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迪士尼0918
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瞳言無忌

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我这里有一份“等”对“不等”的启示 对于解集非空的一元二次不等式的求解,我们常用“两根之间”、“两根之外”这类简缩语来说明其结果,同时也表明了它的解法.这是用“等”来解决“不等”的一个典型例子.从表面上看,“等”和“不等”是对立的,但如果着眼于“等”和“不等”的关系,会发现它们之间相互联系的另一面.设M、N是代数式,我们把等式M=N叫做不等式M<N,M≤N,M>N、M≥N相应的等式.我们把一个不等式与其相应的等式对比进行研究,发现“等”是“不等”的“界点”、是不等的特例,稍微深入一步,可以从“等”的解决来发现“不等”的解决思路、方法与技巧.本文通过几个常见的典型例题揭示“等”对于“不等”在问题解决上的启示. � 1.否定特例,排除错解 �解不等式的实践告诉我们,不等式的解区间的端点是它的相应等式(方程)的解或者是它的定义区间的端点(这里我们把+∞、-∞也看作端点).因此我们可以通过端点的验证,否定特例,排除错解,获得解决问题的启示. �例1 满足sin(x-π/4)≥1/2的x的集合是(). ��A.{x|2kπ+5π/12≤x≤2kπ+13π/12,k∈Z} ��B.{x|2kπ-π/12≤x≤2kπ+7π/12,k∈Z} ��C.{x|2kπ+π/6≤x≤2kπ+5π/6,k∈Z} ��D.{x|2kπ≤x≤2kπ+π/6,k∈Z}∪{2kπ+5π/6≤(2k+1)π,k∈Z}(1991年三南试题) �分析:当x=-π/12、x=π/6、x=0时,sin(x-π/4)<0,因此排除B、C、D,故选A. �例2 不等式 +|x|/x≥0的解集是(). ��A.{x|-2≤x≤2} ��B.{x|- ≤x<0或0<x≤2} ��C.{x|-2≤x<0或0<x≤2} ��D.{x|- ≤x<0或0<x≤ } � 分析:由x=-2不是原不等式的解排除A、C,由x=2是原不等式的一个解排除D,故选B. �这两道题若按部就班地解来,例1是易错题,例2有一定的运算量.上面的解法省时省力,但似有“投机取巧”之嫌.选择题给出了三误一正的答案,这是问题情景的一部分.而且是重要的一部分.我们利用“等”与“不等”之间的内在联系,把目光投向解区间的端点,化繁为简,体现了具体问题具体解决的朴素思想,这种“投机取巧”正是抓住了问题的特征,体现了数学思维的敏捷性和数学地解决问题的机智.在解不等式的解答题中,我们可以用这种方法来探索结果、验证结果或缩小探索的范围. �例3 解不等式loga(1-1/x)>1.(1996年全国高考试题) �分析:原不等式相应的等式--方程loga(1-1/x)=1的解为x=1/(1-a)(a≠1是隐含条件).原不等式的定义域为(1,+∞)∪(-∞,0).当x→+∞或x→-∞时,loga(1-1/x)→0,故解区间的端点只可能是0、1或1/(1-a).当0<a<1时,1/(1-a)>1,可猜测解区间是(1,1/(1-a));当a>1时,1/(1-a)<0,可猜测解区间是(1/(1-a),0).当然,猜测的时候要结合定义域考虑. �上面的分析,可以作为解题的探索,也可以作为解题后的回顾与检验.如果把原题重做一遍视为检验,那么一则费时,对考试来说无实用价值,对解题实践来说也失去检验所特有的意义;二则重做一遍往往可能重蹈错误思路、错误运算程序的复辙,费时而于事无补.因此,抓住端点探索或检验不等式的解,是一条实用、有效的解决问题的思路. �2.诱导猜想,发现思路 �当我们证明不等式M≥N(或M>N、M≤N、M<N)时,可以先考察M=N的条件,基本不等式都有等号成立的充要条件,而且这些充要条件都是若干个正变量相等,这就使我们的思考有了明确的目标,诱导猜想,从而发现证题思路.这种思想方法对于一些较难的不等式证明更能显示它的作用. �例4 设a、b、c为正数且满足abc=1,试证:1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥3/2.(第36届IMO第二题) �分析:容易猜想到a=b=c=1时,原不等式的等号成立,这时1/a3(b+c)=1/b3(c+a)=1/c3(a+b)=1/2.考虑到“≥”在基本不等式中表现为“和”向“积”的不等式变换,故想到给原不等式左边的每一项配上一个因式,这个因式的值当a=b=c=1时等于1/2,且能通过不等式变换的运算使原不等式的表达式得到简化. �1/a3(b+c)+(b+c)/4bc≥ =1/a, �1/b3(a+c)+(a+c)/4ca≥1/b, �等号不一定成立而启迪我们对问题进一步探索的典型例子是1997年全国高考(理科)第22题: �例8 甲、乙两地相距S千米(km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时(km/h).