微积分发展史论文研究背景

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系 。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得 圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。 微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。 特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。 中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。 微积分的诞生 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为《九间算术》作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有 “ 流数术 ” 的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。 牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。 牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。 如果说牛顿从力学导致 “ 流数术 ” ，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于 1684 年的《都市期刊》上，这比牛顿公开发表微积分著作早 3 年，这篇文章给一阶微分以明确的定义。 莱布尼茨 1646 年生于莱比锡。 15 岁进入莱比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科学，不到 20 岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。莱布尼茨对数学

数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。微积分中的外微分下面的对应关系揭示了向量微积分的诸多公式实际上只是上述外微分的三个法则的特殊情况而已。梯度对于一个0-形式，也就是一个光滑函数f:Rn→R，我们有所以，对于向量场其中grad f代表f的梯度而<•, •>是标量积。旋度对于一个1-形式在R3上，它限制到三维情况就是因此，对于向量场,和我们有其中curl V代表V的旋度×是向量积，而<•, •>是标量积。

微分方程的历史 最早谈及微分方程的数学家是 Huygens 与 Leibniz，最先以微积分技巧处理微分方程可能是 James Bernoulli 的等时曲线问题（牛顿的方法是几何的），但是在早期分析史上最重要的两个问题来源是 (1) 弦震动问题： 它在与 ODE 的简谐运动方程或波型方程有关，在 PDE 则是波动方程。弦震动问题并引发 d''Alembert、Euler、Danial Bernoulli 关于作为起始条件的弦函数可以具有什么性质的论战。这次争论最起码有两个意义： (一)它让数学家意识到非解析函数的重要，并省思函数一词的意义。(二)藉由 D. Bernoulli 猜测弦函数可以表成无穷三角级数和，开启后来所谓 Fourier 级数大门 (2) n 体问题： 由牛顿重力定律，探讨 n 个星球彼此的作用历程，就是天体力学中的 n 体问题。当 n=2 时，牛顿已充分解出，并推导出 Kepler 的行星运动定律， 的问题没有一般解，因此刺激了一系列天体问题的研究，Euler、Laplace、Lagrange 都有重要的贡献，到了十九世纪末，经由 Poincaré 的新观点，开始微分方程的定性研究，并开启所谓动力系统的领域（浑沌即为其中一支）。另外由于考虑星球总引力，也导出了所谓的 Laplace 方程（即(6)），相同的想法也出现在电磁学中。有意义而且影响深远的微分方程来源，主要是物理与几何，除了前面所列举的方程外，举例来说还有，Euler 以及 Navier-Stokes 的流体力学方程，爱因斯坦广义相对论的爱因斯坦方程，量子力学中的 Schrdinger 方程，Dirac 方程，几何上的测地线方程，最小曲面（子流形）方程等等。相当多的微分方程都可以用一种系统性的看法来推导出来，这就是称为函数空间「微积分学」的变分学（加上最小作用原理）。另外在解决 PDE 问题时可以利用对称性，分离变量，将问题化归为 ODE 的问题。

1、微分早期

早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。古希腊数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽。

2、极限思想

早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。

3、微积分思想

微积分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。

扩展资料：

关于微积分发明权的最初争议：

牛顿早在1676年就知道莱布尼兹的工作，但此时的他并没有表现出任何对优先权问题的担心或竞争心理。直到1687年以前，他都没有公开发表任何关于流数术的论文或专著，哪怕是在1684年莱布尼兹抢先发表了论文以后。

反倒是在1687年，他首次在《自然哲学之数学原理》第一版中透露出关于流数术的一鳞半爪时，特意在下方注释道：

十年前在我与最权威的几何学家.莱布尼兹进行的后来被中断的系列通信中，我展示了我提出的定义最大和最小的方法……阁下回信说他也在研究这样一种方法，他的方法除了用词及其众所周知的形式以外，和我的几乎没有什么不同。

牛顿在这段话中用 “最权威的”来形容莱布尼兹，并尊称其为“阁下”，对与莱布尼兹英雄所见略同的得意之情跃然纸上。

不过牛顿本人的态度并不能代表他的全部英国同胞。曾作为牛顿微积分思想启发者之一的老一代数学家沃利斯就对此很不以为然。作为一位狂热的不列颠沙文主义者，沃利斯一生热衷于证明不列颠民族相对于其他民族在智力上的优越性。

随着“莱布尼兹微积分”在欧洲大陆声望日隆，而牛顿更早的工作却迟迟不见发表，本应属于英国数学家的学术荣誉眼见着正被德国人 “窃取”殆尽，为此，沃利斯不但多次以师长和朋友的身份致信牛顿，措辞颇有些严厉地敦促牛顿尽快发表关于流数术的论文；

而且身体力行，在自己的著作中不断为牛顿及其流数术摇旗呐喊。特别是在1695年出版的著作中，在谈到牛顿流数术与莱布尼兹微积分的内在一致性时，老数学家意味深长地提及：

1676年牛顿发给包括他在内的几位英国数学家介绍流数术的两封最初的信件，“也被 （几乎一字不易地）传递给了莱布尼兹，他（牛顿）在信中向莱布尼兹讲解了他在十多年前就已经发明的方法”——这是关于莱布尼兹剽窃牛顿成果的第一次暗示。

参考资料来源：中国社会科学网-关于微积分的恩恩怨怨（下）

参考资料来源：百度百科-微积分学

牛顿在其1665年5月20日的一份手稿中已有微积分的记载，在这份手稿中，牛顿引进了一种带双点的字母，它相当于导数的齐次形式。因此，有人将这一日作为微积分的光荣诞生日。事实上，牛顿对微积分的研究以运动学为背景开始于1664年秋，就在这一年，牛顿已经对微积分有了较为清楚的认识。

1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，对微积分的研究取得了突破性进展。据牛顿自述，1665年11月，他发明正流数术(微分法)，次年5月建立反流数术(积分法)。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文——《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献，标志着微积分的诞生。在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》(简称《分析学》，1669年)、《流数法与无穷级数》(简称《流数法》，1671年)、《曲线求积术》(简称《求积术》，1691年)。它们反映了牛顿微积分学说的发展过程。然而牛顿的这些有关微积分的论文并没有及时公开发表，他的微积分学说的公开表述最早出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》一书中。因此，《原理》也成为数学史上的划时代著作。

牛顿对自己的科学著作的发表，态度非常谨慎，他的最成熟的微积分著述《曲线求积术》直到1704年才以《光学》的附录形式发表，其他的论文发表得更晚，《分析学》在牛顿去世后才公开发表。

微积分产生后，其运算的完整性和应用的广泛性充分显示了这一新的数学工具的威力，微积分迅速地成为研究自然科学的有力工具。