泰勒级数及其应用毕业论文

1.采用VHDL语言设计系统具有哪些特点 VHDL系统设计的基本点：（1）与其他硬件描述语言相比，VHDL具有以下特点： （2）功能强大、设计灵活。 （3）强大的系统硬件描述能力。 （4）易于共享和复用。2.举例说明FPGA是如何通过查找表实现其逻辑功能的？参考答案：在计算机科学中，查找表是用简单的查询操作替换运行时计算的数组或者 associative array 这样的数据结构。由于从内存中提取数值经常要比复杂的计算速度快很多，所以这样得到的速度提升是很显著的。 一个经典的例子就是三角表。每次计算所需的正弦值在一些应用中可能会慢得无法忍受，为了避免这种情况，应用程序可以在刚开始的一段时间计算一定数量的角度的正弦值，譬如计算每个整数角度的正弦值，在后面的程序需要正弦值的时候，使用查找表从内存中提取临近角度的正弦值而不是使用数学公式进行计算。 在计算机出现之前，人们使用类似的表格来加快手工计算的速度。非常流行的表格有三角、对数、统计 density 函数。另外一种用来加快手工计算的工具是滑动计算尺。 一些折衷的方法是同时使用查找表和插值这样需要少许计算量的方法，这种方法对于两个预计算的值之间的部分能够提供更高的精度，这样稍微地增加了计算量但是大幅度地提高了应用程序所需的精度。根据预先计算的数值，这种方法在保持同样精度的前提下也减小了查找表的尺寸/ 在图像处理中，查找表经常称为LUT，它们将索引号与输出值建立联系。颜色表作为一种普通的 LUT 是用来确定特定图像所要显示的颜色和强度。 另外需要注意的一个问题是，尽管查找表经常效率很高，但是如果所替换的计算相当简单的话就会得不偿失，这不仅仅因为从内存中提取结果需要更多的时间，而且因为它增大了所需的内存并且破坏了高速缓存。如果查找表太大，那么几乎每次访问查找表都回倒置 cache miss，这在处理器速度超过内存速度的时候愈发成为一个问题。在编译器优化的 rematerialization 过程中也会出现类似的问题。在一些环境如Java 编程语言中，由于强制性的边界检查带来的每次查找的附加比较和分支过程，所以查找表可能开销更大。 何时构建查找表有两个基本的约束条件，一个是可用内存的数量；不能构建一个超过能用内存空间的表格，尽管可以构建一个以查找速度为代价的基于磁盘的查找表。另外一个约束条件是初始计算查找表的时间——尽管这项工作不需要经常做，但是如果耗费的时间不可接受，那么也不适合使用查找表。[编辑本段]例子 [编辑本段]计算正弦值 许多计算机只能执行基本的算术运算，而不能直接计算给定值的正弦值，它们使用如下面泰勒级数（en:Taylor series）这样的复杂公式计算相当高精度的正弦值： (x 接近 0) 然而，这样的计算费用可能是非常大的，尤其是在低速的处理器上。有许多的应用程序，尤其是传统的计算机图形每秒需要几千次的正弦值计算。一个常用的解决方案就是在刚开始计算许多均匀分布数值的正弦值，然后在表中查找最接近所需 x 的正弦值，这个值非常接近于正确的数值，这是因为正弦函数是一个有限变化率的连续函数。例如： real array sine_table[-1000..1000] for x from -1000 to 1000 sine_table[x] := sine(x/1000/pi) function lookup_sine(x) return sine_table[round(x/1000/pi)] Image:Interpolation example 部分正弦函数的线性插值不幸的是，查找表需要一定的空间：如果使用 IEEE 双精度浮点数的话，将会需要 16,000 字节。如果使用较少的采样点，那么精度将会大幅度地下降。一个较好的解决方案是线性插值，在表中待计算点左右两侧两个点的值之间连直线，这个点对应的直线上的值就是所计算点的正弦值。这种方法计算速度也很快，对于如正弦函数这样的平滑函数来说也有更高的精度。这里是使用线性插值的一个例子： function lookup_sine(x) x1 := floor(x/1000/pi) y1 := sine_table[x1] y2 := sine_table[x1+1] return y1 + (y2-y1)*(x/1000/pi-x1) 当使用插值的时候，可以得益于不均匀采样，也就是说在接近直线的地方，使用较少的采样点，在变化较快的地方使用较多的采样点以最大限度地接近实际的曲线。更多的信息请参考插值。[编辑本段]计算 1 的位数 population function。例如，数字 37 的二进制形式是 100101，所以它包含有三个设置成 1 的位。一个计算 32 位整数中 1 的位数的简单c语言程序是： int count_ones(unsigned int x) { int i, result = 0; for(i=0; i<32; i++) { result += x & 1; x = x >> 1; } return result; } 不幸的是，这个简单的算法在现代的架构上将需要数以百计的时钟周期才能完成，这是因为它造成了许多分支和循环，而分支的速度是很慢的。这可以使用 loop unrolling 和其它一些聪明的技巧进行改进，但是最简单快捷的解决方案是查找表：简单地构建一个 包含每个字节可能值包含的 1 的个数的256 个条目的表。然后使用这个表查找整数中每个字节包含的 1 的个数，并且将结果相加。没有分支、四次内存访问、几乎没有算术运算，这样与上面的算法相比就可以大幅度地提升速度。 int count_ones(unsigned int x) { return bits_set[x & 255] + bits_set[(x >> 8) & 255] + bits_set[(x >> 16) & 255] + bits_set[(x >> 24) & 255]; }[编辑本段]硬件查找表 在数字逻辑中，n位查找表可以使用多路复用器来实现，它的选择线是 LUT 的输入，它的输入是常数。n 位 LUT 通过将布尔逻辑函数建模为真值表从而可以编码任意 n 位输入，这是编码布尔逻辑函数的一个有效途径，4 位 LUT 实际上是现代 FPGAs 的主要元件。

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量子场论中的微扰论（pertubation theory）计算实际上可以看成泰勒展开的一种。如果将粒子之间相互作用的相对大小用耦合常数表示的话，微扰计算就是假设这个常数很小，也就是说粒子间相互作用比较小，然后通过对重整化后的作用量进行关于的泰勒展开，来计算所需的结论。由于泰勒展开在收敛半径内会收敛到原函数，所以只要取前几项就能得到所需物理性质的相对精确的值。在耦合常数的确很小时，微扰方法非常有效，比如说量子电动力学（Quantum Electrodynamics）就是一个很好的例子，它的计算与实验数据直到小数点后8位仍然符合。但对于耦合常数较大的情况，比如说关于强相互作用的量子色动力学 ，微扰论会遇到比较多的麻烦，需要用到更深刻的对称性。

泰勒公式泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。公式应用实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。泰勒展开式的重要性体现在以下三个方面：幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。泰勒级数可以用来近似计算函数的值。