已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元. �Ⅰ.把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域; �Ⅱ.为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶? �分析:y=aSv+bSv,v∈(0,c〕,由y≥2S 当且仅当aS/v=bSv,即当v= 时等号成立得,当v= 时y有最小值.这是本题的正确答案吗?那就得考虑v= 是否一定成立.当 ≤c时可以,但 是有可能大于c的.这就引发了我们进行分类讨论的动机,同时也获得分类的标准. �综上所述,“等”是不等式问题中一道特殊的风景,从“等”中寻找问题解决的思路,本质上是特殊化思想在解题中的应用.从教学上看,引导学生注视不等式问题中的“等”,是教会学生发现问题、提出问题,从而分析问题、解决问题的契机. �1/c3(a+b)+(a+b)/4ab≥1/c, �将这三个等式相加可得 �1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥1/a+1/b+1/c-(1/4)〔(b+c)/bc+(c+a)/ca+(a+b)/ab〕=(1/2)(1/a+1/b+1/c)≥(3/2) =3/2,从而原不等式获证. �这道题看似不难,当年却使参赛的412名选手中有300人得0分.上述凑等因子的思路源于由等号的成立条件而产生的猜想,使思路变得较为自然,所用的知识是一般高中生所熟知的.再举二例以说明这种方法有较大的适用范围. �例5 设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的正实数,求证:a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(a+b+d)+d3/(a+b+c)≥1/3.(第31届IMO备选题) �证明:a3/(b+c+d)+a(b+c+d)/9≥(2/3)a2, �b3/(a+c+d)+b(a+c+d)/9≥(2/3)b2, �c3/(a+b+d)+c(a+b+d)/9≥(2/3)c2, �d3/(a+b+c)+d(a+b+c)/9≥(2/3)d2. �∴ a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(a+b+d)+d3/(a+b+c)≥(2/3)(a2+b2+c2+d2)-(2/9)(ab+bc+cd+da+ac+bd) �=(5/9)(a2+b2+c2+d2)-(2/9)(ab+bc+cd+da)+(1/9)(a2+c2-2ac+b2+d2-2bd) �≥(5/9)(a2+b2+c2+d2)-(2/9)(ab+bc+cd+da)≥(5/9)(ab+bc+cd+da)-(2/9)(ab+bc+cd+da)=(1/3)(ab+bc+cd+da)=1/3. �当a=b=c=d=1/2时,原不等式左边的四个项都等于1/12,由此出发凑“等因子”.对于某些中学数学中的常见问题也可用这种方法解决,降低问题解决对知识的要求. �例6 设a,b,c,d∈R+,a+b+c+d=8,求M= + + + 的最大值. �分析:猜想当a=b=c=d=2时M取得最大值,这时M中的4个项都等于3.要求M的最大值,需将M向“≤”的方向进行不等变换,由此可得3 ≤(3+4a+1)/2=2a+2,3 ≤2b+2,3 ≤2c+2,3 ≤2d+2.于是3M≤2(a+b+c+d)+8=24,∴M≤8.当且仅当a=b=c=d时等号成立,所以M的最大值为8. �当然,例6利用平方平均数不小于算术平均数是易于求解的,但需要高中数学教材外的知识.利用较少的知识解决较多的问题,是数学自身的追求,而且从教学上考虑,可以更好地培养学生的数学能力.先有猜想,后有设计,再有证法,也是数学地思考问题的基本特征. �3.引发矛盾,启迪探索 �在利用基本不等式求最大值或最小值时,都必须考虑等号能否取得,这不仅是解题的规范要求,而且往往对问题的解决提供有益的启示.特别当解题的过程似乎顺理成章,但等号成立的条件却发生矛盾或并不一定成立.这一新的问题情景将启迪我们对问题的进一步探索. �例7 设a,b∈R+,2a+b=1,则2 -4a2-b2有(). ��A.最大值1/4� B.最小值1/4 ��C.最大值( -1)/2� D.最小值( -1)/2 � 分析:由4a2+b2≥4ab,得原式≤2 -4ab=-4( )2+2 =-4( -1/4)2+1/4≤1/4.若不对不等变换中等号成立的条件进行研究,似已完成解题任务,而且觉得解题过程颇为自然,但若研究一下等号成立的条件,则出现了矛盾:要使4a2+b2≥4ab中的等号成立,则应有2a=b=1/2,这时 = /4≠1/4,第二个“≤”中的等号不能成立.这一矛盾使我们感觉到解题过程的错误,促使我们另辟解题途径.事实上,原式=2 -(2a+b)2+4ab=4ab+2 -1,而由1=2a+b≥2 得0< ≤ /4,ab≤1/8,∴原式≤ /2+1/2-1=( -1)/2,故选�C. 本文来自论文大学网

