答辩开场白和结束语如下：
开场白：各位老师，上午好！我是xx专业xx班的xxx，我的毕业设计题目是xxxx。本次毕业设计是在xx老师的悉心指导下完成的，在此我首先要向认真严谨的xx老师表示真挚的敬意和谢意，也向在座的xx老师、xx老师、xx老师等所有老师四年来孜孜不倦的教诲，以及今天不辞辛苦参加我的论文答辩表示衷心的感谢。
下面我将本论文设计的主要内容向各位老师作一汇报，恳请各位老师给予批评与指导。
结束语：在做这个设计的过程中，我尽可能多地收集了一些资料，从中学到了许多有用的东西，也积累了不少经验，但由于自己学识浅薄，认识能力不足，在理解上有诸多偏颇和浅薄的地方，也由于理论功底的薄弱，存有不少逻辑不畅和辞不达意的问题，可能会与老师的期望相差较远，许多问题还有待于进一步思考和探索。
借此答辩机会，万分恳切的希望各位老师能够提出宝贵的意见，多指出这篇论文的错误和不足之处，我将虚心接受，从而进一步深入学习研究，使该设计得到完善和提高。我的介绍完了，谢谢！请各位老师提问。
注意事项
论文答辩小组一般由三至五名、有关专家组成，对文章中不清楚、不详细、不完备、不恰当之处，在答辩会上提出来。
毕业论文答辩的主要目的，是审查文章的真伪、审查写作者知识掌握的深度，审查文章是否符合体裁格式，以求进一步提高。学生通过答辩，让、专家进一步了解文章立论的依据，处理课题的实际能力。这是学生可以获得锻炼和提高的难得机会，应把它看作治学的“起点”。
毕业论文答辩开场白怎么说
毕业答辩是大学生们在大学里的最后一个也是最重要的一个考验，好的开始等于成功了一半，毕业答辩的开场白有着至关重要的作用。毕业论文我特意为大家整理了毕业论文答辩开场白怎么说，希望对您的工作和生活有帮助。
一、答辩问题
1、自己为什么选择这个课题？
2、研究这个课题的意义和目的是什么？
3、全文的基本框架、基本结构是如何安排的？
4、全文的各部分之间逻辑关系如何？
5、在研究本课题的过程中，发现了那些不同见解？对这些不同的意见，自己是怎样逐步认识的？又是如何处理的？
6、论文虽未论及，但与其较密切相关的问题还有哪些？
7、还有哪些问题自己还没有搞清楚，在论文中论述得不够透彻？
8、写作论文时立论的主要依据是什么？
对以上问题应仔细想一想，必要时要用笔记整理出来，写成发言提纲，在答辩时用。这样才能做到有备无患，临阵不慌。
二、答辩技巧
学生首先要介绍一下论文的概要，这就是所谓“自述报告”，须强调一点的是“自述”而不是“自读”。这里重要的技巧是必须注意不能照本宣读，把报告变成了 “读书”。“照本宣读”是第一大忌。这一部分的内容可包括写作动机、缘由、研究方向、选题比较、研究范围、围绕这一论题的最新研究成果、自己在论文中的新见解、新的理解或新的突破。做到概括简要，言简意赅。不能占用过多时间，一般以十分钟为限。所谓“削繁去冗留清被，画到无时是熟时”，就是说，尽量做到词约旨丰，一语中的。要突出重点，把自己的最大收获、最深体会、最精华与最富特色的部分表述出来。
这里要注意：
一忌主题不明；
二忌内容空泛，东拉西扯；
三忌平平淡淡，没有重点。
在答辩时，学生要注意仪态与风度，这是进入人们感受渠道的第一信号。如果答辩者能在最初的两分种内以良好的仪态和风度体现出良好的形象，就有了一个良好的开端。有人将人的体态分解为最小单位来研究（如头、肩、胸、脊、腰等）认为凹胸显现怯懦、自卑，挺胸显示情绪高昂—但过分则为傲慢自负；肩手颈正显示正直、刚强，脊背挺拔体现严肃而充满自信。但过于如此，就会被人看作拘泥刻板保守，略为弯腰有度，稍稍欠身可表示谦虚礼貌。孙中山先生曾说过“其所具风度姿态，即使全场有肃然起敬之心，举动格式又须使听者有安静详和之气”他的这番金玉良言，对我们确实有很大的启发。
