矩阵的等价关系及应用毕业论文

相抵；相似；合同；等价类 1 预备知识 2 矩阵的等价关系 2.1 矩阵的相抵关系 定义2.1：如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A与B是相抵的。 定理2.1：任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是：1）A、B同型且秩相等；2）存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。 2.2 矩阵的相似关系 定义2.2：对于n阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。 由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件：两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A与 B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究，即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。 定理2.2 （1）A与B相似？圳矩阵A能够经过相似变换变成矩阵B ？圳，A与B是同阶方阵且它们有相同的不变因子组 即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。 也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。 相似矩阵的性质： 矩阵相似，则它们的秩相等，迹相等，行列式相等，特征值相等，特征多项式也相等；它们还有相同的可逆性，且可逆时它们的逆矩阵也相似。 注意，两个同阶方阵如果它们可以对角化（例如实对称矩阵），则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值（或特征多项式相等）；否则，同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。 2.3 矩阵的合同关系 定义2.3：对于n阶方阵A、B，若存在可逆阵P，使得PTAP=B，则称 A与B合同。 两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。如果 A是实对称矩阵，则它一定能与对角矩阵合同。但合同一般是对于对称矩阵来说的，n阶对称矩阵必然有n个实特征根。如果两对称矩阵的不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同，那么两矩阵是合同的。反之，如果两矩阵合同的话，那么这两个矩阵不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同。 定理2.3：在复数域上，n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r。 定理2.4：在实数域上，n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r、正惯性指数p、负惯性指数q和符号差s中的任意两个。 注意：合同与二次型有关，同一数域上的二次型与对称矩阵之间一一对应，因此矩阵