数学中换元法毕业论文

就是例如把关于X的蛮烦的式子用Y来替换,简化式子,算出Y后,再算X

把一个未知数（或代数式），换成另一个未知数，叫换元 如x^4+3x²+1=0设y=x²则原方程可化为：y²+3y+1=0

论文？我觉得可以写因式分解中如何将基本解题方法引申至奥赛等级——比如从一些基本公式、方法开始，十字相乘法，换元法，主元法什么的。 顺便再加一点自己的感悟和理解应该会比较好一点。个人意见。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。 换元的种类有：等参量换元、非等量换元（一） 代数换元法例 解方程 —=1解 ：令=t ( t0 )则=1+t于是有： (1)-(2) 得：t = 2 代入（2）得：2x2-3x-2 = 0 解之得：x1 = 2, x2 = -经检验知：x1 = 2和 x2 = -均为原方程的解。例2 求证： （ ）证明：令 y = 则：x2+2 = y2+1从而原式 = 所以 小结：例1小结：通过换元避免了常规解法中两次平方的复杂运算，使问题更加容易解决。此曰：代数换元法。例2通过换元使问题更加明朗。再用均值证明不等式。例3求函数y = sinxcosx + sinx + cosx的值域解： 令 t = sinx + cosx = sin(x+)则 t[] 而 sinxcosx = [(sinx+cosx)2-1] =(t2-1)所以y =(t2-1)+t =(t+1)2-1当t = -1时，ymin = -1当t =时, ymax =+故函数的值域为 [-1，+] 。 （二）常量换元法例4 已知f(x) = 2x5+3x3-x2-4x+12, 求f(1-)的值。解：设1-= x 则x2+2x-1 = 0 ∵ 2x5+3x3-x2-4x+12 = (2x3-4x2+13x-31)(x2+2x-1)+71x-19 = 71x-19 ∴ f(1-) = 71(1-)-19 = 52-71小结：利用常量换元法构造零因子，使计算量大大减小。充分体现常量换元法在解题中的精妙作用。问题推广：例5已知f(x-3) = 2x2+5x-6, 求f(x)的解析式。解：令x-3 = t 则x = t+3把x = t+3代入f(x-3) = 2x2+5x-6 得：f(t) = 2(t+3)2+5(t+3)-6 = 2t2+17t+27所以 f(x) = 2x2+17t+27小结：常量换元法是求函数解析式的常见方法。 （三）比例换元法例6 若== 求证：sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0证明: 设=== 则x=Rtan(θ+α) y=Rtan(θ+β) z=Rtan(θ+γ)sin2(α-β)= 〔cos2(θ+β)-cos2(θ+α)〕sin2(β-γ)= 〔cos2(θ+γ)-cos2(θ+β)〕sin2(γ-α)= 〔cos2(θ+α)-cos2(θ+γ)〕将上述三式相加得：sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0小结：注意题型结构特点，类似比例式子，利用适当换元，通过三角运算，使问题化繁为简，更容易解决。 （四）标准量换元法例7设a1，a2 ，a3，…，a2004均为实数，若a1+a2+a3+…+a2004=2004 …… (1) …… (2)求证：=2004证明：令a1=1+m1, a2=1+m2, a3=1+m3 , …，a2004=1+m2004由（1）式可得：m1+m2+m3+…+m2004=0 …… (3)由（2）式可得(1+m1)2+(1+m2)2+(1+m3)2+…+(1+m2004)2=2004将其展开并将（3）代入，化简得：=0故:m1=m2=m3=m2004=0即:a1=a2=a3=…=a2004=1所以： 小结：例中选“1”作为“标准量”，把a1，a2 ，a3 …a2004都用“1”和辅助量m1,m2,m3, …,m2004表示。此种方法为“标准量换元法”。 （五）三角换元法例8（1）以知x>0,y>0,且，求x+y的最小值 （2）解不等式： 解：（1）设=cos2θ, sin2θ （0<θ<）则x+y==10+tan2θ+9cot2θ≥10+2 tanθ3cotθ=16故：当tanθ=3cotθ 即，此时 x=4 , y=12（x+y）min=16(2) 令x=2sinθ (-) 则不等式化为：2cosθ≥2sinθ解之得：-从而-2≤2 sinθ≤1 即 -2≤x≤1说明：若变量x的取值范围可转化为：-1≤x≤1或-12且n∈N ) 则△ABC为何三角形？