一、在听取教师提问时所要掌握的技巧要领是：
沉着冷静，边听边记
精神集中，认真思考
既要自信，又要虚心
实事求是，绝不勉强
听准听清，听懂听明
在回答问题时所要掌握的技巧是构思时要求每个问题所要答的“中心”“症结”“关健”在哪里？从哪一个角度去回答问题最好？应举什么例子来证明？回答问题的内容实质上是一段有组织的“口头作文”。这就要：
一、文章应有论点、论据。
二、有开头主体与结尾。
三、有条理、有层次。
四、应用词确当，语言流畅。
五、应口齿清楚、语速适度。
开头要简洁：单刀直入，是最好的开头，开门见山地表述观点，在答辩中是最好的办法。
主体部份的表述可条分缕析，即把所要回答的内容逐条归纳分析，实际上是对自己掌握的材料由此及彼，由表及里地做整理。这样的表述就不会流于表面，而能深入本质。条分缕析可以把自己掌握的一些实际例子合并，整理成若干条目，列成几个小标题：分成几点，一点一点，一条一条地说出。满碗的饭必须一口一口吃，满肚子的道理也必须一条一条讲出来，环环相扣，条条相连，令人听完后有清楚的印象。
假如在准备的时候已经准备了一个较完整的提纲，那么沿着回答问题的主线，再穿上一些玉珠（举例子）就可以做到中心明确，条理清楚，有理有例了。
作为将要参加论文答辩同学，首先而且必须对自己所著的毕业论文内容有比较深刻理解和比较全面的熟悉。这是为回答毕业论文答辩委员会成员就有关毕业论文的深度及相关知识面而可能提出的论文答辩问题所做的准备。所谓“深刻的理解”是对毕业论文有横向的把握。
例如题为《创建名牌产品发展民族产业》的论文，毕业论文答辩委员会可能会问“民族品牌”与“名牌”有何关系。尽管毕业论文中未必涉及“民族品牌”，但参加论文答辩的学生必须对自己的毕业论文有“比较全面的熟悉”和“比较深刻的理解”，否则，就会出现尴尬局面。
二、论文答辩——图表穿插
任何毕业论文，无论是文科还是理科都或多或少地涉及到用图表表达论文观点的可能，故我认为应该有此准备。图表不仅是一种直观的表达观点的方法，更是一种调节论文答辩会气氛的手段，特别是对私人论文答辩委员会成员来讲，长时间地听述，听觉难免会有排斥性，不再对你论述的内容接纳吸收，这样，必然对你的毕业论文答辩成绩有所影响。所以，应该在论文答辩过程中适当穿插图表或类似图表的其它媒介以提高你的论文答辩成绩。
三、论文答辩——语流适中
进行毕业论文答辩的同学一般都是首次。无数事实证明，他们论文答辩时，说话速度往往越来越快，以致毕业答辩委员会成员听不清楚，影响了毕业答辩成绩。故毕业答辩学生一定要注意在论文答辩过程中的语流速度，要有急有缓，有轻有重，不能像连珠炮似地轰向听众。
四、论文答辩——目光移动
毕业生在论文答辩时，一般可脱稿，也可半脱稿，也可完全不脱稿。但不管哪种方式，都应注意自己的目光，使目光时常地瞟向论文答辩委员会成员及会场上的同学们。这是你用目光与听众进行心灵的交流，使听众对你的论题产生兴趣的一种手段。在毕业论文答辩会上，由于听的时间过长，委员们难免会有分神现象，这时，你用目光的投射会很礼貌地将他们的神“拉”回来，使委员们的思路跟着你的思路走。
五、论文答辩——体态语辅助
