复合函数求导毕业论文

复合函数求导法则如下：

一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)

比如说：求ln(x+2)的导函数

[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】

复合函数求导的步骤:

1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。

2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。

3、相乘：把上述求导的结果相乘。

4、变量回代：把中间变量回代。

主要方法：

先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。

求复合函数的导数注意:

1、分解的函数通常为基本初等函数。

2、求导时分清是对哪个变量求导。

3、计算结果尽量简单。

4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。

5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。

复合函数的求导公式

复合函数如何求导规则：

1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；

2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

定义

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数（composite function)，记为：y=f，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

定义域

若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

周期性

设y=f(u)的最小正周期为T1,μ＝φ（x)的最小正周期为T2,则y=f(μ）的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ＝φ（x)的单调性来决定。

即“增＋增＝增；减＋减＝增；增＋减＝减；减＋增＝减”，可以简化为“同增异减”。

复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′＝f(u)′＊g(x)′

例：

1、y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′＝f(u)′＊g(x)′＝＊(x^3)′＝＊(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]。

2、y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3。

复合函数性质是什么复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

（1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间［g(m)，g(n)] (或［g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f为减函数。

（2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数y=f是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f是偶函数。