引入实例，让学生可以更好地了解所学的知识。在高中的教材中，对于知识来说，理论知识已经非常丰富，但是对于实例的列举就显得不足。那么学生在学习的时候，理解起这些枯燥的定理与公式就显得非常吃力。这就是因为教材忽略学生的学习能力，编写得太过于理论化，因此就需要教师利用多媒体的优势，来为学生搜集一些关于实际应用数学知识的例子，来让学生了解并掌握其中的规律。这样有利于培养学生的思维与抽象能力，有助于他们今后解决问题时具有明确的思路。比如，在学习概率这一部分的知识时，学生很难联想到生活中相关的事情，教师可以搜集一些类似于老虎机、彩票甚至是其他的一些生活中博彩类性质的事情让学生进行了解。然后带领学生根据其规则进行计算，让学生了解到概率知识在生活中的运用，使学生认识到赌博的坏处。 三、利用信息技术，让学生养成探索的习惯 学习对于学生来说，不是教师的任务，而是每个人自己的事情。学生作为学习的主人，应当对学习具有一定的主导性。在日常的学习中，由于枯燥的内容以及过于逻辑性的思考，会使得学生丧失对于学习的乐趣与动力。正确的教学应当是教师进行适当的引导，让学生可以在他们的好奇心以及兴趣的驱使下自由地进行学习，充分地满足他们的爱好。只有这样，才能最大程度地发挥他们的主观能动性。而将信息技术应用于高中数学，正是给学生搭建了一个这样的平台，让学生可以更好地接触到大量的数学知识以及数学理念。同时，在网络上，各种优质的教学录像比比皆是，学生如果对于某个知识点有疑问，可以随时在网络上进行查看。这对于知识的探索与掌握有着很大的帮助。此外，利用信息技术与网络的优势，还可以让学生在进行资料与问题查询的过程中，养成良好的动手与动脑习惯，不再单单地依靠教师来进行解答，而是学会尝试用自己的方式来找到答案，这对学生的自主探究能力产生了一种提升作用。同时，由于结论是学生自己得到的，那么印象自然非常深刻。总之，信息技术在高中数学教学中的应用，是一件一举多得的事情，不仅可以改变高中数学枯燥的教学环境，而且能充分调动学生的学习积极性，让学生在学习的同时还能了解到更为广泛的信息与其他知识，并且可以激励学生对于疑难问题进行自主探索，提高了他们动手动脑的能力，并且也提高了教学质量。 参考文献： [1]唐冬梅,陈志伟.信息技术在高中数学学科教学中的应用研究文献综述[J].电脑知识与技术,2016(18):106-108. [2]傅焕霞,张鑫.浅议信息技术与高中数学教学有效整合的必要性[J].科技创新导报,2011(35):163. [3]王继春.跨越时空整合资源:信息技术与高中数学教学的有效整合[J].中国教育技术装备,2011(31):135-136. [4]崔志.浅析新课程标准的背景下信息技术在高中数学教学中的应用[J].中国校外教育,2014(10):93. 猜你喜欢： 1. 关于数学的论文范文免费下载 2. 数学系毕业论文范文 3. 数学本科毕业论文范文 4. 数学文化的论文免费下载 5. 大学数学毕业论文范文
数学系张义堂教授声称，他已经解决了兰道·西格尔的零猜测，这引起了数学界的关注。数学的定义在数学中真的很少见，“迟来的大工具”，这是一个罕见的奇迹。成就引起了很多关注，因为数学是一门非常深刻的学科，要在数学上取得成功并不容易，而且要知道写已发表的文章需要更长的时间。许多人同时，由于缺乏耐心，也要放弃一半。
许多人不知道这种猜测有多令人兴奋，简单地说，如果兰道·西格尔的猜测推翻了黎曼的猜测，那么现代数学可能就是一切。数学课涉及的范围非常广泛，黎曼猜测是七种猜测之一物理学领域的伟大猜测，适用于世界上许多数学问题，如果黎曼猜想是一击，那么利用黎曼猜想解决世界数学问题的这一阶段将是一击，这将是所有物理学都是一个根本性的变化。
这是一个令人兴奋的消息，立即让很多人愿意尝试，许多人正在等待张义堂正式发布书面信息，在这个阶段，张义堂只是口头上实现了兰道·西格尔的猜测兰道·西格尔的猜测只是一种黎曼猜测，如果他相信的话，黎曼猜测就是验证。
兰道·西格尔的猜测实际上是零猜测，其本质是证明传统零区域中是否有任何零。黎曼猜测，除1/2的真实部分外，所有非微不足道的零功能都位于平行线上。从零开始。2013年，他在顶级数学杂志上发表了第一篇论文，表明部长们的数量是无限距离的。此后，在双重猜想方面取得了重大进展，震惊了数学界。后来，张义堂在朋友的推荐下，前往新罕布什尔大学数学和统计系担任助教和讲师，教授微积分、代数、质数理论等课程。最后，他回到了在学院的梦想。
函数的零点等价于对应方程的根，计算方法主要是解方程。对区间上的可导函数而言，函数的极值点是导函数的变号零点，这时极值点的计算方法是先求导，再求导函数的零点，再讨论零点两侧的导数符号，最后结论。所以要经历求导运算，解方程，解不等式等。对于区间上的不可导函数而言，函数的极值可能存在，因而极值点存在。往往用初等方法。需讨论。例如y=|x|,因为y=|x|≥0，当且仅当x=0时，y min=0.所以极值点x=0.亲，以上是提供，供参考。您可以发散一下，并举些具体例子。必要时把零点和极值点的定义加进去。