虽然毕业论文答辩同其它论文答辩一样以口语为主，但适当的体态语运用会辅助你的论文答辩，使你的论文答辩效果更好。特别是手势语言的恰当运用会显得自信、有力、不容辩驳。相反，如果你在论文答辩过程中始终直挺挺地站着，或者始终如一地低头俯视，即使你的论文结构再合理、主题再新颖，结论再正确，论文答辩效果也会大受影响。所以在毕业论文答辩时，一定要注意使用体态语。
六、论文答辩——时间控制
一般在比较正规的论文答辩会上，都对辩手有答辩时间要求，因此，毕业 论文答辩学生在进行论文答辩时应重视论文答辩时间的掌握。对论文答辩时间的控制要有力度，到该截止的时间立即结束，这样，显得有准备，对内容的掌握和控制也轻车熟路，容易给毕业论文答辩委员会成员一个良好的印象。故在毕业论文答辩前应该对将要答辩的内容有时间上的估计。当然在毕业论文答辩过程中灵活地减少或增加也是对论文答辩时间控制的一种表现，应该重视。
七、论文答辩——紧扣主题
在校园中进行毕业论文答辩，往往辩手较多，因此，对于毕业论文答辩委员会成员来说，他们不可能对每一位的毕业论文内容有全面的`了解，有的甚至连毕业论文题目也不一定熟悉。因此，在整个论文答辩过程中能否围绕主题进行，能否最后扣题就显得非常重要了。另外，委员们一般也容易就论文题目所涉及的问题进行提问，如界能自始至终地以论文题目为中心展开论述就会使评委思维明朗，对你的毕业论文给予肯定。
八、论文答辩——人称使用
在毕业论文答辩过程中必然涉及到人称使用问题，我建议尽量多地使用第一人称，如“我”“我们”即使论文中的材料是引用他人的，用“我们引用”了哪儿哪儿的数据或材料，特别是毕业论文大多是称自己作的，所以要更多使用而且是果断地、大胆地使用第一人称“我”和“我们”。如果是这样，会使人有这样的印象：东西是你的，工作做了不少！（摘自：《青年科学》，原文：“毕业论文答辩应注意的几个问题”
毕业论文答辩开场白和结束语
毕业论文答辩的主要目的，是审查文章的真伪、审查写作者知识掌握的深度，审查文章是否符合体裁格式，以求进一步提高。学生通过答辩，让教师、专家进一步了解文章立论的依据，处理课题的实际能力。这是学生可以获得锻炼和提高的难得机会，应把它看作，治学的“起点”。
（一）答辩的准备工作学生可以从下列问题 （第4~10题）中，根据自己实际，选取二三个问题，作好汇报准备，（第1~3题必选）。时间一般不超过10分钟。内容最好烂熟于心中，不看稿纸，语言简明流畅。
1、为什么选择这个课题（或题目），研究、写作它有什么学术价值或现实意义。
2、说明这个课题的历史和现状，即前人做过哪些研究，取得哪些成果，有哪些问题没有解决，自己有什么新的看法，提出并解决了哪些问题。
3、文章的基本观点和立论的基本依据。
4、学术界和社会上对某些问题的具体争论，自己的倾向性观点。
5、重要引文的具体出处。
6、本应涉及或解决但因力不从心而未接触的问题；因认为与本文中心关系不大而未写入的新见解。
7、本文提出的见解的可行性。
8、定稿交出后，自己重读审查新发现的缺陷。
9、写作毕业论文（作业）的体会。
10、本文的优缺点。
总之，要作好口头表述的准备。不是宣读论文，也不是宣读写作提纲和朗读内容提要。
（二）答辩会程序
1、学生作说明性汇报。（5～10分钟）
2、毕业答辩小组提问。
3、学生答辩。（一定要正面回答或辩解，一般允许准备10至20分钟）。
4、评定成绩。（答辩会后答辩小组商定，交系、院学位委员会审定小组审定。）
（三）学生答辩注意事项
1、带上自己的论文、资料和笔记本。
2、注意开场白、结束语的礼仪。
3、坦然镇定，声音要大而准确，使在场的所有人都能听到。
4、听取答辩小组成员的提问，精神要高度集中，同时，将提问的问题——记在本上。
