沫沫晓七
复变函数---虽被纯数学所歧视，但现代数学人人都离不开它。复变函数的柱石---柯西积分公式，把可微复函数与复幂级数联系起来，现代数学一刻也离不开它。首先，黎曼利用它把zeta函数延拓到整个复平面，这一成果成为后世追随者的崇拜对象。调和分析复方法，第一个必须引用柯西积分公式。由于其基础性的作用，代数复几何，如基本的霍奇定理，解析数论（更是完全依赖zeta函数的解析性质） 如素数大定理的非初等证明，素数分布的诸多结论，都极端依赖于可微复函数和幂解析的等价性。 略微知晓现代数学的结论的人如我，都晓得，复变函数对现代数学意味着什么。然而可微复函数和幂解析的等价性不成立，Gamma函数，zeta函数就是反例，问题就发生在柯西积分公式，柯西的杰出之处---在我们看来，体现在它的证明上就是把围道的积分极限为围道小至一点的积分，这不错，然而，他接下来的计算出错了， 这个极限的意思是，计算有限围道的积分，再作积分的极限。 但他以小至一点的围道的无穷小分析代替之。 这类错误在极限理论不发达的柯西时代司空见惯， 然而非常奇怪，当其他错误结论消失已久之后柯西的结论却幸存下来，并且“发扬光大”。 复变函数何其重要，看看fields 奖的各届名单吧，抽去支撑的棉梗--柯西积分公式，还有几人能不化为灰烬。 不仅如此，还有更可悲的错误，在数学界，有一段仿佛把一些不完整的围道，如两条平行线，也当作完整围道处理，虽然我的高中老师也能指出其错误，但是它也被后人继承下来当作正确的做法，Langlands纲领的吊颈绳---hecke反定理是一例。 历史上复变函数是一笔了不完的帐。
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实积分与复积分的比较研究一。对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度，因此有实积分与复积分的比较研究一。复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。
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