函数的零点是考纲上要求的基本内容，也是高中新课程标准新增内容之一，是函数的重要性质。接下来我为你整理了浅谈高中数学零点问题，一起来看看吧。
一、求函数的零点
例1求函数y=x2-(x<0)2x-1(x≥0)的零点。
解：令x2-1=0(x<0)，解得x=1，
2x-1=0(x≥0)，解得x=。
所以原函数的零点为和-1和。
点评：求函数f(x)的零点，转化为方程f(x)=0，通过因式分解把方程转化为一(二)次方程求解。
二、判断函数零点个数
例2求f(x)=x-的零点个数。
解：函数的定义域(-∞，0)∪(0，+∞)。
令f(x)=0即x-=0，
解得：x=2或x=-2。
所以原函数有2个零点。
点评：转化为方程直接求出函数零点，注意函数的定义域。
三、根据函数零点反求参数
例3若方程ax-x-a=0有两个解,求a的取值范围。
析：方程ax-x-a=0转化为ax=x+a。
由题知，方程ax-x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=ax与y=a+x 有两个不同的交点，如图所示。
(1)0此种情况不符合题意。
(2)a>1。
直线y=x+a 在y轴上的截距大于1时，函数y=ax与函数y=a+x 有两个不同的交点。
所以a<0与0点评：采用分类讨论与用数形结合的思想。
四、用二分法近似求解零点
例4求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点(精确到0.1)。
解：(1)第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间。
(2)列表如下：
零点所在区间中点函数值 区间长度
(1，2)f(1.5) >0 1
(1，1.5) f(1.25) <00.5
(1.25,1.5) f(1.375) <00.25
(1.375,1.5) f(1.438)>0 0.125
(1.375,1.438) f(1.4065)>0 0.0625
可知区间(1.375，1.438)长度小于0.1，故可在(1.375，1.438)内取1.4065作为函数f(x)正数的零点的近似值。
点评：用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点。当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点。
函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都离不开这几种常用的等价关系：函数y=f(x)有零点?圳方程f(x)=0有实数根?圳函数y=f(x)的图像与x轴有交点.也可拓展为：函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与函数y2=g(x)的图像有交点.
围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：
类型一：函数零点的分布
解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)・f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.
例1：(2013高考数学重庆卷)若aA.(a，b)和(b，c)内
B.(-∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，+∞)内
D.(-∞，a)和(c，+∞)内
解析：由题意a0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)・f(b)<0，f(b)・f(c)<0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.
变式：(高考广东卷、高考山东卷)若函数为f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=-lg(-x)+x+3，已知f(x)=0有一个根为x0，且x0∈(n，n+1)，n∈N*，则n的值为________.
解析：由题意，设x>0，则-x<0，f(-x)=-lgx-x+3=-f(x)，所以当x>0时，f(x)=lgx+x-3在(0，+∞)上是增函数，f(2)<0，f(3)>0，所以x0∈(2，3)，则n=2.