5、对提出的问题，要在短时间内迅速做出反应，以自信而流畅的语言，肯定的语气，不慌不忙地—一回答每个问题。
6、 对提出的疑问，要审慎地回答，对有把握的疑问要回答或辩解、申明理由；对拿不准的问题，可不进行辩解，而实事求是地回答，态度要谦虚。
7、回答问题要注意的几点：
（1）正确、准确。正面回答问题，不转换论题，更不要答非所问。
（2）重点突出。抓住主题、要领，抓住关键词语，言简意赅。
（3）清晰明白。开门见山，直接入题，不绕圈子。
（4）有答有辩。有坚持真理、修正错误的勇气。既敢于阐发自己独到的新观点、真知灼见，维护自己正确观点，反驳错误观点，又敢于承认自己的不足，修正失误。
（5）辩才技巧。讲普通话，用词准确，讲究逻辑，吐词清楚，声音洪亮，抑扬顿挫，助以手势说明问题；力求深刻生动；对答如流，说服力、感染力强，给教师和听众留下良好的印象。
各位老师，上午好！我叫……，是……级……班的学生，我的论文题目是……。论文是在……导师的悉心指点下完成的，在这里我向我的导师表示深深的谢意，向各位老师不辞辛苦参加我的论文答辩表示衷心的感谢，并对三年来我有机会聆听教诲的各位老师表示由衷的敬意。下面我将本论文设计的目的和主要内容向各位老师作一汇报，恳请各位老师批评指导。
首先，我想谈谈这个毕业论文设计的目的及意义。
其次，我想谈谈这篇论文的结构和主要内容。
本文分成……个部分。
第一部分是……。这部分主要论述……
第二部分是……。这部分分析……
第三部分是……
最后，我想谈谈这篇论文和系统存在的不足。 这篇论文的写作以及修改的过程，也是我越来越认识到自己知识与经验缺乏的过程。虽然，我尽可能地收集材料，竭尽所能运用自己所学的知识进行论文写作，但论文还是存在许多不足之处，有待改进。请各位评委老师多批评指正，让我在今后的学习中学到更多。 谢谢！
最重要的是大方得体当然态度的背后，是你要自信，无论知识还是答辩前的准备。
首先，向老师，同学问好、自我介绍：哪个专业哪个班；再介绍自己的题目，选题的原因，收集资料的来源，所费时间；再介绍自己的框架，分几部分论述；再具体介绍每部分内容……
注：
1、如果天热论文多，向老师辛苦表示下慰问，会有感情分
2、提前打听下同组同学有相同题目否，撞车的话，如你次序在后，就要相当认真的准备
3、一般都有时间要求，答辩人多时候，老师最烦多占时间者，注意不要过分详细介绍自己论文，察言观色是必要的
4、开场时候，容易紧张，可以眼观后墙，待稍微安定后，一定要有对视老师的时候，否则会被认为不自信与不礼貌
5、提醒下，与答辩老师有不同意见时候，千万不要当场顶牛、表示虚心听取，待后再与其讨论、一般老师都很反感答辩当场与学生的争论、且事后你会发现，决大多数情形，是他对。
答辩开场白和结束语如下：
开场白：
各位老师，下午好!我叫xx，是x级x班的学生,我的论文题目是xxx，论文是在x导师的悉心指点下完成的。在这里，我向我的导师表示深深的谢意，向各位老师不辞辛苦参加我的论文答辩表示衷心感谢，并对四年来我有机会聆听教诲的各位老师表示由衷的敬意。
下面，我将本论文的设计目的和主要内容向各位者师作汇报，恳请各位老师批评指导。
结束语：
这篇论文的写作使我越来越认识到自己知识与经验缺乏的过程。虽然，我尽可能地收集材料，竭尽所能运用自己所学的知识进行实验和论文写作。但所测数据并不完备,对许多还是一知半解。论文还是存在许多不足之处，有待改进。请各位评委老师多批评指正，让我在今后的学习中学到更多!谢谢!
