矩阵乘积的正定性论文开题报告

看看课本吧北大版的高等代数 经典上面说的很清楚

加油吧，少年

设实对称矩阵A，如果对于任意的实非零向量x≠0有x^TAx>0,则矩阵A称为正定的。正定矩阵的性质与判别方法1. 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。2．对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。3．对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU 4．对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。5．对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。

如果A和B都是实对称正定阵，且AB=BA=B^TA^T=(AB)^T

这说明AB是对称阵

再利用AB的特征值都是正数（因为AB相似于对称正定阵A^{1/2}BA^{1/2}）得到AB对称正定。

例如：

^证明：因为A,B正定，所以 A^T=A,B^T=B

(必要性) 因为AB正定，所以 (AB)^T=AB

所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB

(充分性) 因为 AB=BA

所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB

所以 AB 是对称矩阵

由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.

故 AB = P^TPQ^TQ

而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似

故 AB 正定

扩展资料：

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

参考资料来源：百度百科-正定矩阵

1 相关定义 定义1 设A∈，若对≠ x∈，都有AX > 0，则称A为正定矩阵，记为A∈． 记={A|≠ x∈，使AX > 0}． 定义2设A∈，如果对≠X∈，都有正对角矩阵D=> 0，使得AX > 0，则称A为广义正定矩阵，记为A∈，若D=与x无关，则记为A∈。记={A∈|≠X]正对角矩阵D，使DAX > 0}．定义3 设A∈，若=A，对≠ x∈ ，都有AX > 0，则称A为实对称正定矩阵，记为A ∈ S+． 记={A∈|≠x，=A，使AX > 0}．定义4 设A∈，如果对≠X,都有S=∈使得DAX > 0，则称A为广义正定矩阵，记为A∈，若S=与x无关，则记为A∈．记={A∈|≠X，S=,使DAX > 0}.定义5设A∈，如果对≠ X∈，都有S=.s+，使得AX > 0，则称A为广义正定矩阵，记为A∈．若S=与x无关，则记为A∈