研究线性空间结构的途径论文

线性代数教学中线性相关性的一种解释和理解［摘要］线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，特别是被表示向量组的线性相关性与被表示向量组中向量的个数以及表示向量组中向量的个数之间的关系的有关结论，对学生来说是很难理解的，在教学中，我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”，在教学上可收到较好的效果。［关键词］线性相关线性无关多余没有多余线性相关性在线性代数课程中是一个重要内容，对学生来说是非常困难的内容，许多学生学完线性代数后还没有弄懂，有的学生学到这一内容时觉得很难学，就丧失信心。认为整个线性代数都很难学，甚至放弃学习。线性相关性是线性代数课程中教学的难点，它与后面线性方程组的解的理论有密切的联系，对于这一难点的处理是非常重要的。根据不同层次的学生采用不同的教学要求。使得学生正确的理解线性相关性的定义,定理。大多数经济类的本科线性代数课程的教材在叙述向量组的极大无关组和向量组的秩的理论时,由于这一章节的理论性比较强，一般都是从定理到定理,从证明到证明,例子较少。在教学中,在讲完线性相关的定义和有关定理后，在介绍向量的极大无关组之前，用”多余”来解释线性相关性,可使后面的问题简单化,直观化。我们以龚德恩等主编的《经济数学基础》的第二分册线性代数的教材为例进行说明。首先来看线性组合的概念。对于向量组α1,α2,…,αs和向量β,如果存在s个数k1,k2,…,ks使得β=k1α1+k2α2+…+ksαs则称向量β是向量组α1,α2,…,αs的线性组合。换句话说向量β相对于向量组α1,α2,…,αs是“多余”的向量。关于线性相关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果存在不全为零的数k1,k2,…,ks使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0称向量组α1,α2,…,αs线性相关。因k1,k2,…,ks不全为零,不妨假设α1≠0则α1=-k2k1α2-…-ksk1αs。因此向量组α1,α2,…,αs线性相关,看成是向量组α1,α2,…,αs中至少有一个“多余”的向量。关于线性无关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果仅当k1,k2,…,ks都等于零时,才能使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立。称向量组α1,α2,…,αs线性无关。由于α1,α2,…,αs线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余向量线性表示，因此向量组α1,α2,…,αs线性无关看成是α1,α2,…,αs中“没有多余”的向量。一些结论也可作相应的理解和解释。如:“如果一个向量组中的部分组线性相关,则整个向量组也线性相关”，解释为如果一个向量组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也有多余的向量。“如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关”，解释为如果一个向量组中没有多余的向量,则该向量组去掉一些向量后也没有多余的向量。下面两个定理是学生们在学习向量组的线性相关性的过程中感到最难理解和掌握的。定理1设向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs可由向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt线性表示，且s＞t，则α1,α2,…,αs线性相关。在课堂教学中我们是作如下解释的，向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs称为“被表示向量组”，向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt称为“表示向量组”。条件s＞t，看成是有”多余”的向量。即“被表示向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs相对于表示向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt有多余的向量，则α1,α2,…,αs线性相关,这样解释便于学生理解和记忆。推论1如果一个向量组α1,α2,…,αs线性无关，并且可由向量组β1,β2,…,βt线性表示。则s≤t。推论1可解释为：如果“被表示向量组α1,α2,…,αs线性无关，则被表示的向量组α1,α2,…,αs相对于表示向量组β1,β2,…,βt没有多余的向量，即s≤t。推论2两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。两个向量组都线性无关，且彼此可相互线性表示，两个向量组彼此相对于另一个向量组都没有多余的向量，得两个向量组所含的向量的个数相同。下面再举一些例子进行说明。例1设向量组α1,α2,…,αs线性无关,且可由向量组β1,β2,…,βt线性表示,则必有()。

域的概念最初被 阿贝尔 和 伽罗瓦 用于他们对 方程 的可解性的工作上。

线性空间，谈到空间我们想到的是平面空间和三维立体空间，没错，它们就是线性空间。非线性空间我们一般都会感觉到不正常，比如在一些恐怖游戏中经常有传送门或异常的生物出现，这些都不是线性空间。 空间就是一个有着特殊定义的 集合（set） 。集合的定义我们在高一开始学数学就接触到了，这里就不详细介绍结合中的一些概念（集合的特点）和运算（交集，并集，补集等）了。好了，我们现在有一个集合，这个集合里有一些具有相同性质的元素。 这里的元素是任何东西，就是说是抽象的，不仅仅是数字。 我们现在根据这个集合 ，定义两种运算：

再举一个例子：有一个集合，这个集合里的所有元素都是 的在实数域 上的矩阵。矩阵的元素是抽象的，那个常数 或 是实数。定义 ，

那么我们生活的最熟悉的三维空间和二维空间也是线性空间。这里要证明的话需要用到几何学的知识。比如三角形法则和平行四边形法则等。

还有一些特殊的线性空间，比如有一个集合，这个集合里的所有元素是一个个多项式，这些多项式的次数（最高次）小于等于 ，加法和数量乘法就遵循我们初中学习的多项式运算法则即可，这也就构成了一个线性空间。