答辩的注意事项：
一、熟悉内容。
作为将要参加毕业论文答辩的同学，首先而且必须对自己所著的论文内容有比较深刻的理解和比较全面的熟悉。所谓“深刻的理解”是对论文有横向的把握。这两方面是为回答答辩委员会成员就有关论文的深度及相关知识面而提出的问题所做的准备。
例如，题为＜创建名牌产品发展民族产业＞的论文，答辩委员会成员可能会问“民族品牌”与“名牌”有何关系。
二、图表穿插。
任何毕业论文，无论是文科还是理科都或多或少地涉及到用图表表达论文观点的可能，故我认为应该有此准备。图表不仅是一种直观的表达观点的方法，更是一种调节答辩会气氛的手段，特别是对私人答辩委员会成员来讲。
长时间地听述，听觉难免会有排斥性，不再对你论述的内容接纳吸收，这样，秘然对你的毕业论文答辩成绩有所影响。所以，应该在答辩过程事适当穿插图表或类似图表的其它媒介以提高你的答辩成绩。
三、语流适中。
进行毕业论文答辩的同学一般都是首次。无数事实证明，他们在众多的都是和同学面前答辩时，说话速度往往越来越快，以致答辩委员会听不清楚，影响了答辩成绩。
答辩开场白和结束语如下：
开场白：各位老师，上午好！我是xx专业xx班的xxx，我的毕业设计题目是xxxx。本次毕业设计是在xx老师的悉心指导下完成的，在此我首先要向认真严谨的xx老师表示真挚的敬意和谢意，也向在座的xx老师、xx老师、xx老师等所有老师四年来孜孜不倦的教诲，以及今天不辞辛苦参加我的论文答辩表示衷心的感谢。
下面我将本论文设计的主要内容向各位老师作一汇报，恳请各位老师给予批评与指导。
结束语：在做这个设计的过程中，我尽可能多地收集了一些资料，从中学到了许多有用的东西，也积累了不少经验，但由于自己学识浅薄，认识能力不足，在理解上有诸多偏颇和浅薄的地方，也由于理论功底的薄弱，存有不少逻辑不畅和辞不达意的问题，可能会与老师的期望相差较远，许多问题还有待于进一步思考和探索。
借此答辩机会，万分恳切的希望各位老师能够提出宝贵的意见，多指出这篇论文的错误和不足之处，我将虚心接受，从而进一步深入学习研究，使该设计得到完善和提高。我的介绍完了，谢谢！请各位老师提问。
注意事项
论文答辩小组一般由三至五名、有关专家组成，对文章中不清楚、不详细、不完备、不恰当之处，在答辩会上提出来。
毕业论文答辩的主要目的，是审查文章的真伪、审查写作者知识掌握的深度，审查文章是否符合体裁格式，以求进一步提高。学生通过答辩，让、专家进一步了解文章立论的依据，处理课题的实际能力。这是学生可以获得锻炼和提高的难得机会，应把它看作治学的“起点”。
01 答辩开场白：各位老师，上午好！我叫……，是……级……班的学生，我的论文题目是……论文是在……导师的悉心指点下完成的，在这里我向我的导师表示深深的谢意。结束语：请各位评委老师多批评指正，让我在今后的学习中学到更多。 一、首先是开场白： 各位老师，上午好！我叫……，是……级……班的学生，我的论文题目是……论文是在……导师的悉心指点下完成的，在这里我向我的导师表示深深的谢意，向各位老师不辞辛苦参加我的论文答辩表示衷心的感谢，并对三年来我有机会聆听教诲的各位老师表示由衷的敬意。下面我将本论文设计的目的和主要内容向各位老师作一汇报，恳请各位老师批评指导。 二、内容 首先，我想谈谈这个毕业论文设计的目的及意义。…… 其次，我想谈谈这篇论文的结构和主要内容。 本文分成……个部分. 第一部分是……。这部分主要论述…… 第二部分是……。这部分分析…… 第三部分是…… 三、结束语 最后，我想谈谈这篇论文和系统存在的不足。 这篇论文的写作以及修改的过程，也是我越来越认识到自己知识与经验缺乏的过程。虽然，我尽可能地收集材料，竭尽所能运用自己所学的知识进行论文写作，但论文还是存在许多不足之处，有待改进。请各位评委老师多批评指正，让我在今后的学习中学到更多。 谢谢！ 四、老师提问 答辩的准备工作学生可以从下列问题（第4~10题）中，根据自己实际，选取二三个问题，作好汇报准备，（第1~3题必选）。时间一般不超过10分钟。内容最好烂熟于心中，不看稿纸，语言简明流畅。 1．为什么选择这个课题（或题目），研究、写作它有什么学术价值或现实意义。 2．说明这个课题的历史和现状，即前人做过哪些研究，取得哪些成果，有哪些问题没有解决，自己有什么新的看法，提出并解决了哪些问题。 3．文章的基本观点和立论的基本依据。 4．学术界和社会上对某些问题的具体争论，自己的倾向性观点。 5．重要引文的具体出处。 6．本应涉及或解决但因力不从心而未接触的问题；因认为与本文中心关系不大而未写入的新见解。 7．本文提出的见解的可行性。 8．定稿交出后，自己重读审查新发现的缺陷。 9．写作毕业论文（作业）的体会。 10．本文的优缺点。总之，要作好口头表述的准备。不是宣读论文，也不是宣读写作提纲和朗读内容提要。
答辩开场白和结束语如下：
开场白：
各位老师，下午好!我叫xx，是x级x班的学生,我的论文题目是xxx，论文是在x导师的悉心指点下完成的。在这里，我向我的导师表示深深的谢意，向各位老师不辞辛苦参加我的论文答辩表示衷心感谢，并对四年来我有机会聆听教诲的各位老师表示由衷的敬意。
下面，我将本论文的设计目的和主要内容向各位者师作汇报，恳请各位老师批评指导。
结束语：
这篇论文的写作使我越来越认识到自己知识与经验缺乏的过程。虽然，我尽可能地收集材料，竭尽所能运用自己所学的知识进行实验和论文写作。但所测数据并不完备,对许多还是一知半解。论文还是存在许多不足之处，有待改进。请各位评委老师多批评指正，让我在今后的学习中学到更多!谢谢!
