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按照两重积分的定义来计算两重积分的值，这个方法是相当局限的。目前对两重积分的求解是化两重积分为两次定积分。 由于两重积分的几何意义之一可认为是一曲顶柱体的体积，则在空间直角坐标系下，如图1所示：可在a、b之间插入n-1个点，使得：这样就将曲顶柱体分成n个部分，将着n个部分的体积相加，并记曲顶柱体的体积为V，则有：V≈V1； 继续细分区间，得体积V2； 以此类推，这样我们得到一个序列： V1，V2，V3，… 当分割的区间的长度趋于零时，上面的序列趋于一常数，这时我们就把该常数理解为曲顶柱体的体积V。 当区间长度趋于零时，我们不妨设区间是一个点（点是有长度的，因为线段是由无限个点组成的，如果点没有长度的话，将不会存在线段），对于已化分成n个部分的曲顶柱体，我们取任意一小部分体积进行分析，假如我们取区间x0对应的那一部分体积分析，如图3阴影部分所示：则这一部分小体积可认为一是个平顶柱体的体积，所以：同理可得： 其中dx是点的长度，则对于区间【a，b】内的所有小平顶柱体的体积，有函数表达式：当区间长度趋于零时，Δv趋于零，则Δv=dv，所以：则【a，b】上，曲顶柱体的体积为：综上所述，有：以上便是在空间直角坐标系中，求得两重积分的计算方法。 这是笔者在学习了两重积分的计算法后的一些见解，不当之处在所难免，敬请广大读者批评指正！
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一、内容概要1.二重积分的定义定义 设函数在有界闭区域D上有定义.分割 用任意两组曲线将区域D分成n个小区域，分别记为.并以代表第i个小区域的面积.求和 在每个小区域上任意一点作乘积，并求和.取极限 记为n个小区域中的最大的直径，如果.存在，且此极限值不依赖区域D的分法，也不依赖于点的取法，则称此极限值为函数在区域D上的二重积分，记为，称为面积元素.2.二重积分的几何解释由二重积分的定义可知，二重积分为一个数值.从几何上可以解释为：若在区域D上， ，则二重积分的值等于以区域D为底，以曲面为顶的曲顶直柱体的体积.若在区域D上， ，则二重积分的值的绝对值等于以D为底，以曲面为曲顶的直柱体体积，此时二重积分的值为负值.若在区域D上的某些子区域上，而另一些子域上，则二重积分的值等于这些子区域上，以为曲顶的直柱体体积的代数和，其中的直柱体体积值前取“+”，在的直柱体体积前取“-”.3.二重积分的存在性存在定理 若在闭区域D上连续，则在D上的二重积分必存在.4.二重积分的性质设下列被积函数都是可积的.性质1 .此性质由左向右看，可以解释为：常数因子可以提到积分号外面去.由右向左看，可以解释为：常数乘以二重积分，可以将此因子送入积分表达式中去.性质2 .性质3 如果闭区域D由有限条曲线分为两个区域,则.性质4 若记区域D的面积为S，则.性质5 在D上若，则,.性质6 若在D上有,则,其中S为区域D的面积.性质7 设函数在闭区域D上连续，S为区域D的面积，则在D上至少存在一点，使得,称此性质为二重积分的中值定理.5.二重积分的计算二重积分是定积分的推广.计算的基本途径是将其转化为二次积分计算，不同积分次序的二次积分计算量可能相差很大，甚至其中一种次序易于计算，而另一种次序计算复杂，以至于不能用初等函数形式表出.因此计算二重积分时选择积分次序是至关重要的问题.
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