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猪猪的面团

看你使用的目的了如果你是想要证明一个别的东西,但是证明的过程中需要用到别人的这个不等式的结论,那么直接用就可以,标注好引用就行了如果你的最终目的是证明这个不等式,那么你就不能直接用了,就得想一种全新的方式证明它,否则就属于抄袭了。

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家D玫瑰

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本科数学毕业论文范文:高等数学教学中体现数学建模思想的方法

生产计划是对生产全过程进行合理规划的有效手段,是一个十分繁复的过程,以下是我搜集整理的一篇探究高等数学教学中体现数学建模思想的方法的范文,欢迎阅读参考。

1数学建模在煤矿安全生产中的意义

在瓦斯系统的研究过程中,应用数学建模的手段为矿井瓦斯构建数学模型,可以为采煤方案的设计和通风系统的建设提供很大的帮助;尤其是对于我国众多的中小型煤矿而言,因为资金有限而导致安全设施不完善,有的更是没有安全项目的投入,仅仅建设了极为少量的给风设备,通风系统并不完善。这些煤矿试图依靠通风量来对瓦斯体积分数进行调控,这是十分困难的,对瓦斯体积分数进行预测更是不可能的。很多小煤矿使用的仍旧是十分原始的采煤方法,没有相关的规划;当瓦斯等有害气体体积分数升高之后就停止挖掘,体积分数下降之后又继续进行开采。这种开采方式的工作效率十分低下。

只要设计一个充分合理的通风系统的通风量,与采煤速度处于一个动态的平衡状态,就可以在不延误煤炭开采的同时将矿井内的瓦斯气体体积分数控制在一个安全的范围之内。这样不仅可以保障工人的安全,还可以保证煤炭的开采效率,每个矿井都会存在着这样的一个平衡点,这就对矿井瓦斯涌出量判断的准确性提出更高的要求。

2煤矿生产计划的优化方法

生产计划是对生产全过程进行合理规划的有效手段,是一个十分繁复的过程,涉及到的约束因素很多,条理性很差。为了成功解决这个复杂的问题,现将常用的生产计划分为两个大类。

基于数学模型的方法

(1)数学规划方法这个规划方法设计了很多种各具特点的手段,根据生产计划做出一个虚拟的模型,在这里主要讨论的是处于静止状态下所产生的问题。从目前取得的效果来看,研究的方向正在逐渐从小系统向大系统推进,从过去的单个层次转换到多个层次。

(2)最优控制方法这种方式应用理论上的控制方法对生产计划进行了研究,而在这里主要是针对其在动态情况下的问题进行探讨。

基于人工智能方法

(1)专家系统方法专家系统是一种将知识作为基础的为计算机编程的系统,对于某个领域的繁复问题给出一个专家级别的解决方案。而建立一个专家系统的关键之处在于,要预先将相关专家的知识等组成一个资料库。其由专家系统知识库、数据库和推理机制构成。

(2)专家系统与数学模型相结合的方法常见的有以下几种类型:①根据不同情况建立不同的数学模型,而后由专家系统来进行求解;②将复杂的问题拆分为多个简单的子问题,而后针对建模的子问题进行建模,对于难以进行建模的问题则使用专家系统来进行处理。在整体系统中两者可以进行串行工作。

3煤矿安全生产中数学模型的优化建立

根据相关数据资料来进行模拟,而后再使用系统分析来得出适合建立哪种数学模型。取几个具有明显特征的采矿点进行研究。在煤矿挖掘的过程中瓦斯体积分数每时每刻都在变化,可以通过通风量以及煤炭采集速度来保证矿中瓦斯体积分数处在一个安全的范围之内。假设矿井分为地面、地下一层与地下二层工作面,取地下一层两个矿井分别为矿井A、矿井B,地下二层分别为矿井C、矿井D.然后对其进行分析。

建立简化模型

模型构建表达工作面A瓦斯体积分数x·1=a1x1+b1u1-c1w1-d1w2(1)式中x1---A工作面瓦斯体积分数;u1---A工作面采煤进度;w1---A矿井所对应的空气流速;w2---相邻B工作面的空气流速;a1、b1、c1、d1---未知量系数。