答辩的注意事项：
一、熟悉内容。
作为将要参加毕业论文答辩的同学，首先而且必须对自己所著的论文内容有比较深刻的理解和比较全面的熟悉。所谓“深刻的理解”是对论文有横向的把握。这两方面是为回答答辩委员会成员就有关论文的深度及相关知识面而提出的问题所做的准备。
例如，题为＜创建名牌产品发展民族产业＞的论文，答辩委员会成员可能会问“民族品牌”与“名牌”有何关系。
二、图表穿插。
任何毕业论文，无论是文科还是理科都或多或少地涉及到用图表表达论文观点的可能，故我认为应该有此准备。图表不仅是一种直观的表达观点的方法，更是一种调节答辩会气氛的手段，特别是对私人答辩委员会成员来讲。
长时间地听述，听觉难免会有排斥性，不再对你论述的内容接纳吸收，这样，秘然对你的毕业论文答辩成绩有所影响。所以，应该在答辩过程事适当穿插图表或类似图表的其它媒介以提高你的答辩成绩。
三、语流适中。
进行毕业论文答辩的同学一般都是首次。无数事实证明，他们在众多的都是和同学面前答辩时，说话速度往往越来越快，以致答辩委员会听不清楚，影响了答辩成绩。
根据定义，R=lim|an/an+1|
幂级数，2113是数学分析当中重要概念之一，5261是指在级数的每一项均为与级数项序号4102n相对应的以常1653数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。设是定义在某区间I上的函数列，则表达式(1)称为定义在区间I上函数项级数。如果式（1）上的各项都是定义在区间上的幂函数，函数项级数(2)称作幂级数，其中为常数，称为幂级数的系数。扩展资料：幂函数的性质：一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。三、当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。参考资料来源：百度百科-幂级数
幂级数的收敛性质：幂级数收敛的判别方法：∑x^（2n+1）/（2n+1），收敛半径R=lima/a=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)=lim(2n+3)/(2n+1)=1。当x=1时，幂级数变为∑1/(2n+1)。>∑1/[2(n+1)]=(1/2)∑1/(n+1)。后者发散，则级数发散；当x=-1时，幂级数变为-∑1/(2n+1)。因∑1/(2n+1)发散，则级数发散。故收敛域是x∈(-1，1)。即x∈(-1，1)时收敛，x∈(-∞，-1]∪[1，+∞)时发散。建议：用比较判别法判断级数的收敛性时，通常构造另一级数。根据另一级数判断所求级数的敛散性。
幂级数的收敛域可以分为以下两步：第一步，求幂级数的收敛半径R，从而得到收敛区间；第二步，讨论幂级数在±R处的敛散性，得到收敛域。判别的时候利用正项级数敛散性判别或者交错级数判别的莱布尼兹判别法就行了，一般来说难度不会过大，因此本文不予赘述。一般教材中提及了收敛半径的求法，并没有明确地说为何。这里就要涉及前面提到的判别正项级数收敛的比式判别法和根值判别法了。我们可以用将幂级数视为正项级数处理，按照比式判别法或者根值判别法的条件可以得到关于x的不等式，这里不等式的解集刚好就是幂级数的收敛区间。虽然这样的处理看上去不是很严密，但是可以帮助我们理解计算收敛半径的方法。我们有求幂级数收敛半径的两个公式；R=limn→∞1|an|√n以及R=limn→∞∣∣anan+1∣∣，前者对应的是根值判别法，后者对应的是比式判别法。不过要注意这与判别法极限式有倒数的关系。具体该用哪一公式，还是需看的形式。如果它有次方，那么用根式判别式的形式，即前面那个公式要好一些。如果有阶乘或者常数的指数的形式，用比式判别法的形式，即后面那个公式要好一些。当然，这也不是绝对化的，主要看哪种形式的极限比较好求，也不是一概而论，还需要一定量的解题积累经验。由于有明确的公式可以套用，只涉及到公式的选择问题，因而这个问题并没有太大的技巧性。例1：求幂级数∑n=0∞xnn⋅2n的收敛域数列的通项有n次方，可以使用根值判别法的形式；两项求比值后形式也简明，也可以使用比式判别法的形式，极限都比较好求，因此不需要纠结用哪一个公式更好，直接做就可以了。这里对求收敛半径这一步骤用两种不同方法，而最后判别两端点处的敛散性方法是统一的。
数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。 这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。(—·) 人们已经创造了很多检测级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？这不能笼统地回答．一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．就我们已经介绍的若干检测方法而言，对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法： (1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋千零，则考虑其它方法． (2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法． (3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法．对于某些正项级数，可以考虑使用积分判别法．这是因为比值判别法与根值判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大． (4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数． (5)级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，因此，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。但是，要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易，因而一般在检测具体级数的敛散性时，使用柯西判别准则是有困难的，甚至是无法进行的．