kiss小妮妮
我们可以把线性空间理解成为一个“大空间”。这个空间就像宇宙一样，包含着许许多多的元素，就是这样一个“大空间”，我们把它称为“线性空间”。当然，要描述一个量必须要提到的就是它“最为基础（重要）”的地方，就是其具有亮点比较重要的地方：①对加法和数乘具有封闭性，就是任意在该空间取两个（或者两个以上）向量（也可以理解为该空间的元素，大多数情况下我们选择将其理解为向量），经过数乘和加法运算后得到的新向量还存在于该线性空间中，即得到的结果不可能跳出这个“界限”。②想要描述一个线性空间，我们就必须知道其最为基础也是最为重要的部分，我们称之为“基”。通常情况下准确的说是“基向量组”。就像我们建造房子一样，线性空间比喻为一个“大房子”，而我们将“基向量组”描述为建造这个房子最为重要的“基础材料”，有了这些材料，我们便可以建造起这座房子（注意：这里不将其形象的描述为“地基”，是因为地基确确实实是建造房子的基础，但是我们要求的“基向量组”是需要具有能够构成一切的“元素”），意思就是在确定了“基向量组”后，这座房子的任何部分（all of the house）就都能够被表达出来了。这样，线性空间也就基本上被描述出来了。欢迎追问！
我的大BABY
其实我明白你的意思，其实你就是问数学系的学生这个问题也有一些回答不上来的，能给你说明白的也不多。向你推荐一篇文章“向量理论历史研究”，西北大学一博士的学位论文，李文林指导的。虽然是博士论文，但只要有一定的数学基础的都能看懂。
shirleyxtt00
这个问题并非是线性代数所研究的，而是泛函分析所研究的。当然线性代数也会少量涉及，但是看不到本质。我不知道你所学的向量空间是什么样的。如果是那种n维有序数组的话，那么三角不等式可以直接由cauchy不等式（百度下吧）得到。如果是那种抽象向量空间的话，就是说公理化定义线性空间（百度了解下），那么实际上三角不等式来源于线性赋范空间（百度下吧），线性赋范空间也是公理化定义的，三角不等式实际上是线性赋范空间公理化定义之一，也就是公理。上面你所说到的欧氏空间，也叫做内积空间，也是公理化定义的（如果不是n维有序数组的话）。它建立在线性空间和内积的公理化定义上，同时cauchy不等式也成立（注意这里的cauchy不等式是上面的cauchy不等式的一般情况），然后可以由cauchy不等式导出三角不等式。总之，从抽象角度来说，三角不等式是公理化的产物。实际上，公理化就是为了使得抽象空间和我们真实空间在一定意义上统一。可能上面所讲的比较抽象，但是事实就是这样。有兴趣可以看看泛函分析。里面有很详细的介绍。
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