很明显A工作面的通风量对自身瓦斯体积分数所产生的影响要显着大于B工作面的风量,从数学模型上反映出来就是要求c1>d1.同样的B工作面(x·2)和工作面A所在的位置很相似,也就应该具有与之接近的数学关系式

式中x2---B工作面瓦斯体积分数;

u2---B工作面采煤进度;

w1---B矿井所对应的空气流速;

w2---相邻A工作面的空气流速;

a2、b2、c2、d2---未知量系数。

CD工作面(x·3、x·4)都位于B2层的位置,其工作面瓦斯体积分数不只受到自身开采进度情况的影响,还受到上层AB通风口开阔度的影响。在这里,C、D工作面瓦斯体积分数就应该和各个通风口的通风量有着密不可分的联系;于是C、D工作面瓦斯体积分数可以表示为【3】

式中x3、x4---C、D工作面的瓦斯体积分数;

e1、e2---A、B工作面的瓦斯体积分数;

a3、b3、c3、d3---未知量系数:

f1、f2---A、B工作面的瓦斯绝对涌出量。

系统简化模型的辨识这个简化模型其实就是对于参数的最为初步的求解,也就是在一段时间内的实际测量所得数据作为流通量,对上面方程组进行求解操作。而后得到数学模型,将实际数据和预测数据进行多次较量,再加入相关人员的长期经验(经验公式)。修正之后的模型依旧使用上述的方法来进行求解,因为A、B工作面基本不会受C、D工作面的影响。

模型的转型及其离散化

因为这个项目是一个矿井安全模拟系统,要对数学模型进行离散型研究,这是使用随机数字进行试数求解的关键步骤。离散化之后的模型为【1】

在使用原始数据来对数学模型进行辨识的过程中,ui表示开采进度,以t/d为单位,相关风速单位是m/s,k为工作面固定系数,h为4个工作面平均深度。为了便于将该系统转化为计算机语言,把开采进度ui从初始的0~1000t/d范围,转变为0~1,那么在数字化采煤中进度单位1即表示1000t/d,如果ui=就表示每日产煤量500t.诸如此类,工作面空气流通速度wi的原始取值范围是0~4m/s,对其进行数字化,其新数值依旧是0~1,也就表示这wi取1时表示风速为4m/s,若表示通风口的开通程度是,也就是通风口打开一半(2m/s),wi如果取1则表示通风口开到最大。

依照上述分析来进行数字化转换,数据都会产生变化,经过计算之后可以得到新的参数数据,在计算的过程之中使用0~1的数据是为了方便和计算机语言的转换,在进行仿真录入时在0~1之间的一个有效数字就会方便很多。开采进度ui的取值范围0~1表示的是每日产煤数量区间是0~1000t,而风速wi取值0~1所表示的是风速取值在0~4m/s这个区间之内。

模型的应用效果及降低瓦斯体积分数的措施

以上对煤矿生产中的常见问题进行了相关分析,发现伴随着时间的不断增长瓦斯涌体积分数等都会逐渐衰减,一段时间后就会变得微乎其微,这就表明这类资料存在着一个衰减周期,经过长期观测发现衰减周期T≈18h.而后,又研究了会对瓦斯涌出量产生影响的其他因素,发现在使用炮采这种方式时瓦斯体积分数会以几何数字的速度衰减,使用割煤手段进行采矿时瓦斯会大量涌出,其余工艺在采煤时并不会导致瓦斯体积分数产生剧烈波动。瓦斯的涌出量伴随着挖掘进度而提升,近乎于成正比,而又和通风量成反比关系。因为新矿的瓦斯体积分数比较大,所以要及时将煤运出,尽量缩短在煤矿中滞留的时间,从而减小瓦斯涌出总量。

综上所述,降低工作面瓦斯体积分数常用手段有以下几种:①将采得的煤快速运出,使其在井中停留的时间最短;②增大工作面的通风量;③控制采煤进度,同时也可以控制瓦斯的涌出量。

4结语

应用数学建模的手段对矿井在采矿过程中涌出的瓦斯体积分数进行了模拟及预测,为精确预测矿井瓦斯体积分数提供了一个新的思路,对煤矿安全高效生产提供了帮助,有着重要的现实意义。

参考文献:

[1]陈荣强,姚建辉,孟祥龙.基于芯片控制的煤矿数控液压站的设计与仿真[J].科技通报,2012,28(8):103-106.

[2]陈红,刘静,龙如银.基于行为安全的煤矿安全管理制度有效性分析[J].辽宁工程技术大学学报:自然科学版,2009,28(5):813-816.

[3]李莉娜,胡新颜,刘春峰.煤矿电网谐波分析与治理研究[J].煤矿机械,2011,32(6):235-237.

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