不过，对于某些具体的级数，使用柯西判别准则也是行之有效的．因此，我们也要考虑它的使用，特别是上述诸多方法行不通的时候。 (二) 回顾一下正项级数敛散性的判别法．比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象．然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较．这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况．为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小．这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把‘尺子’的精密度不够。人们发现p—级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p—级数更为精密，称为对数尺子。仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子’相比较，建立了一个比一个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等．但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生．因为人们证明过，任何收敛的正项级数都存在另一个收敛的正项级数被它优超，而任何发散的正项级数都存在另一个发散的正项级数优超它．因此，比较判别法是检测正项级数的敛散性的根本方法．从理论上说，恰当的比较对象总是客观存在的，因此，比较判别法适应于一切正项级数。然而，恰当的比较对象要实际寻找出来很难．因此，还是要建立象比值判别法那样实质上已有固定比较对象且使用起来很方使的判别方法．
n趋于无穷时n次根号2趋于1，所以级数发散
是数学专业课的《数学分析》的下册的内容
数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。 这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。 (—·) 人们已经创造了很多检测级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？这不能笼统地回答．一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．就我们已经介绍的若干检测方法而言，对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法： (1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋千零，则考虑其它方法． (2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法． (3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法．对于某些正项级数，可以考虑使用积分判别法．这是因为比值判别法与根值判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大． (4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数． (5)级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，因此，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。但是，要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易，因而一般在检测具体级数的敛散性时，使用柯西判别准则是有困难的，甚至是无法进行的．不过，对于某些具体的级数，使用柯西判别准则也是行之有效的．因此，我们也要考虑它的使用，特别是上述诸多方法行不通的时候。 (二) 回顾一下正项级数敛散性的判别法．比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象．然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较．这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况．为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小．这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把‘尺子’的精密度不够。人们发现p—级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p—级数更为精密，称为对数尺子。仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子’相比较，建立了一个比一个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等．但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生．因为人们证明过，任何收敛的正项级数都存在另一个收敛的正项级数被它优超，而任何发散的正项级数都存在另一个发散的正项级数优超它．因此，比较判别法是检测正项级数的敛散性的根本方法．从理论上说，恰当的比较对象总是客观存在的，因此，比较判别法适应于一切正项级数。然而，恰当的比较对象要实际寻找出来很难．因此，还是要建立象比值判别法那样实质上已有固定比较对象且使用起来很方使的判别方法．
一、极限的唯一性：数列的极限如果存在，则唯一。二、保号性：如果数列的极限不为 0，则从某项往后的所有项与极限同号。三、有界性：如果数列存在极限，则数列有界。四、存在性：单调有界数列必有极限。
定理(唯一性)：若数列{ an }收敛，则它只有一个极限.
