收敛数列的性质毕业论文

定理(唯一性)：若数列{ an }收敛，则它只有一个极限.

证：设a=lim( n→∞) an，对任何b≠a，取ε0=(|b-a|)/2，则在(a;ε0)之外有{ an }的有限个项，从而，在(b;ε0)之内至多只有{ an }的有限个项，所以b不是{ an }的极限。

所以收敛数列只有一个极限.

定理(有界性)：若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有：| an |≤M.

证：设lim( n→∞) an=a，取ε=1，存在正数N，对一切n>N，有|an -a|≤1；

又|an|-|a|≤|an -a|≤1；∴|an|≤1+ |；

记M=max{|a1|,|a2|,…, |aN|,1+|}，则|an|≤M，∴{an}为有界数列.

所以收敛数列有界.

定理(保号性)：若lim( n→∞) an=a>0(或<0)，则对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得当n>N时，有an>a’(或an

证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，使得n>N时，有an>a-ε=a’；

当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，使得n>N时，有an<ε+a=a’.

所以原命题得证.

定理(保不等式性)：设{an}与{bn}均为收敛数列. 若存在正数N0，使得当n> N0时，有an≤bn，则lim( n→∞) an≤lim( n→∞) bn.

证：设lim( n→∞) an=a，lim( n→∞) bn=b.

则ε>0，正数N1 ,N2，使当n>N1时，有an>a-ε; 当n>N2时，有bn<ε+b.

取N=max{N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε

由ε的任意性，得a≤b，即lim( n→∞) an≤lim( n→∞) bn. 所以原命题得证.

注：当an

定理(迫敛性)：设收敛数列{an},{bn}都以a为极限，数列{cn}满足：

存在正数N0时有an≤cn≤bn，则数列{cn}收敛，且lim( n→∞) cn=a.

证：ε>0，正数N1,N2，

使当n>N1时，有an>a-ε; 当n>N2时，有bn<ε+a.

取N=max{ N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε

∴数列{cn}收敛，且lim( n→∞) cn=a. 原命题得证。

定理(四则运算)：若{an}与{bn}为收敛数列，则{an+bn}，{an-bn}，{an·bn}也都是收敛数列，且有

lim( n→∞) (an±bn)=lim( n→∞) an±lim( n→∞) bn，lim( n→∞) (an·bn)=lim( n→∞) an·lim( n→∞) bn

当bn为常数c时，有lim( n→∞) (an+c)=lim( n→∞) an+c，

lim( n→∞) (can)=c lim( n→∞) an

若bn≠0及lim( n→∞) bn≠0，则{an/bn }也是收敛数列，且有

lim( n→∞) an/bn =(lim( n→∞) an)/(lim( n→∞) bn )

证：设lim( n→∞) an=a，lim( n→∞) bn=b，则对ε>0，正数N1,N2，

使当n>N1时，有|an-a|<ε; 当n>N2时，有|bn-b|<ε.

取N=max{N1,N2}，则当n>N时，有|an-a|+|bn-b|<2ε.

又|(an-a)+(bn-b)|=|(an +bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.

∴lim( n→∞) (an+bn)=a+b= lim( n→∞) an+lim( n→∞) bn;

∵an-bn=an+(-1)bn，

∴lim( n→∞) (an-bn)=a-b= lim( n→∞) an-lim( n→∞) bn也成立.

另|anbn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)| ≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε.

由收敛数列的有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn|

∴当n>N时，有|anbn-ab|<(M+|a|)ε.

∴lim( n→∞) (an·bn)=lim( n→∞) an·lim( n→∞) bn.

∵an/bn =an·1/bn ，

∴lim( n→∞) an/bn =(lim( n→∞) an)/(lim( n→∞) bn )也成立.

由于lim( n→∞) bn=b≠0，根据收敛数列的保号性，存在正数N3，使得当n>N3时有

|bn|>1/2|b|. 取N’=max{N2,N3}，则当n>N’时有

|1/bn -1/b|=|bn-b|/|bn b| <2|bn-b|/b^2 <2ε/b^2 .

∴lim( n→∞) 1/bn =1/b.

第一，有界性，如果函数收敛，那么这个函数一定有界。第二，唯一性，如果函数收敛，那么函数有且只有一个极限值。

性质

1、唯一性

思维导图

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。

2、有界性

定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件

3、保号性

若数列某项起Xn>0（或Xn<0）且{Xn}收敛于a，则a>0（或a<0），

扩展资料：

收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|

还有保不等式性。