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相抵;相似;合同;等价类 1 预备知识 2 矩阵的等价关系 2.1 矩阵的相抵关系 定义2.1:如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B,那么称A与B是相抵的。 定理2.1:任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是:1)A、B同型且秩相等;2)存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。 2.2 矩阵的相似关系 定义2.2:对于n阶方阵A、B,若存在一个可逆阵P,使得P-1AP=B,则称A与B相似。 由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件:两边乘的矩阵要互逆,所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件,将A与 B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究,即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。 定理2.2 (1)A与B相似?圳矩阵A能够经过相似变换变成矩阵B ?圳,A与B是同阶方阵且它们有相同的不变因子组 即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。 也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件,两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。 相似矩阵的性质: 矩阵相似,则它们的秩相等,迹相等,行列式相等,特征值相等,特征多项式也相等;它们还有相同的可逆性,且可逆时它们的逆矩阵也相似。 注意,两个同阶方阵如果它们可以对角化(例如实对称矩阵),则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值(或特征多项式相等);否则,同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。 2.3 矩阵的合同关系 定义2.3:对于n阶方阵A、B,若存在可逆阵P,使得PTAP=B,则称 A与B合同。 两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。如果 A是实对称矩阵,则它一定能与对角矩阵合同。但合同一般是对于对称矩阵来说的,n阶对称矩阵必然有n个实特征根。如果两对称矩阵的不为零的特征根数相同,并且正特征根数也相同,那么两矩阵是合同的。反之,如果两矩阵合同的话,那么这两个矩阵不为零的特征根数相同,并且正特征根数也相同。 定理2.3:在复数域上,n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r。 定理2.4:在实数域上,n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r、正惯性指数p、负惯性指数q和符号差s中的任意两个。 注意:合同与二次型有关,同一数域上的二次型与对称矩阵之间一一对应,因此矩阵
水中央1985
A经过一系列初等变换等到B,称A与B等价,也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ,那么AB秩相等.而AB相似是存在可逆阵P使B=P-1AP,由此可见相似的结论强于等价,具有的性质更多了.比如特征值相同,行列式相同
angellingabc
1,等价矩阵的性质:
2,矩阵A和A等价(反身性);
3,矩阵A和B等价,那么B和A也等价(等价性);
4,矩阵A和B等价,矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性);
5,矩阵A和B等价,那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
6,具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解
87,对于相同大小的两个矩形矩阵,它们的等价性也可以通过以下条件来表征:
(1)矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
(2)当且仅当它们具有相同的秩时,两个矩阵是等价的。
扩展资料:
A进行一系列初等变换直到B,则A与B等价,即存在一个逆矩阵PQ,使B=PAQ,则AB秩相同。
AB的相似度是存在,但逆矩阵P使B=P-1ap,所以相似度结论强于等价性。
它们有更多的性质相同的特征值,相同的行列式
等价通常意味着你可以通过初等变换将它转换成另一个矩阵,本质上就是通过与另一个矩阵具有相同的秩。这是一个非常宽泛的条件。它并不适用于很多地方。
A和B很相似,有一个不变矩阵P,使得Pap^-1=B,这是线性代数或高等代数中最重要的关系,高等代数中有一半都在处理这个关系。相似导致等价。
参考资料来源:百度百科-等价矩阵
分块矩阵,求解!授人予鱼不如授人予渔,在《线性代数》的学习中,方法尤为重要。下面就让我们一起解决《线性代数》中令人头痛的——矩阵分块法吧!如果您对——矩阵分块法
相抵;相似;合同;等价类 1 预备知识 2 矩阵的等价关系 2.1 矩阵的相抵关系 定义2.1:如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B,那么称A与B是相抵的
因为在定义的时候并不知道AB=E就意味着BA=E,也就是说矩阵的乘法运算一般不具有交换性,因此AB和BA不一定相等。所以在定义逆矩阵的时候就要求AB和BA都是E
1.用矩阵的初等变换求逆矩阵,解矩阵方程 2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩、向量组的秩、极大线性无关组 3.用矩阵的初等变换解线性方程组 4.用矩阵的初等变换求过
换法变换:交换矩阵两行(列) 倍法变换:将矩阵的某一行(列)的所有元素同乘以数k 消法变换:把矩阵的某一行(列)的所有元素乘以一个数k并加到另一行(列)的对