证：设a=lim( n→∞) an，对任何b≠a，取ε0=(|b-a|)/2，则在(a;ε0)之外有{ an }的有限个项，从而，在(b;ε0)之内至多只有{ an }的有限个项，所以b不是{ an }的极限。
所以收敛数列只有一个极限.
定理(有界性)：若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有：| an |≤M.
证：设lim( n→∞) an=a，取ε=1，存在正数N，对一切n>N，有|an -a|≤1；
又|an|-|a|≤|an -a|≤1；∴|an|≤1+ |；
记M=max{|a1|,|a2|,…, |aN|,1+|}，则|an|≤M，∴{an}为有界数列.
所以收敛数列有界.
定理(保号性)：若lim( n→∞) an=a>0(或<0)，则对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得当n>N时，有an>a’(或an 证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，使得n>N时，有an>a-ε=a’； 当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，使得n>N时，有an<ε+a=a’. 所以原命题得证. 定理(保不等式性)：设{an}与{bn}均为收敛数列. 若存在正数N0，使得当n> N0时，有an≤bn，则lim( n→∞) an≤lim( n→∞) bn. 证：设lim( n→∞) an=a，lim( n→∞) bn=b. 则ε>0，正数N1 ,N2，使当n>N1时，有an>a-ε; 当n>N2时，有bn<ε+b. 取N=max{N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε 由ε的任意性，得a≤b，即lim( n→∞) an≤lim( n→∞) bn. 所以原命题得证. 注：当an 定理(迫敛性)：设收敛数列{an},{bn}都以a为极限，数列{cn}满足： 存在正数N0时有an≤cn≤bn，则数列{cn}收敛，且lim( n→∞) cn=a. 证：ε>0，正数N1,N2， 使当n>N1时，有an>a-ε; 当n>N2时，有bn<ε+a. 取N=max{ N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε ∴数列{cn}收敛，且lim( n→∞) cn=a. 原命题得证。 定理(四则运算)：若{an}与{bn}为收敛数列，则{an+bn}，{an-bn}，{an·bn}也都是收敛数列，且有 lim( n→∞) (an±bn)=lim( n→∞) an±lim( n→∞) bn，lim( n→∞) (an·bn)=lim( n→∞) an·lim( n→∞) bn 当bn为常数c时，有lim( n→∞) (an+c)=lim( n→∞) an+c， lim( n→∞) (can)=c lim( n→∞) an 若bn≠0及lim( n→∞) bn≠0，则{an/bn }也是收敛数列，且有 lim( n→∞) an/bn =(lim( n→∞) an)/(lim( n→∞) bn ) 证：设lim( n→∞) an=a，lim( n→∞) bn=b，则对ε>0，正数N1,N2， 使当n>N1时，有|an-a|<ε; 当n>N2时，有|bn-b|<ε. 取N=max{N1,N2}，则当n>N时，有|an-a|+|bn-b|<2ε. 又|(an-a)+(bn-b)|=|(an +bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε. ∴lim( n→∞) (an+bn)=a+b= lim( n→∞) an+lim( n→∞) bn; ∵an-bn=an+(-1)bn， ∴lim( n→∞) (an-bn)=a-b= lim( n→∞) an-lim( n→∞) bn也成立. 另|anbn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)| ≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε. 由收敛数列的有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn| ∴当n>N时，有|anbn-ab|<(M+|a|)ε. ∴lim( n→∞) (an·bn)=lim( n→∞) an·lim( n→∞) bn. ∵an/bn =an·1/bn ， ∴lim( n→∞) an/bn =(lim( n→∞) an)/(lim( n→∞) bn )也成立. 由于lim( n→∞) bn=b≠0，根据收敛数列的保号性，存在正数N3，使得当n>N3时有 |bn|>1/2|b|. 取N’=max{N2,N3}，则当n>N’时有 |1/bn -1/b|=|bn-b|/|bn b| <2|bn-b|/b^2 <2ε/b^2 . ∴lim( n→∞) 1/bn =1/b. 第一，有界性，如果函数收敛，那么这个函数一定有界。第二，唯一性，如果函数收敛，那么函数有且只有一个极限值。 性质 1、唯一性 思维导图 如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。 2、有界性 定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn| 定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件 3、保号性 若数列某项起Xn>0（或Xn<0）且{Xn}收敛于a，则a>0（或a<0）， 扩展资料： 收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|