类型二：函数零点的个数
判断函数零点个数可利用定义法，即令f(x)=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数;也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.
例2：(2012高考数学湖北卷)函数f(x)=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析：定义法，令f(x)=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f(x)=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.
类型三：利用函数零点求参数
在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题(如求参数).要解决此类问题常根据函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与y2=g(x)函数的图像有交点.
例3：(2009高考数学山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：
1.构造函数.设函数y=ax(a>0，且a≠1)和函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点， 就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a有两个交点.
2.通过图像描绘题意――将数转化成形.
3.由图像得出结论――将形转化成数.
当时0当时a>1(如图2)，因为函数y=ax(a>1)的图像过点(0，1)，而直线y=x+a所过的点(0，a)在点(0，1)的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f(x)、y=g(x)的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.
我知道能函授问题明白道理
如果你的学术生涯中遇到这样的论文，相信你会感到惊讶。这是来自美国加州大学洛杉矶分校的数学家张益唐博士带领团队完成，他们证明了其为Landau-Siegel零点猜想。这一“中国人”这是全世界华人数学家向全世界发出的祝贺之声！此前，张益唐团队曾获得数个重要的成果及论文。
该论文从理论到应用证明了该猜想是数理逻辑的“基石”，其重要性将影响人类对数学问题的解决以及知识获取。其在数学和物理学界引起了广泛的关注。论文引用自美国数学协会(AAA)的统计，张益唐领导的研究团队在一年内向学术界公布了4个Landau-Siegel零点猜想的证明。同时张博士还表示，这些结果对于未来数理逻辑相关领域的研究将产生重要影响并引发全世界数学家向该方向迈进；而对于数学界来说，这也是值得纪念与庆贺的事情。
虽然中国数学家已经为世界数学做出了巨大贡献，但与国际上相比，中国的数学家还很少。近年来，我国取得的杰出贡献在国际上已经越来越受瞩目。特别是在数理逻辑领域上取得杰出的成就，特别是在Landau-Siegel零点猜想上取得突破性进展对整个数理逻辑领域起到极大的推动作用。张益唐获得这一结果显示出他在这一领域中超群精湛的数学水平及卓越的推理能力具有重要意义。
此外与张益唐同在加州大学洛杉矶分校的杨柳岩教授也在今年6月在《数学年刊》上发表了论文，证明了其对零点猜想所做出的工作。张益唐在文章中提到这个猜想是由他的同事们共同努力而得到的结果。我们也希望该论文能够影响到更多人对Landau-Siegel零点猜想提出相关质疑及研究热情。
a^2+b^2>=2*a*b把上面的ax和b/x代进去得到的就是右边的取等号当且仅当a=b，即你提到的ax=b/x
就是y＝ax+b\x 和 y=ax-b\x （a>0,b>0)二者均为奇函数。前者,图像在一、三象限，酷似对勾，有与x轴最近的点，可以叫顶点，不与x轴相交。两点的横坐标分别是 －根号b\a,根号b\a，分为两个增区间，两个减区间。后者，图像与x轴有两个交点，－根号b\a,根号b\a。分为两个增区间
这个东西有现成的么……
对勾函数 的研究下载网址:
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，早在公元前2000年左右，居住在底格里斯河和幼法拉底河的古巴比伦人已经能解一些一元二次方程。而在中国，《九章算术》“勾股”章中就有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？。”之后的丢番图（古代希腊数学家），欧几里德（古代希腊数学家），赵爽，张遂，杨辉对一元二次方程的贡献更大贝祖（Bezout Etienne 1730.3.31~1783.9.27）法国数学家。少年时酷爱数学，主要从事方程论研究。他是最先认识到行列式价值的数学家之一。最早证明了齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。他在其第一篇论文《几种类型的方程》中用消元法将只含一个未知数的n次方程问题与解联立方程组问题联系起来，提供了某些n次方程的解法。他还用消元法解次数高于1的两个二元方程，并证明了关于方程次数的贝祖定理。1086～1093年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。 十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。 十一世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》。 十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。 十一世纪中叶，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。 十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。 1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。 1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。 1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。 1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。 1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。 1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。 1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国 王恂、郭守敬等)。 十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘。 1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”。 1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。 1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。 1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。 