为什么？解：∵an+bn=cn 故：令an=cncos2 θ bn=cn sin2θ (0<θ<)从而：a2=c2 b2=c2 ∴a2+b2= c2 (+)>c2()=c2由cosθ=>0 即 ∠C为锐角，又c为最大边故：△ABC为锐角三角形。 （六）增量换元法例11 求证：对任意实数a>1, b>1 有不等式 证明:设a=1+x , b=1+y , x, y∈R 则 =当且仅当 x= y =1 即a = b =2时取等号此题解法为增量换元法。所谓增量换元法就是用相关变量x代换m+t，其中m为恰当的常数，因此严格地说起来，未必一定是增量；另外从本质上讲这种代换仍然是线性的，这样像上面例11中的1-2y=t的基本代换也是线性代换或增量代换。又如：例12求函数f(x)=+的最大值和最小值。解：由 解得 4≤x≤5,即函数的定义域是：4≤x≤5，所以 x是4与5之间的一个变化的量。因此 可设 x = 4+sin2θ (0≤θ≤) , 则f(x) = sinθ+cosθ = 2sin(θ+)当θ =时，f(x)取得最大值2；当θ =时，f(x) 取得最小值1小结：此例既是三角换元法，又属增量换元法。通过换元后转化为三角知识使问题得到了巧妙的解决。 问题的推广：例13 已知实数a1,a2,a3, …,a8满足a1+a2+a3+…+a8=20， a1a2a3…a8=12 求证：a1,a2,a3, …,a8中至少有一个小于1。证明： (反证法) 设a1,a2,a3, …,a8 中没有一个小于1。令 a1=1+t1,a2=1+t2, a3=1+t3 , … , a8=1+ t8 ,t1 ,t2 ,t3 , … , t8≥0 且 t1 +t2 +t3 + … + t8= a1+a2+a3+…+a8-8=12a1*a2*a3*…* a8=(1+t1)(1+t2)(1+t3)…(1+ t8) =1+( t1 +t2 +t3 + … + t8)+ …≥13这与以知a1a2a3…a8=12 相矛盾。 （七）参数换元法例14 已知x2+4y2+8x4+7=0,求x2+y2的最小值且求相应的x、y的值。解：由x2+4y2+8x4+7=0,得：（x+4）2+4y2=9 再变形为： 设 （θ为参数 0≤θ≤2π）则：x2+y2=16-24cos因为：cosθ＜ 所以：当cosθ = 1时，（x2+y2）min= 1, 此时x = -1 y = 0 当cosθ = -1时，（x2+y2）max= 49 , 此时x = -7 y = 0 小结：对于条件是圆锥曲线所对应二元二次方程，同时求两个变量x、y的结构式F(x，y)的最值都可以用参数换元法去解决。 （八）参变量换元法例15 计算 解：设z = 则 z17=-1 z34 =1 同理：原式= = =例16 计算 的值解：令x=＞0 -------(1)对（1）两边平方得：x2==再解方程2x2+5x-3=0,并取正根得：x=,即得解。例17 已知椭圆 = 1，定点A(1,1),若过点A的弦PQ所在直线的方程。 解： ∵ 点A(1,1)是弦PQ的中点， 故 可设P (1-m,1-n), Q (1+m,1+n) ∵ 点P、Q在椭圆 = 1上， ∴ (1)-(2) 得 -4m - 16n = 0 yp 即 A· x Qo ∴直线PQ的斜率为 kPQ = -,故PQ所在直线的方程为：y-1 = -(x-1) , 即： x+4y-5 = 0小结：利用设变量解题，也是换元思想的应用。此题增设未知量，将线段端点坐标与中点坐标之间的关系巧妙地结合起来，使问题思路清晰，过程简单，是换元思想的最佳情界。（九）多元换元法例18若a+b+c=1,求证：a2+b2+c2≥证明：令a=+α b=+β c=+γ则有：α+β+γ=0 又 a2+b2+c2=（+α）2 +（+β）2 +（+γ）2 = +2（α+β+γ）+（α2+β2+γ2）≥ 例19已知 求证：证明：令则题设变为： 由（2）得：由（1）得：（）2 =1即： ∴ 即：小结：由于事物的质和量是有多种因素决定的，如改变其中每一因素就可能产生新的思路，在求解数学问题中，使用的“多元换元法”解题，可以使问题化繁为简，更容易坚决。综上所述，换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。总结解题的规律和技巧，强化思维训练，对提高学生分析问题、解决问题的能力将是十分有益。也能全面提高学生素质，培养和提高学生创造能力。因此，我们更有必要对数学方法进行再认识，全面提高教学质量。

可以从分解的方法上去讨论，或应用上作文章也可，