矩阵秩的性质研究小论文

矩阵秩的性质如下：

1. max[R(A),R(B)]⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B) ，特别的，当 B=b 为非零列向量时，有 R(A)⩽R(A,b)⩽R(A)+1

推导过程：

的最高阶非零子式总是的非零子式同理可知，令，且令，则，和中分别含有个和个非零行从而可知，中最大非零行个数为综上所述，∵A的最高阶非零子式总是(A,B)的非零子式∴R(A)⩽R(A,B)同理可知，R(B)⩽R(A,B)∴max[R(A),R(B)]⩽R(A,B)令，(A,B)→(A′,B′)A→A′B→B′且令，R(A′)=rR(B′)=t则，A′和B′中分别含有r个和t个非零行从而可知，(A′,B′)中最大非零行个数为r+t∴R(A,B)=R(A′,B′)⩽R(A′)+R(B′)=R(A)+R(B)综上所述，max[R(A),R(B)]⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B)

2. R(A+B)⩽R(A)+R(B)R(A+B)⩽R(A+B,B)=R(A,B)⩽R(A)+R(B)

推导过程：

设为矩阵则对矩阵作初等行变换由秩的性质一可知，设A,B为m×n矩阵则对矩阵(A+BB)作初等行变换ri−rm+i(i=1,2,⋯,m/2)∴(A+BB)→r(AB)由秩的性质一可知，R(A+B)⩽R(A+BB)=R(AB)=R(AT,BT)T=R(AT,BT)⩽R(AT)+R(BT)=R(A)+R(B)

3. R(AB)⩽min[R(A),R(B)]

推导过程：

设可知矩阵方程有解根据矩阵方程定理六（矩阵方程有解的充分必要条件是）可知而由秩的性质一可知故，又可知矩阵方程有解根据矩阵方程定理六（矩阵方程有解的充分必要条件是）可知而由秩的性质一可知故，又且综上所述，设AB=C可知矩阵方程AX=C有解X=B根据矩阵方程定理六（矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)）可知R(A)=R(A,C)而由秩的性质一可知max[R(A),R(C)]⩽R(A,C)⩽R(A)+R(C)故，R(C)⩽R(A,C)∴R(C)⩽R(A)又∵(AB)T=BTAT=CT可知矩阵方程BTX=CT有解X=AT根据矩阵方程定理六（矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)）可知R(BT)=R(BT,CT)而由秩的性质一可知max[R(BT),R(CT)]⩽R(BT,CT)⩽R(BT)+R(CT)故，R(CT)⩽R(BT,CT)∴R(CT)⩽R(BT)又∵R(B)=R(BT)且R(CT)=R(C)∴R(C)⩽R(B)综上所述，R(C)⩽min[R(A),R(B)]

4.若 Am×nBn×l=O ，则 R(A)+R(B)⩽n

推导过程：

记又因故即，该方程表明为齐次方程的解设为齐次方程的解集则，故，由秩的定理七可知（定理七：设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的秩），得证

r(AB)与r(A),r(B)的关系小!设A为m*n矩阵;B为n*k矩阵;r(A)=a,r(B)=b;0≤r(AB)≤min(a,b);这与他们是不是N阶矩阵无关!!

行满秩矩阵就是行向量线性无关列满秩矩阵就是列向量线性无关一个矩阵的行秩等于列秩,所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的.