1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。 1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。 1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。 1614年，英国的耐普尔制定了对数。 1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。 1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。 1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。 1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。 1638年，意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。 1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。 1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。 1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。 1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。 1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。 1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。 1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。 1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分。 1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。 1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。 1673年，荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线。 1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。 1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。 1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。 1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。 1697年，瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。 1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。 1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。 1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。 1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。 1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。 1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。 1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。 1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。 1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。 1742年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。 1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。 1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。 1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。 1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。 1760～1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。 1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。 1770～1771年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。 1772年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。 1788年，法国的拉格朗日出版了《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。 1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。 1794年，德国的高斯从研究测量误差，提出最小二乘法，于1809年发表。 1797年，法国的拉格朗日发表《解析函数论》，不用极限的概念而用代数方法建立微分学。 1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。 1799年，德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根。 微分方程:大致与微积分同时产生 。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布�6�1贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
正态分布是高斯概率分布。高斯概率分布是反映中心极限定理原理的函数，该定理指出当随机样本足够大时，总体样本将趋向于期望值并且远离期望值的值将不太频繁地出现。高斯积分是高斯函数在整条实数线上的定积分。这三个主题，高斯函数、高斯积分和高斯概率分布是这样交织在一起的，所以我认为最好尝试一次性解决这三个主题（但是我错了，这是本篇文章的不同主题）。本篇文章我们首先将研究高斯函数的一般定义是什么，然后将看一下高斯积分，其结果对于确定正态分布的归一化常数是非常必要的。最后我们将使用收集的信息理解，推导出正态分布方程。 首先，让我们了解高斯函数实际上是什么。高斯函数是将指数函数 exp(x) 与凹二次函数（例如 -(ax^2+bx+c) 或 -(ax^2+bx) 或只是-ax^2组成的函数。结果是一系列呈现“钟形曲线”的形状的函数。 两个高斯函数的图。第一个高斯(绿色)的λ=1和a=1。第二个(橙色)λ=2和a=1.5。两个函数都不是标准化的。也就是说，曲线下的面积不等于1。 大多数人都熟悉这类曲线是因为它们在概率和统计中被广泛使用，尤其是作为正态分布随机变量的概率密度函数。