再比如，有一个集合，这个集合中所有的元素都是定义域为 的函数，那么加法和数量乘法遵循函数之间的运算，这也很容易证明它们构成了一个线性空间。

在线性代数里我们最烦恼的概念和一堆定理与线性相关（Linear Dependent）和线性无关（Linear Independent）相关。这里先从线性组合说起，线性这个词一般就与加法和数乘有关。 我们在域 上有 个向量 ，注意这里我们称这些向量叫向量集合（Vector set），接着我们从 上取 个数 ，做如下运算： 这样一运算就产生一个新的向量了，如果取遍所有的常数，我们就可以得到一堆向量，无数个向量，那么这些产生出的新的向量就构成了一个线性空间。比如我们任意从这些产生的向量中取出两个 ，我们发现 ，加法是封闭的，类似地，数量乘法也是封闭的，再证明那几条性质，就可以证明这是一个线性空间了。我们把这个过程叫做扩张（span）。

接下来就是大家熟悉的线性相关和线性无关的定义了，这里的向量是 抽象的 ，一再强调。 A set is said to be linearly independent if holds only when . If there are also nontriviall solutions, ., not all are zero, then is linearly dependent .

好了，一个向量的集合可以张成一个空间，这个向量集合可以线性无关的，也可以是线性相关的，通俗讲就是这堆向量中是否有向量能用其他向量进行线性表示。

这里请大家想一个问题和过程，线性空间里有 无数个向量 ，而有限的向量可以通过线性组合扩张成线性空间，这是 有限个向量 。无限个到有限个，这就很伟大。我们欣赏下为什么直角坐标系被命名为笛卡尔坐标系。 这里借助Manim画个图：

几何空间（二维空间和三维空间）中，我们都知道基是相互垂直的，即 这个在高中数学中称为向量点乘，在线性代数里我们有内积（Inner Product）的概念。比如在一个 维欧几里得空间 上，有两个向量 ，那么它们的内积定义为： 这时候，如果内积为0，那么在几何学中就叫做垂直，在矩阵论中就叫做 正交（orthogonal） 。笛卡尔坐标系的基就是正交的。

接着，有了基之后，每个向量就可以用基进行线性组合，而组合的前面的系数是数，这是我们能够研究也是善于研究的东西，这个就叫做在这个线性空间 中，在这个基（坐标系） 下的向量 的坐标。有了坐标，以后的研究就是线性代数里东西了。

基(basis)，坐标系(coordinate system)，坐标(coordinate)，我们有了这些特征去描述线性空间和空间里的向量了。从具体到抽象，把你脑子里具体的笛卡尔坐标系抹除掉。

有一个 构成的矩阵空间，可以定一组基叫 ，就是在 个元素中，第 行，第 列是 ，其余都是 。那么维度很清晰了，就是 维，任何一个矩阵 。

再来看一个式子： 这是Fourier Series，叫傅立叶级数，就是将一个函数（具体条件就不说了）用一组基进行表示，那么这个空间的维度可以看得出是无穷维度的，基是 而且这组基两两正交，那么它们的内积可以定义为： 在其中任意取两个函数，它们按照如上的内积都是0，说明它们是正交的。

前面我们知道，线性空间是一个有着定义特殊运算和满足运算规律的集合，它是个集合，那么 线性子空间 也是个集合，这个集合是原来线性空间的集合的子集，只不过这个子集需要满足 加法 和 数乘 封闭，那么还需要满足线性空间的那几条性质吗？不需要了，因为它本身是从线性空间中取出来的子集，自然就是满足了，无需额外验证。

Theorem ：如果 是数域 上的线性空间 的子空间。那么他们的交集 也是线性空间 上的子空间。 Proof ：设 ，我们根据线性子空间的定义知道： 因为， 且 ，所以， ，同理 。书上还验证了 ，我个人觉得是没必要的，既然 已经是线性子空间了，所以 中一定包含 。到这里，已经基本证明完毕了。 在二维平面中，我们可以看出子空间中向量的终点构成了一条过原点的直线，而任意两条不重合的过原点的直线的交集就只有 了，而在三维空间中，平面的一般方程为 ，要想这个子集是 的子空间，就必须要平面过 点，即 。我们知道两个平面的焦点有无数个，构成了空间里的一条直线（这些都是直觉），这条直线也是三维空间的子空间。 Definition ：有两个线性空间 是数域 上的线性空间 的两个子空间，定义 称为子空间的 和（sum） Theorem ：有两个线性空间 是数域 上的线性空间 的两个子空间，则 是 的子空间。 Proof ：（要证明 是子空间，那么就要证明其中的元素满足加法封闭和数乘封闭即可） 设 ，且 ， ，考察 因为 ，且 是线性子空间，所以设 ，同理，设 ，所以 。 同样地， 是子空间，根据性质 ，所以 。 综上，可知 也是线性空间 的线性子空间。

在抽象数学中，不要思考，一思考就会犯错误。

Theorem ：维度公式：有两个线性空间 是数域 上的线性空间 的两个子空间，有 Proof ：设

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