正定矩阵的性质研究小论文

矩阵正定性的性质：

1、正定矩阵的特征值都是正数。

2、正定矩阵的主元也都是正数。

3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。

4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。

正定矩阵的特征方法：

1、 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。

2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU

4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。

5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。

扩展资料：

一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z。

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：

（1）A是正定矩阵；

（2）A的一切顺序主子式均为正；

（3）A的一切主子式均为正；

（4）A的特征值均为正；

（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；

（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；

（7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R。

对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。

参考资料来源：百度百科--正定矩阵

相信正定矩阵的定义楼主很清楚。定义矩阵的正定性是根据二次型来的，这也就是说明正定矩阵的性质反映了一个二次表达式的性质，从另一个角度讲这也给我们提供了一个二次表达式的矩阵表示方法。在最初学函数的时候，我们学过配方法，其实化一个二次型为标准二次型的时候也是利用这个原理，只不过我们通过矩阵的手段来进行计算同时还用到了满值线性变换的一些知识。其实在数学理论中更愿意研究Hermite二次型的正定问题，因为Hermite矩阵（A=AH（表示共轭转置矩阵））更能和一些工程学科相结合。另外在数值计算科学中也经常会用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数矩阵是正定的情况下对任意初始向量是收敛的。从工程学科来说，举一个控制系统为例，如果可以找到一个利亚普诺夫函数使得它的倒数是负定（也就是说倒数的相反数是正定的）那么这个系统就是渐进稳定的。

加油吧，少年