在这些情况下，函数具有的系数和参数既可以缩放“钟形”的振幅，改变其标准差(宽度)，又可以平移平均值，所有这一切都是在曲线下的面积进行归一化(缩放钟形，使曲线下的面积总是等于1)的同时进行的。结果是一个高斯函数包含了一大堆的参数来影响这些结果。 如果将其认为是均值 = μ 且标准差 = σ 的正态分布方程。将其与高斯 λ exp(-ax^2) 的一般形式进行比较，我们可以看到： 前导系数 λ 有时表示为 1/Z，其中 Z=√2πσ 2，正是这样的一个结果将我们带到了本文的主要观点之一：√2πσ 2有时被称为一个自变量的正态分布的归一化常数，而1/√2πσ2则被称为归一化常数。在这两种情况下，公式中都有 π，它是从哪里来的？它通常与圆、径向对称和/或极坐标相关联。单个变量的函数如何以 π 作为其在前导系数中的归一化参数之一呢？ 可以参考我们以前的文章，里面有非常详细的描述 不定积分 ∫ exp(x^2) dx 不可能用初等函数求解。有没有任何积分方法可以用来求解不定积分？ 可以计算定积分，如上所述，首先对高斯函数求平方从而在 x 和 y 中产生一个具有径向对称二维图的两个变量函数。这样能够将直角坐标系转换为极坐标，在此基础上就可以使用更熟悉的积分方法（例如置换）进行积分。然后，简单地取结果的平方根（因为我们在开始时对积分进行平方） 就得到了我们的答案，顺便说一句，结果是是√π。 方法的第一步是对积分求平方——也就是说，我们将一维转换为二维，这样就可以使用多变量微积分的技术来求解积分 可以重写为： 这两个积分用x和y表示是等价的;所以它等同于x的单个积分的平方。因为变量x和y是独立的，所以可以把它们移进或移出第二个积分符号，可以这样写: 如果你不熟悉如何解二重积分也不用担心。只需先使用内部变量进行积分得到单个积分。然后用左边的变量和外面的变量积分。但现在还不需要这么做。这里需要注意的是当我们对积分进行平方时，得到了一个二维的图形化的径向对称的高斯函数。用x和y来表示积分e的指数是- (x 2+y 2)给了我们下一步应该做什么的线索。 这里棘手的部分是，我们必须将直角坐标下的二重积分转换成极坐标下的二重积分。 为了在极坐标中对整个无限区域进行积分，我们首先对 exp(−r²) 相对于从 x=0 开始并延伸到无穷大的半径 r 进行积分。结果是一个无限薄的楔形，看起来像我们原始一维高斯曲线的一半。然后我们围绕旋转轴 Z 轴旋转楔形，并累积无限数量的这些极薄的楔形。也就是说——我们在 π 从 0 到 2π 时积分。 我们现在的二重积分看起来像这样: 我们可以用 r^2 替换指数中的 −(x 2+y 2)，这要感谢毕达哥拉斯。但是我们仍然需要将我们的微分从矩形转换为极坐标。 微分的转换简单的表示如下： 在任何情况下，我们的二重积分现在看起来像这样: 添加适当的积分边界: 如果我们设u=r^2，那么du=2r，我们可以写成(对于内积分) 然后求出外积分: 所以: 我们在下一节求解标准化常数时，这个结果很重要。 现在我们有了推导正态分布函数的所有前提。下面将分两步来做：首先确定我们需要的概率密度函数。这意味着以λ为单位重新转换-a-产生的函数，无论为λ选择什么值，曲线下的面积总是1。然后用随机变量的方差σ^2来转换λ。对整个实数线上的方差进行积分 从而得到我们在前导系数 √2πσ^2 中需要归一化常数的项，也是我们在分母中需要的项指数 2σ^2。我们将使用分部积分来求解方差积分。 我们将从广义高斯函数f(x)=λ exp(−ax^2)开始，正态分布下的面积必须等于1所以我们首先设置广义高斯函数的值，对整个实数线积分等于1 这里将 -a- 替换为 a^2 稍微修改了高斯分布。为什么要这样做？因为它可以使用 换元积分 U-substitution 来解决这个积分。为什么我们可以这样做？因为 -a- 是一个任意常数，所以a^2 也只是一个任意常数，可以使用 U-substitution 求解。让 u=ax 和 du=a dx 这意味着 dx=du/a， 由于 λ 和 1/a 是常数，我们可以将它们移到积分符号之外，得到： 我们从上面关于高斯积分的讨论中知道，右边积分的值等于√π。这样就可以改成： 求解 -a- 可以这样写： 根据已经发现的λ 和 -a- 之间的关系，修改后的高斯下的面积总是等于 1 也是必须的，所以我们可以进一步修改，用 πλ^2 代替 a^2 并写： 无论 λ 的值如何，该曲线下的面积始终为 1。这是我们的概率密度函数。 在获得归一化概率分布函数之前还需要做一件事：必须将 λ 重写为随机变量方差 σ^2 的函数。这将涉及对整个实数线的方差表达式进行积分所以需要采用按分部积分来完成此操作。 如果给定一个概率密度函数 f(x) 和一个均值 μ，则方差定义为从均值平方(x - μ)^2的偏差乘以整个实数线的概率密度函数f(x)的积分: 假设μ=0，因为已经有了概率密度函数h(x)，所以可以写成 用分部积分法求解这个积分有: 第一项归零是因为指数中的x^2项比前一项分子中的- x项趋近于∞的速度快得多所以我们得到 右边的被积函数是概率密度函数，已经知道当对整个实数线进行积分时它的值是1 : 求解 λ 得到： 将 λ 的 1/√2πσ^2 代入我们的修改后的公式（即我们的概率密度函数），我们得到： 剩下要做的就是将平均值 μ 放入指数的分子中，以便可以根据 μ 的值沿 x 轴平移图形： 这样就完成了方程推导 作者 ：Manin Bocss
古代方程发展史中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。 (一)属于算术方面的材料 大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” 和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。 现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。 古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。 小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如13.56作1356 。在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。 宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。 (二)属于代数方面的材料 从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。 “九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。 我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。 十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。 在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。 级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。 历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。 内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。 十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。 就是到十八，九世纪由李锐(1773—1817)，汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。